第3章 湘江流量估计模型-数值积分-3.2-Newton-Cotes积分法(2)-2017-01.pptx
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1、3.2 数值求积的 Newton-Cotes 方法 (2) n 中步长 h b a,然后在每个小区间 x , x 上应用梯形 公式,即: i1i x k k h 2 xk 1 1 f (x)dx f (x f xk (k 1, 2, n) 可导出复合梯形公式: k n bx a xk 1k 1 f (x)dx k h 2 f (x k 1 f (x)dx n k 1 2 k h ) f (x )f (a) 2f (x ) f (b) n1 k 1 3.2.3 复合 Newton-Cotes 公式 复合求积就是先将积分区间分成 n 个小区间,并在每个小区 间上用低阶 Newton-Cotes 公
2、式计算积分的近似值,然后对这些近 似 值求和,从而得到所求积分的近似值。由此得到的一些具有更 大实 用价值的数值求积公式,统称为复合求积公式。 先将区间 a,b 进行 n 等分,记分点为 xk a kh, (k 0,1, , n) ,其 b a n1 k 1 h f (x)dx Tn 2 f (a) 2f (xk ) f (b) 于是,复合梯形公式为: b a h 6 k 2 k 0 k 1 f (x)dx Sn n1 f a4 f (x n1 1 ) 2 f (xk ) f (b) 9 0 b a h k 4 k 2 k 4 k 0 k 0 k 0 k 0 f (x)dx Cn n1 7 f
3、 a32 f (x n1 1 ) 12f (x n1 1 ) 32f (x n1 3 ) 14f (xk ) 7 f (b) 复合 Cotes 公 式: 同理,复合 Simpson 公 式: 定理 3.2.2 若 f(x) 在积分区间 a,b 上分别具有二阶、四 阶 和六阶连续导数 , 则复合求积公式的余项分别为: 12 b n a b a f (x)dx T ( b n a b a h f (x)dx S 6 6 b n a ( ) f () 1802 2(b a) h 945 2 f (x)dx C 其中, a, b 1 12 h2 f () h2 f (b) f (a) 180 2 1h
4、 )4 f (4) () ( )4 f (b) f (a) 6(5)(5) 945 4 2 h (a) ( ) f (b) f b a 定义 3.2.1对于复合求积公式 f (x) In,若当 h0 时有 b hp f (x)dx In c(c 0) a 是 p 阶收敛 的。 n 则该复合求积公式 I 由此可得出复合求积公式 Tn , Sn , Cn 是的收敛 阶。 定理 3.2.3 梯形复合求积公式Tn、复合 Simpson 公式 Sn 和 复合复合 Cotes 公式 Cn 分别具有二阶、四阶和六阶收敛 性。 2 nn 则新近似值 T的余项约为原近似值 T余项的 1/4 , 即: I T2n
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