第5章 小行星轨道方程计算问题-线性方程组求解的直接法-5.6 平方根法-2017-02.pptx
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1、5.6 平方根法 利用对称正定矩阵的三角分解而得到的求解对称 正定方程组的一种有效方法平方根法 (Cholesky) 。 设A 为对称阵,即 ATA,且 A 的所有顺序主子式 均非零, 则 A 可以唯一分解为: A LU 。 u 22 u1 1 U 1111 1 u12 u1n uu un1 ,nun1,n 1 1 unn 1 0 D U 由于 A 非奇异,故 U 非奇异性,将 U 再分解为 0 从而有 A LU LDU TT T 0 , 又 A A U ( DL ) 定理 5.6.1 (对称阵的三角分解) 设 A 为 n 阶对称阵,且 A 的所有顺序主子式均非零。则 A 可唯一 分解为:A
2、LDLT 。其中 L 为单位下三角阵, D 为对角阵。 由矩阵三角分解的唯一性可得,于是。 0 UT L A LDLT 当 A 为对称正定矩阵时,则 A 的所有顺序主子 式 ,而。 i D 0 T A LDL D i i1 设 D diag(d1 , d2 , , dn ) ,则 d1 D1 0, di 0 (i 2,3, ,n)。于 是: D d 2 d 1 D nn dd d1 d1 d2 d2 d n 1/21/2 D D 1/ 211 T1/ 21/ 2 T1/ 2 TT A LDL LDDL ( LD )( LD ) L L1/ 2 这里 L1 LD 为下三角阵。 定理 5.6.2
3、(对称正定矩阵的 Cholesky 分解) 若A为n阶对称正定矩阵,则存在一个实的非奇异下三角矩 阵 L , 使 A LLT 。当限定 L 的对角元素为正时,这种分 解是唯一的。 ii l 11 ,l 0 i 1, 2, , n ln1 ln2 lnn l11l21 A l21l22 l22 ln1ln2nn 由矩阵乘法及 ljk 0( j k ) ,则有 n aijlik l jk j 1 lik l jkl jj lij 21/2 j k a11 , l jj l ) l11 (ajj j1 k 1 0, ( j 1, 2, , n) 2 1 i j ik jk i j l l a l l
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