第4章 养老保险问题-非线性方程的数值解法-4.4-弦截法与抛物法-2017-01.pptx
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1、4.4 弦截法与抛物 法 4.4.1 弦截法与抛物法的基本思想 Newton 法 每迭代一次需计算函数值,导数值 k f (x ) k f (x ) k k 本身比较复杂时,求导数值更加困难。 x f (x ) k 1 x f (xk ) 各一次,f当 函数如何利用已计算的函数值 避免导数值的计算, 导出这种求根方法的基本原理是插值法。 f (xk ), f (xk 1 ), k f (x ) 设 xk , xk 1 , , xk r 是 f (x) 0 根的一组近似值, 用对应的函值 f (xk ), f (xk 1 ), , f (xk r ),构造插值多项式pr (x),适当选 取 pr
2、 (x) 0 的一个根作 为 f (x) 0 的新的近似根 xk 1 。这样就确定了一个迭代过程,记 迭代函 数为 g,则 xk 1 g(xk , xk 1 , , xk r ),下 面具体考察 r 1(弦截法), r 2(抛物法)两种情形。 4.4.2 弦截法 设 xk , xk 1 为 f (x) 0 的近似根,过点 (xk , f (xk ),(xk 1, f (xk 1 ) 构 造一次插值多式 p1 (x),并用 p1 (x) 0 的根作为 f (x) 0 的新的 近 似根 xk 1 。 kk k k 1 k 1 ) k 1 x x (x x f (x ) f (x) 1kk x k
3、p (x) f (x ) f (xk ) f (xk 1 ) (x x ) xk 1 f (xk ) 由 则由 p1 (x) 0 可得: 另外,上式也可以用函数近似取 f (x ) f (x ) kk 1 xk xk 1 Newton 公式中的 f (x) 推导得 到。 f (x) 的差 商 xk xk 1 k f (x ) f (x ) f (x) kk 1 (x x ) 0 xk xk 1 弦截法的几何意义 曲线 y f (x) 上横坐标为 xk , xk 1 的点分别 记为 pk , pk 1,则弦线 pk pk 1 的斜率 等于差 商 f (xk ) f (xk 1 ) ,其方程 为:
4、 实际上是弦线 pk pk 1 与 x轴交的横坐标。因此这种算法称 为 弦截法,又称割线法。 则求得的近似根 xk 1 弦截法与 Newton 切线法都是线性化方法,但两者有本质区 别。 及,而弦 Newton 切线法在计算 xk 1 时用到前一步的 xk、 k f (x ) k f (x ) 截法在计算 xk 1 时要用前面两步的结果 xk , xk 1 , f (xk ), f (xk 1 ) ,不须 计算导数。这种方法必须有两个启动值 x0 , x1 。 且对有。又初值,那么当邻域充 分小时, 内具有二阶连续导 数, x f (x) 0 0 1 x , x 2 定理 4.4.1 假设 f
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