第4章 养老保险问题-非线性方程的数值解法-4.2-非线性方程的迭代解法(1)-2017-01.pptx
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1、4.2 非线性方程的迭代解法 (1) 价的方程:x g(x) (4.2.1) 价方程: 然而将 f (x) 0 化为等价方程 (4.2.1)的方法是很多的。 例 4.2.1 对方程 f (x) x sin x 0.5 0可用不同 的方法将其化为等 2 1 x sin x 0.5g (x)( 2 ) ( 1 )x sin x 0.5g1 (x) 4.2.1 迭代解法的基本概念 迭代法是一种逐次逼近法。它是求解代数方程,超越方程 及方程组的一种基本方法,但存在收敛性及收敛快慢的问 题。 用迭代法求解 f (x) 0的近似根,首先需将此方程化为 等 定义 4.2.1 (迭代法) 设方程为 x g(x
2、) , 取方程根的一个初始近似 x0 ,按 下面 的逐次代入法,可构造一个近似解序列: 这种方法称为迭代法(或单点迭代法),g(x) 称为迭代函 数。 x2 g x1 xk 1 g xk xk 1 g xk x0 , x1 , x2 , xk , 迭代过程 x1 g x0 产生数 列xn : 迭代公式: 若由迭代法产生序 列 极限存在,即, 称迭代法收敛,否则称迭代法不收敛。 k x * k k lim x x k k 1 k k k k x lim x lim g(x ) g lim x g(x ) 若连续,且,则 k k lim x x* g x 即 x为方程 f (x) 0 的解(称 x
3、为函数 g(x) 的不动点) 在由方程 f (x) 0 转化为等价方程 x g(x) 时,选择 不同的迭 代函数 g(x),就会产生不同的序列xk (即使 初值 x0 选择一样), 且这些序列的收敛情况也不会相同。 例如对例 4.2.1 中的方程 f (x) x sin x 0.5 0 用下面两种不同迭代 函数 进行迭代,初值都取 为 1 , 计算结果如右图 所示。 x sin x 0.5g1 (x) 2 1 x sinx 0.5g(x) 部分计算结果 kg1 (x)xkg2 (x)xk f (xk ) 01.01.0 1 1.341471 0.523599 2 1.473820 0.0236
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