数学经典易错题会诊与高考试题预测15.doc
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1、在利用三角恒等变形化简时出现了错误即由 =sinxcosx(2-sinx -cosx)变形时认为2sin2 =1+cosx,用错了公式,因为 2sin2 =1-cosx因此原式化简结果是错误的 对症下药 解法1 (1)由sinx+cosx=,平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=即2sinxcosx=-(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=1+ .又- x0,sinx0,sinx-cosx0sinx-cosx= (2)解法2 (1)联立方程由得slnx=-cosx,将其代入,整理得25cos2x- 5cosx-12=0,cosx=-或(cosx=)- x0,故sinx-
2、cosx=-( 2 )=sinxcosx(2-cosx-sinx)= 3(典型例题)已知6sin2+sincos-2cos2=0,求sin(2+)的值 考场错解 由已知得(3sin+2cos)(2sin-cos)=03sin+2cos=0或2sin-cos=0 tan=-或tan=又sin(2+)=sin2cos+cos2sin =sincos+(cos2-sin2)=将tan=-代入上式得sin(2+)=将tan=时代入上式得即专家把脉 上述解答忽视了题设条件提供的角的范围的运用,(,),tan0,tan=应舍去,因此原题只有一解 对症下药 解法1 由已知得(3sin+2cos) (2sin
3、-cos)=03sin+2sin=0或2sin-cps=0由已知条件可知cos20,所以,即(,)于是tan0,tan=sin(2+)=sin2cos+cos2sin 将tan=-代入上式得sin(2+)= 解法2 由已知条件可知cos0,则a,所以原式可化为6tan2+tan-2=0 即(3tan+2)(2tan-1)=0又(,)tan0,cos0,tan(=14 已知函数f(x)=-sin2x+sinxcosx (1)求f()的值;答案:sin(2)设(0,),f()=,求sin的值 答案: 16sin2-4sin-11=0,解得sin=(0,),sin0,则sin=5 已知函数f(x)=
4、2sin2x+sin2x,x(0,2)求使f(x)为正值的x的集合 答案:解:f(x)=1-cos 2x+sin 2x=1+sin(2x-), f(x)01+sin(2x-)0 sin(2x-)-+2k2x-+2kkxx0 ()将十字形的面积表示为的函数; ()为何值时,十字形的面积最大?最大面积是多少? 考场错解 设S为十字形的面积,则S=2xy=2sin cos=sin2() (2)当sin2=1即= 时,S最大,S的最大值为1 专家把脉 上面解答错在面积S的计算上,因为十字形面积等于两个矩形面积和还需减去中间一个边长为 x的正方形面积 对症下药 (1)设S为十字形的面积,则S=2xy-x
5、2=2sincos-cos2( ) (2)解法1 S=2sincos-cos2=sin2-cos2,其中=1,即2-=时,S最大 当=时,S最大,S的最大值为 解法2 S=2sincos-cos2,S=2cos2- 2sin2+2sincos=2cos2+sin2 令S=0即2cos2+sin2=0, 可解得=arctan(-2)当=arctan(-2)时,S最大,S的最大值为 2(典型例题)若0x3sinx B2x3sinx C2x=3sinx D与x的取值有关考场错解 选A 设f(x)=2x-3sinx,f(x)= 2-3cosx,0x0 f(x)在(0,)上是增函数 f(x)f(0)=0
6、即2x3sinx,选A 专家把脉f(x)=3(-cosx)当0x时,f(x)不一定恒大于0,只有当x(arccos)时 f(x)才大于0因而原函数f(x)在(0,)先减后增函数,因而2x与3sinx的大小不确定 对症下药 选D 设y=(x)=2x-3sinx, y=2-3cosx=3(-cosx)当cosx0当x(0,arcccos)时,y0口P2x3sinx当x(0,arccoss)时,f(x)0即2x3sinx故选D 3(典型例题)设函数f(x)=xsinx(xR)(1)证明f(x+2k)f(x)=2ksinx其中kZ; (2)设x0是f(x)的一个极值点证明f(x0)2=; (3)设f(
7、x)在(0,+)的全部极值点按从小到大的顺序a1,a2,an,证明:an+1-an0是f,(x0)=0的任意正实根即x0 =-tax0,则存在一个非负整数k,使x0(+k,+ k)即x0在第二或第四象限内 由题设条件,a1,a2,an为方程x=-tanx的全部正实根,且满足a1a2a3,an,那么对于an+1-an= -(tanan+1-tanan)=-(1+tanan+1tanan)tan(an+1-an) 由于+(n-1)an+(n-1),+n an+1+n,则an+1-an0,由式知tan(an-1,-an) 0由此可知an+1-an必在第二象限 an+1-an0是f(x)=0的任意正实
8、根,即x0-tanx0,则存在一个非负整数k,使x0(+k,+k),即x0在第二或第四象限内由式f(x)=cosx(tanx+x)在第二象限或第四象限中的符号可列表如下:X()f(x)的符号K为奇数-0+K为偶数+0-所以满足f(x)=0的正根x0都为f(x)的极值点由题设条件,a1,a2,an为方程x=-tanx的全部正实根且满足a1a2an那么对于n=1,2, an+1-an=-(tanan+1-tanan) =-(1+tanan+1tanan)tan(an+1-an) 由于+(n-1)an+(n-1),+nan+1+n,则an+1-an0,由式知tan(an+1-an)0由此可知an+1
9、-an必在第二象限,即an+1-an.综上,an+1-an专家会诊处理与角度有关的应用问题时,可优先考虑三角方法,其一般步骤是:具体设角、构造三角函数模型,通过三角变换来解决另外,有些代数问题,可通过三角代换,运用三角知识来求解有些三角问题,也可转化成代数函数,利用代数知识来求解如前面第2、3题 考场思维训练 1将参数方程(为参数)化为普通方程,所得方程是 答案:解析:(x-1)2+y2=4 由 2 若x2+y2=4,则x-y的最大值是 . 答案:2解析:设x:2cos,y=2sin,则x-y=2(sin-cos)=2sin(-) 当=2k+时,(x-y)max=23 某体育馆拟用运动场的边角
10、地建一个矩形的健身室如图所示, ABCD是一块边长为50米的正方形地皮,扇形CEF是运动场的一部分,其半径为40米,矩形AGHM就是拟建的健身室,其中C、M分别在AB和AD上,H在EF上,设矩形AGHM的面积为 S,HCF=,请将S表示为的函数,并指出当点H在EF的何处时,该健身室的面积最大,最大面积是多少? 答案:解:延长GH交CD于P GHAM,HPCD HCP=HCF=,CH=40, HP=CHsin=40 sin CP=CHcos=40 COS 于是HG=50-40sin,HM=50-40cos, 矩形AGHM的面积S=HGHM =(50-40sin)(50-40cos)(0)整理,得
11、S=10025-20(sin+cos)+16sincos设sin+cos=t,则2sincos=t2-1 0,1t S=10025-20t+8(t2-1)=100(8t2-20t+17)=800(t-)2+450 当t=1时,S有最大值,且S最大值=500 此时,2sincos=0,即 sin 2=0 02,=0或, 当H在EF的端点E或F处时,健身室面积最大,最大面积为500平方米4 已知函数f(x)=sin(1)将f(x)写成Asin(x+)+k的形式并求其图像对称中心的横坐标;答案:解f(x)=sin(x+)+ , 由sin(x+)=0,即x-=k(kZ) 得x=,kZ 即对称中心的横坐
12、标为,kZ(2)如果ABC的三边。a,b,c成等比数列,且边 b所对的角为x,试求x的取值范围及此时函数f(x)的值域答案:解析:(2)由已知b2=ac,cosx= 0xsinsin(x+)1 即f(x)的值域为,1+探究开放题预测预测角度1三角函数的图象和性质 1关于函数f(x)=4sin(2x+)(xR)有下列命题: 由f(x1)=f(x2),可得x1-x2必是的整数倍;若x1,x2,且2f(x1)=f(x1+x2+),则x1sin1cos2,sin1cos1sin2,即sin1sin2. 又由1,2,均为锐角,故12. 即x1x2,故对; 由函数y=f(x)的图像可知,所有满足使2x+=
13、 k(kZ)且y=0的点,均为函数y=f(x)图像的对称点,x=,4sin(2()+)=0故对 由复合函数的知识可知,y=4sin(-2x+)的递增区间为满足不等式2k+-2x+2k+的 x的集合,故错 综合得只有正确故填 2函数f(x)=2cos2x+ (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)当方程f(x)+a=0有解时,求a的取值范围; (3)当cos()=时,求f(x)的值 解题思路 (1)利用辅助角公式,化为一个角的三角函数形式后,用 可求得函数的最小正周期 (2)可转化为求函数的值域问题求解; (3)通过已知条件可求得sin2,cos2的值,再求 f()的值就不难了 解答 (1)f
14、(x)=1+cos2+sin2x=2sin(2x+)+1最小正周期 (2)sin(2x+)=-,要使方程f(x)+a=0有解,则|-|1,得-3a1 (3)预测角度2 运用三角恒等变形求值 1若关于x的方程x2-4xSin+tan=0(有两个相同的实根 (1)求a的取值范围; (2)当a=时,求cos(+)的值 解题思路 (1)利有=0可得a表示为的函数,通过来值域即可得a的取值范围 (2)可先通过第(1)问结果求出sin2的值,再运用降幂公式可求得cos2(+)的值,再求cos(+)的值就容易了 解答 (1)=16sin2-4atan=0 ,sin0 故4sin- , a=4sincos=2
15、sin2,2, 0sin201,0a2 (2)由=2sin2, sin2= cos()= 而2已知(0,),sin-cos=,求的值 解题思路 由已知可求得sin2及tan的值,因此只要把 化为sin-cos,sin2,及tan表示的式子,再代入计算即可 解答 解法1 把sin-cos两边平方得解析2 由已知sin2=且2(,) 3已知cos(-),sin(+)=-且(0,),(),求sin(+)的值 解题思路 注意已知角与未知角之间的联系,即+=+-(-)- 解答 由已知,()所以预测角度3 向量与三角函数的综合 1已知向量a=(2sinx,cosx),b=(cosx,2cosx),定义函数
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