欧氏空间的定义与基本性质ppt课件.ppt
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1、 9.19.1 定义与基本性质定义与基本性质 一、一、欧氏空间的定义欧氏空间的定义 9.1 9.1 定义与基本性质定义与基本性质 二、欧氏空间中向量的长度二、欧氏空间中向量的长度 三、欧氏空间中向量的夹角三、欧氏空间中向量的夹角 四、四、n n维欧氏空间中内积的矩阵表示维欧氏空间中内积的矩阵表示 五、欧氏子空间五、欧氏子空间 1 9.19.1 定义与基本性质定义与基本性质 问题的引入:问题的引入: 性质(如长度、夹角)等在一般线性空间中没有涉及. 其具体模型为几何空间 、 1、线性空间中,向量之间的基本运算为线性运算, 但几何空间的度量 长度: 都可以通过内积反映出来: 夹角 : 2、在解析几
2、何中,向量的长度,夹角等度量性质 3、几何空间中向量的内积具有比较明显的代数性质. 2 9.19.1 定义与基本性质定义与基本性质 满足性质: 当且仅当 时 一、一、欧氏空间的定义欧氏空间的定义 1. 定义 设V是实数域 R上的线性空间,对V中任意两个向量 、 定义一个二元实函数,记作 ,若 (对称性) (数乘) (可加性) (正定性) 3 9.19.1 定义与基本性质定义与基本性质 V为实数域 R上的线性空间; V除向量的线性运算外,还有“内积”运算; 欧氏空间 V是特殊的线性空间 则称 为 和 的内积,并称这种定义了内积的 实数域 R上的线性空间V为欧氏空间. 注注: 4 9.19.1 定
3、义与基本性质定义与基本性质 例1在 中,对于向量 当 时,1)即为几何空间 中内积在直角 坐标系下的表达式 . 即 这样 对于内积 就成为一个欧氏空间. 易证 满足定义中的性质 . 1)定义 (1) 所以, 为内积. 5 9.19.1 定义与基本性质定义与基本性质 2)定义 从而 对于内积 也构成一个欧氏空间. 由于对 未必有注意: 所以1),2)是两种不同的内积. 从而 对于这两种内积就构成了不同的欧氏空间. 易证 满足定义中的性质 . 所以 也为内积. 6 9.19.1 定义与基本性质定义与基本性质 例2 为闭区间 上的所有实连续函数 所成线性空间,对于函数 ,定义 (2) 则 对于(2)
4、作成一个欧氏空间. 证: 7 9.19.1 定义与基本性质定义与基本性质 且若则从而 故 因此, 为内积, 为欧氏空间. 8 9.19.1 定义与基本性质定义与基本性质 推广: 2. 内积的简单性质 V为欧氏空间, 9 9.19.1 定义与基本性质定义与基本性质 2) 欧氏空间V中, 使得 有意义. 二、二、欧氏空间中向量的长度欧氏空间中向量的长度 1. 引入长度概念的可能性 1)在 向量 的长度(模) 2. 向量长度的定义 称为向量 的长度. 特别地,当 时,称 为单位向量. 10 9.19.1 定义与基本性质定义与基本性质 3. 向量长度的简单性质 3)非零向量 的单位化: (3) 11
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