2008年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案-全国卷1.doc
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1、”这一事件,所以 AB=CD,且 C、D 互斥,又 ,34)21()32)(,10 21323)3()2)( 543 CDP由互斥事件的概率公式得 40)()( 54PAB解法二:用 Ak 表示“甲队得 k 分”这一事件,用 Bk 表示“已队得 k 分”这一事件,.k=0,1,2,3 由于事件 A3B0,A2B1 为互斥事件,故事P(AB)=P(A3B0 A2B1)=P(A3B0)+P(A2B1).243 )32) 1CC 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ (19)(本小题满分 12 分)将数列a n中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表:a1a2 a3a4 a5 a6a
2、7 a8 a9 a10记表中的第一列数 a1, a2, a4, a7, 构成的数列为b n,b 1=a1=1. Sn 为数列b n的前 n项和,且满足 =1(n2).NnSb()证明数列 成等差数列,并求数列b n的通项公式;n1()上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当 时,求上表中第 k(k3)行所有项的和.9148a()证明:由已知,当 n2 时2112111 1,()2,. 11.2,2.1nnnnnnnnnnnbSbSSbanSbSK又 ( )所 以 ( )即 所 以 又所 以 数 列 是 首 项 为 , 公 差 为 的 等 差 数
3、列由 上 可 知 ( )即 所 以 当 时 , 22(1) 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ 因此, Error!nb()解:设上表中从第三行起,每行的公比都为 q,且 q0.因为 1231278所以表中第 1 行至第 12 行共含有数列a n的前 78 项,故 a81 在表中第 13 行第三列,因此 28134.9bqg又 ,所以 q=2.记表中第 k(k3)行所有项的和为 S,则 (k 3).1)2(1)2(1)kbSkg(20)(本小题满分 12 分)如图,已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为菱形,PA平面ABCD, ,E,F 分别是 BC, PC 的中点.60ABC(
4、)证明:AEPD ; ()若 H 为 PD 上的动点,EH 与平面 PAD 所成最大角的正切值为 ,求二面角 EAFC 的余弦值.2()证明:由四边形 ABCD 为菱形,ABC=60 ,可得ABC 为正三角形.因为 E 为 BC 的中点,所以 AEBC .又 BCAD,因此 AEAD.因为 PA平面 ABCD,AE 平面 ABCD,所以 PAAE.而 PA 平面 PAD,AD 平面 PAD 且 PAAD=A,所以 AE平面 PAD,又 PD 平面 PAD.所以 AEPD.()解:设 AB=2,H 为 PD 上任意一点,连接 AH,EH.由()知 AE平面 PAD,则EHA 为 EH 与平面 P
5、AD 所成的角.在 Rt EAH 中,AE = ,3所以 当 AH 最短时,EHA 最大,即 当 AHPD 时,EHA 最大.此时 tanEHA = 6,2AEH 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ 因此 AH= .又 AD=2,所以ADH =45,2所以 PA=2.解法一:因为 PA平面 ABCD,PA 平面 PAC,所以 平面 PAC平面 ABCD.过 E 作 EOAC 于 O,则 EO平面 PAC,过 O 作 OSAF 于 S,连接 ES,则ESO 为二面角 E-AF-C 的平面角,在 Rt AOE 中,EO=AEsin30 = ,AO=AEcos30= ,3232又 F 是 P
6、C 的中点,在 RtASO 中,SO =AOsin45= ,4又 2390,48SEOS在 Rt ESO 中,cos ESO=215,304SE即所求二面角的余弦值为 15.解法二:由()知 AE,AD,AP 两两垂直,以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,又 E、F 分别为 BC、PC 的中点,所以E、F 分别为 BC、PC 的中点,所以A(0,0,0) ,B( ,-1, 0) ,C( ,1,0) ,33D(0,2,0) ,P (0,0,2) ,E( ,0,0) ,F() ,31,所以 31(3,0)(,).2AEFurur设平面 AEF 的一法向量为 1,mxyz则 0,mAF
7、 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ 因此1130,.2xyz取 1,(,2)zm则因为 BDAC , BDPA , PAAC=A ,所以 BD平面 AFC,故 为平面 AFC 的一法向量.BDur又 =(- ) ,3,0所以 cosm, =r2315.|Burg因为 二面角 E-AF-C 为锐角,所以所求二面角的余弦值为 15.(21) (本小题满分 12 分)已知函数 其中 nN*, a 为常数.()l(1),1nfxax()当 n=2 时,求函数 f(x)的极值;()当 a=1 时,证明:对任意的正整数 n, 当 x2 时,有 f(x)x-1.()解:由已知得函数 f(x)的定义
8、域为x|x1,当 n=2 时, 21l(1),a所以 3()().1xfx(1)当 a0 时,由 得()0f1, 1,12x2xa此时 .123()f当 x(1,x 1)时, 单调递减;()0,()fxf当 x(x 1+)时, 单调递增 中国校长网中国校长网资源频道 http:/ (2)当 a0 时, 恒成立,所以 f(x)无极值.()0fx综上所述,n=2 时,当 a0 时,f(x )在 处取得极小值,极小值为21a22(1)(ln).af当 a0 时,f(x )无极值.()证法一:因为 a=1,所以 1()ln().fxx当 n 为偶数时,令 1()ln(),()gxx则 .1 12()
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