常微分方程王克

1、|4-3 拉普拉斯變換解微分方程Laplace 變換之解題過程 :一、常係數微分方程解初始值問題 02/y .(*)(,1)0(/y(1) 在(*)式等號兩邊做拉普拉斯變換L2/y L 0 利用線性性質，得L /- L /-2 L 則2sL)(ty- sys)0(/L 2)0(ftL 0)(ty代入初始條件，得 L t之代數方程2sL )(sL 2)(L 1)(sty - (a)(2) 解代數方程 (a)，得L )(ty21s 困難簡單L1L的線性 ODEty L 之代數方程或低階 ODE)(styODE 的解 )(ty L )(sty|(3) 在上式兩邊做反拉普拉斯變換，得 )(tyL -1 L )(ty= L -121s 利用 1322sss及 Late= s，得初始值問題的解為 )(tyL -1 2s+ L -1 s31tet解初始值。

2、 信息科学与技术丛书 Matlab 微分方程高效解法： 谱方法原理与实现 张 晓 编著 机 械 工 业 出 版 社 本书系统地介绍了高效求解微分问题的 Matlab 程序编写方法和技巧， 并充分地给出了针对各种实际微分问题的实例， 包括三类基本线性微分方程 （抛物型、双曲型、椭圆型方程） ，四阶微分方程（双调和方程等） ，特征值 问题（定态薛定谔方程等）和广义特征值问题，以及其他非线性、耦合的复 杂微分方程（组） ，如：KdV 方程、非线性薛定谔方程、浅水方程、 Ginzburg-Landau 方程、Burgers 方程、反应-扩散方程、平流-扩散方程。同 时还。

3、7.2 简单的数值方法与基本概念 (2) 7.2.3 截断误差与算法精度的阶 现在分析求解初值问题（ 7.2.1 ）的数值方法误差的来 源。 为使问题简化，不考虑因计算机字长限制引起的舍入误 差。 在假设第 n 步计算是精确的前提下 （即 yn y(xn )），第 n 1步计 算 y(xn1) 的 截断误差 Rn y(xn1)yn1 称为局部截断误差。若某算法 的局部截断误差为O(hp1 )，即为 hp1 的同 阶无穷小，则称该算法 有 p 阶精度。 nn1n1nn 若局部截断误差R y(x ) y(x , y )hP1 O(hp2 ) 则称为误差主项，为误差主项系数。 nn (x , y )h P1 nn (x , y ) Euler 法的局部截断误。

4、7.2 简单的数值方法与基本概念 (1) 设 f (x, y) 在区域G : a x b, y 上连续， 求 y y(x)满足dy f (x, y), a x b dx y(a) y0 （ 7.2.1 ） 是已知常数 , 这就是一阶常微分方程的初值问 题。 其中 y0 件，即存在常数 L， 使 为使问题（ 7.2.1 ）的解存在、唯一且连续依赖初值 y0， 即初值问题（ 7.2.1 ）适定，还必须对右端项 f (x, y) 加以适当 限制，通常要求 f(x,y) 关于 y 是已知函 数 , 且满足 Lipschitz 条 7.2.1 常微分方程的初值问题 f (x, y1)f (x, y2) L y1 y2 （ 7.2.2 ） 对所有 x a, b 及 y1 , y2 (, ) 成立。 7.2.2 Euler 法及。

5、7.3 线性多步法 (1) 时只用用 Euler 法计算节点 xn x0 nh 的近似 值 yn 到前一节点的值 yn1 ，是线性的单步法。为了提高解的精 度，需 要构造线性多步法，其一般形式为 : kk j yn j hj fn j （ 7.3.1 ） j 0j 0 其中 fnj f (xnj , ynj )，j 和 j 是常数，且 k 0，0 和 0 不同时为 0 。 按公式（ 7.3.1 ）计算 ynk 时，要用到前面 k 个节点的值 yn, yn1, , ynk1， 因此式（ 7.3.1 ）称为多 步法（或 k- 步法）。又因为方程（ 7.3.1 ） 关于 ynj , fnj 是线性 的，所以称为线性多步法。 若 k 0，则线性多步法（ 7.3.1 ）是隐式的。用线性多。

6、7.3 线性多步法 (2) 7.3.2 待定系数法 j0 设 y(x) 是初值问题的解，将 y ( x jh) 和 y ( x jh) 在点 x 用 Taylor 公式展开，代入式（ 7.3.9 ）按 h的同次幂合并 同类项，得 为了分析一般线性多步法的局部截断误差，令 k L y(x), h j y(x jh) hj y (x jh) （ 7.3.9 ） 2p ( p)p L y(x), h c y(x) c hy (x) c hy (x) c hy(x) 其中 2 1 1 12k12k p12k12k p! 2!(2 1)! c ( p 1)! 01 2 c0 0 1 k c1 (1 22 kk ) (1 2 k ) 1 c(22 k 2) (2 k ) 1 (2 。

7、第 7 章 传染病模型 常微分方程数值解法简 介 7.1 实际问题的微分方程模 型 7.1.1实际问题的微分方程模型 函数是事物的内部联系在数量方面的反映，如何寻找变量 之间的函数关系，在实际应用中具有重要意义。在许多问题中， 往往不能直接找出变 量之间的函数关系，但是有时却容易找出 变量的改变量之间的关系，从而建立描述问 题的微分方程模型。 例 7.1.1 将初始温度的一杯水放置在环境温度 0 0 u 150 C 0 a u 24 C 的桌上， 10 分钟后测得水的温度为 1000C 。如果水的温度低 于 550C 才可以喝，问再过 20 分钟后这杯水能喝了吗？ 解 设 t。

8、7.6 常微分方程边值问题的数值解 法 常微分方程边值问题的一般形式为：求函数 y y(x), x a, b， 使之满足yf x, y, y, y ay b （ 7.6.1 ） 当 f x, y,z关于 y , z 是线性函数时，问题 （ 7.6.1 ）称为线性两点 边值问题。 常微分方程边值问题的基本数值解法分为两类，一类是将它 转化成初值问题来求解，第二类方法是利用数值微商的方法将 它 转化成线性或非线性方程组求解。 （ 7.6.2 ） 7.6.1 试射法 将边值问题转化成如下形式初值问题： yf x, y, y, y ay am 即依据边值条件寻求与它等价的初始条件：y am 然后，令 z yx，从而使问题 （ 7。

9、 General Information 书名=微分方程数值解法 作者= 页数= 出版社= 出版日期= SS号=12186625 DX号=000006694728 url= 6869686F6D6D696C3136343337323537&username=q hdx&spagenum=1&pages=50&fid=11561236&a=a6f0 919f8f7cb70ee007149df5f61945&btime=2012-07- 22&etime=2012-08-11&template=bookdsr1&first drs=http%3A%2F%2F %2FbookDetai l.jsp%3FdxNumber%3D000006694728%26d%3D6EBD7 F482869C881F08518379D0FB84E 封面 书名 版权 前言 目录 第一章 常微分方程初值问题的数值解法 1 引论 1.1 一阶常微分方程初值问题 1.2 Euler法 1.3 。