1、1、数学建模与数学实验 后勤工程学院数学教研室 微 分 方 程 实验目的 实验内容 2、学会用Matlab求微分方程的数值解. 1、学会用Matlab求简单微分方程的解析解. 1、求简单微分方程的解析解. 4、实验作业. 2、求微分方程的数值解. 3、 数学建模实例 求微分方程的数值解 （一）常微分方程数值解的定义 （二）建立数值解法的一些途径 （三）用Matlab软件求常微分方程的数值解 。2、数学建模与数学实验 后勤工程学院数学教研室 微 分 方 程 实验目的 实验内容 2、学会用Matlab求微分方程的数值解. 1、学会用Matlab求简单微分方程的解析解. 1、求简单微分方程的解析解.
2、 4、实验作业. 2、求微分方程的数值解. 3、 数学建模实例 求微分方程的数值解 （一）常微分方程数值解的定义 （二）建立数值解法的一些途径 （三）用Matlab软件求常微分方程的数值解 。3、4.3 Newton 迭代 法 对于方程 f (x) 0，应用迭代法时先要改写成 x g(x)，即需 要针对 f (x) 构造不同的合适的迭代函数 g(x)，显然可以取迭代函 数为 g(x) x f (x)，相应迭 代公式为： xk 1 xk f (xk ) 一般地，这种迭代公式不一定收敛，或者速度很慢。对此 公式应用前面的加速技术具体格式为： L k 1k 1k 1 f (xk ) xk 1 xk
3、x x (x x ) 1Lk 4.3.1 Newton 迭代法的基本概念 记 M L 1，则上面二式 可合并写为： Mxk 1 xk f (xk ) M g(x) x f (x) 面的迭代函数： 又由于 L为 g (x) 的近似值，而 g(x) x f (x) ，因此 M L 1 实际上是 f (x) 的。4、4.2 非线性方程的迭代解法 (1) 价的方程：x g(x) (4.2.1) 价方程： 然而将 f (x) 0 化为等价方程 (4.2.1)的方法是很多的。 例 4.2.1 对方程 f (x) x sin x 0.5 0可用不同 的方法将其化为等 2 1 x sin x 0.5g (x)
4、（ 2 ） （ 1 ）x sin x 0.5g1 (x) 4.2.1 迭代解法的基本概念 迭代法是一种逐次逼近法。它是求解代数方程，超越方程 及方程组的一种基本方法，但存在收敛性及收敛快慢的问 题。 用迭代法求解 f (x) 0的近似根，首先需将此方程化为 等 定义 4.2.1 （迭代法） 设方程为 x g(x) , 取方程根的一个初始近似 x0 ，按 下面 的逐次代入。5、4.2 非线性方程的迭代解法 (2) 对于收敛的迭代过程，只要迭代足够多次，总可以使结 果达到任意的精度。但有时迭代收敛缓慢，从而使计算量 变 得很大，因此迭代过程的加速是一个很重要的课题。 1 0 1 0 1L 1L 设
5、为根的某个预测值，用迭代公式校正一次 得： 由中值定理：，介于 近似地取某常数，则由 1 L x x* L(x x* ) x* x x 1 0 x g(x ) * *1 0 x x g ()(x x ) * 0 x ， x 之间，若 g (x)改变不 大。 0 x * x 可以期望按上式右端求得的 2 的近似值。 1 10是比 x1 更 好 1LL x x x0 x1 (x x ) 1L 1L 1 L 4.2.3 迭代解法的收敛性及改进 若。6、Matlab解微分方程 1 除了上述的已知ODE外，还须有起始条件 y0=y(x0)才能解方程式，即是在x=x0时， y(x)=y0。上述各个方程式
6、的解析解 (analytical solution) 如下： 2 阮奇-库达 (Runge-Kutta) 方法是最通用的解 ODE 的方法，它可以依计算精确度的要求有低 阶到高阶的各个 计算式， 3 MATLAB应用阮奇-库。7、山东大学硕士学位论文正倒向随机微分方程的数值解及其在金融中的应用姓名：包峰申请学位级别：硕士专业：金融数学指导教师：赵卫东;彭实戈20090501山东大学硕士学位论文中文摘要随着现代社会的发展，金融产品已经成为人们生活中不可或缺的组成部分，用于分析金融市场交易的各种数理模型也层出不穷正倒向随机微分方程是上世纪九十年代以后发展起来的一类重要的随机微分方程。随着倒向随机微
7、分方程在数理金融中的地位越来越显著，正倒向随机微分方程也逐渐显示出它在处理金融问题中所起到的作用本文主要讨论正倒向随机微分方程的数值解法及。8、7.5 一阶方程组和高阶方程的初值问题 理解为向量，那么，所提供的各种计算公式即可应用到 y 前面研究了单个方程f ( x, y) 初值问题的数值解法， 只要 把 y 和 f i y fi (x, y1, y2 , , ym ) yi (a) yi 0 , i 1, 2, , m 一阶方程组的情形。 含多个方程的一阶方程组初值问题的一般形式为 （ 7.5.1 ） 如果实际问题不是一阶方程组而是高阶方程，也可以把它化为一 阶方程组。 （ 7.5.2 ）
8、( m 1) 例如， m 阶微分方程 y(m) f (x, y, y, , y(m1) ) 只要引进新变量组 y1 y, y2 y , , ym y 式（ 7.5.2 ）就可化为一阶方程组 y 1 y2 y 2 y3 y m f 。9、7.4 非线性高阶单步法 Runge-Kutta 法 (2) 2! 3! 2 6 nn xxnnxynnnnyynnnn h 2 n1nnn y(x) y(x h) y(x ) hy (x ) 1 h2 y (x ) 1 h3 y(3) (x ) O(h4 ) y(xn ) hf (xn , y(xn ) 3 ( fx (xn , y(xn ) f y (xn
9、, y(xn ) f (xn , y(xn ) h f (x , y(x ) 2 f(x , y(x ) f (x , y(x ) f(x , y(x ) f 2 (x , y(x ) 4 26 ynnxnnynnnn ny f (x , y(x )( f (x , y(x ) f (x , y(x ) f (x , y(x ) O(h ) y(x ) h f 1 hF 1 h2 (Ff G) O(h3 ) y(x ) h(x , y , h) n。10、7.4 非线性高阶单步法 Runge-Kutta 法 (1) Euler 法是最简单的单步法，单步法不需要附加初值，所需的 存储量小，改变步
10、长灵活，但是线性单步法的阶最多是 2 。本节讨 论非线性（关于f ）高阶单步法的构造，主要介绍 Runge-Kutta 法。 7.4.1 Taylor 展开法 nnn 2! p! h( p1) y( p1) () n1nn 1 ( p 1)! y(x) y(x ) hy (x ) 1 h2 y(x ) 1 hp y( p) (x ) （ 7.4.1 ） (k ) n 其中 n 是介于 xn 与 xn1 之间 的常数，y (x ), (k 1, 2,., p 1) 是 解函 数 y(x) 在点 xn 的 k 阶导数，其值可以利用微分方程本身 来计算： 设初值问题（ 7.2.1 ）的。11、 上一
11、页 下一页 回目录 休 息 Email: Jansweili Phone: 02985583997 第五章 偏微分方程数值解 Numerical Methods for Partial Differential Equations &5.1 偏微分方程简介 &5.2 离散化公式 &5.3 几种常见偏微分方程的离散化计算 &5.4吸附床传热传质模。12、1/17 偏微分方程数值解法 7 抛物型方程差分法2 差分格式稳定性概念 显、隐格式稳定性分析 稳定性分析的矩阵方法 2/17 x t 抛物型方程 简单显式差分格式 在实际应用时,取逐层计算形式.当初始层数据有误差 时,误差会逐层传播,影响以后各
12、层的解. 记 的误差为 , 设 无误差, 则有 3/17 取 设初始层上,仅有 ,其它点处无误差 在各计算层上,误差传播。13、7.3 线性多步法 (1) 时只用用 Euler 法计算节点 xn x0 nh 的近似 值 yn 到前一节点的值 yn1 ，是线性的单步法。为了提高解的精 度，需 要构造线性多步法，其一般形式为 : kk j yn j hj fn j （ 7.3.1 ） j 0j 0 其中 fnj f (xnj , ynj )，j 和 j 是常数，且 k 0，0 和 0 不同时为 0 。 按公式（ 7.3.1 ）计算 ynk 时，要用到前面 k 个节点的值 yn, yn1, , yn
13、k1， 因此式（ 7.3.1 ）称为多 步法（或 k- 步法）。又因为方程（ 7.3.1 ） 关于 ynj , fnj 是线性 的，所以称为线性多步法。 若 k 0，则线性多步法（ 7.3.1 ）是隐式的。用线性多。14、7.3 线性多步法 (2) 7.3.2 待定系数法 j0 设 y(x) 是初值问题的解，将 y ( x jh) 和 y ( x jh) 在点 x 用 Taylor 公式展开，代入式（ 7.3.9 ）按 h的同次幂合并 同类项，得 为了分析一般线性多步法的局部截断误差，令 k L y(x), h j y(x jh) hj y (x jh) （ 7.3.9 ） 2p ( p)p
14、L y(x), h c y(x) c hy (x) c hy (x) c hy(x) 其中 2 1 1 12k12k p12k12k p! 2!(2 1)! c ( p 1)! 01 2 c0 0 1 k c1 (1 22 kk ) (1 2 k ) 1 c(22 k 2) (2 k ) 1 (2 。15、7.2 简单的数值方法与基本概念 (2) 7.2.3 截断误差与算法精度的阶 现在分析求解初值问题（ 7.2.1 ）的数值方法误差的来 源。 为使问题简化，不考虑因计算机字长限制引起的舍入误 差。 在假设第 n 步计算是精确的前提下 （即 yn y(xn )），第 n 1步计 算 y(xn1
15、) 的 截断误差 Rn y(xn1)yn1 称为局部截断误差。若某算法 的局部截断误差为O(hp1 )，即为 hp1 的同 阶无穷小，则称该算法 有 p 阶精度。 nn1n1nn 若局部截断误差R y(x ) y(x , y )hP1 O(hp2 ) 则称为误差主项，为误差主项系数。 nn (x , y )h P1 nn (x , y ) Euler 法的局部截断误。16、7.2 简单的数值方法与基本概念 (1) 设 f (x, y) 在区域G : a x b, y 上连续， 求 y y(x)满足dy f (x, y), a x b dx y(a) y0 （ 7.2.1 ） 是已知常数 , 这
16、就是一阶常微分方程的初值问 题。 其中 y0 件，即存在常数 L， 使 为使问题（ 7.2.1 ）的解存在、唯一且连续依赖初值 y0， 即初值问题（ 7.2.1 ）适定，还必须对右端项 f (x, y) 加以适当 限制，通常要求 f(x,y) 关于 y 是已知函 数 , 且满足 Lipschitz 条 7.2.1 常微分方程的初值问题 f (x, y1)f (x, y2) L y1 y2 （ 7.2.2 ） 对所有 x a, b 及 y1 , y2 (, ) 成立。 7.2.2 Euler 法及。17、第 7 章 传染病模型 常微分方程数值解法简 介 7.1 实际问题的微分方程模 型 7.1.
17、1实际问题的微分方程模型 函数是事物的内部联系在数量方面的反映，如何寻找变量 之间的函数关系，在实际应用中具有重要意义。在许多问题中， 往往不能直接找出变 量之间的函数关系，但是有时却容易找出 变量的改变量之间的关系，从而建立描述问 题的微分方程模型。 例 7.1.1 将初始温度的一杯水放置在环境温度 0 0 u 150 C 0 a u 24 C 的桌上， 10 分钟后测得水的温度为 1000C 。如果水的温度低 于 550C 才可以喝，问再过 20 分钟后这杯水能喝了吗？ 解 设 t。18、7.6 常微分方程边值问题的数值解 法 常微分方程边值问题的一般形式为：求函数 y y(x), x a
18、, b， 使之满足yf x, y, y, y ay b （ 7.6.1 ） 当 f x, y,z关于 y , z 是线性函数时，问题 （ 7.6.1 ）称为线性两点 边值问题。 常微分方程边值问题的基本数值解法分为两类，一类是将它 转化成初值问题来求解，第二类方法是利用数值微商的方法将 它 转化成线性或非线性方程组求解。 （ 7.6.2 ） 7.6.1 试射法 将边值问题转化成如下形式初值问题： yf x, y, y, y ay am 即依据边值条件寻求与它等价的初始条件：y am 然后，令 z yx，从而使问题 （ 7。19、 General Information 书名=微分方程数值解法
19、作者= 页数= 出版社= 出版日期= SS号=12186625 DX号=000006694728 url= 6869686F6D6D696C3136343337323537&username=q hdx&spagenum=1&pages=50&fid=11561236&a=a6f0 919f8f7cb70ee007149df5f61945&btime=2012-07- 22&etime=2012-08-11&template=bookdsr1&first drs=http%3A%2F%2F %2FbookDetai l.jsp%3FdxNumber%3D000006694728%26d%3D6
20、EBD7 F482869C881F08518379D0FB84E 封面 书名 版权 前言 目录 第一章 常微分方程初值问题的数值解法 1 引论 1.1 一阶常微分方程初值问题 1.2 Euler法 1.3 。18、上海万科工程部标准工作程序文件 文件编号：G-GCC- 3 /2 标题：供电局指定产品采购工作程序 发放日期：98.8.26 版本：A试 供电局指定产品采购工作程序 1、目的：维护公司利益，对所购供电局指定产品包括住户箱、电表箱、熔丝箱、分线箱、低压动力柜、母线槽等进行有效控制，确保第一时间解决问题。 2、范围：适用于公司工程系统一切供电局指定产品的采购工作。 3、职责： 3.1。水风险。现在科顺家庭防水全优。17、. 浅谈红楼梦与家庭教育 古典名著红楼梦博大精深，不仅描写了一个家族的兴衰史，也展现了我国古代封建时期的家庭教育观念，书中描写的情景虽然距离我们今天
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