1、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
2、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
3、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
4、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
5、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
6、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
7、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?导数各种题型方法总结导数各种题型方法总结 首先，首先，关于二次函数的不等式关于二次函数的不等式恒成立恒成立的主要解法：的主要解法： 1、分离变量；、分离变量；2 变更主元；变更主元；3 根分布；根分布；4 判别式法判别
8、式法 5、二次函数区间最值求法： （、二次函数区间最值求法： （1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系（ ）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系（2）端点处和顶点是最值所在）端点处和顶点是最值所在 其次，其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问 题”以及“充分应用数形结合思想” ，创建不等关系求出取值范围。 分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问 题”以及“充分应用数形结合思想” ，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：
9、函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立；一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令 、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)( xf得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种：、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值第一种：分离变量求最值-用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（0
10、,=0,0） 第二种：变更主元第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）（即关于某字母的一次函数）-（已知谁的范围就把谁作为主元已知谁的范围就把谁作为主元） ； （请同学们参看 ） ； （请同学们参看 2010 省统测省统测 2） 例 ） 例 1：设函数：设函数( )yf x在区间在区间 D 上的导数为上的导数为( )fx，( )fx在区间在区间 D 上的导数为上的导数为( )g x，若在区间，若在区间 D 上 ，上 ，( )0g x 恒 成 立 ， 则 称 函 数恒 成 立 ， 则 称 函 数( )yf x在 区 间在 区 间 D 上 为 “ 凸 函 数” ， 已 知 实 数上 为 “ 凸
11、函 数” ， 已 知 实 数 m 是 常 数 ，是 常 数 ， 432 3 ( ) 1262 xmxx f x （1）若）若( )yf x在区间在区间0,3上为“凸函数” ，求上为“凸函数” ，求 m 的取值范围； （ 的取值范围； （2）若对满足）若对满足2m 的任何一个实数的任何一个实数m，函数，函数( )f x在区间在区间, a b上都为“凸函数” ，求上都为“凸函数” ，求ba的最大 值 的最大 值. 解解:由函数由函数 432 3 ( ) 1262 xmxx f x 得得 32 ( )3 32 xmx fxx 2 ( )3g xxmx （1）( )yf x在区间在区间0,3上为“凸函
12、数” ，上为“凸函数” ， 则则 2 ( )30g xxmx在区间在区间0,3上恒成立 解法一：从 上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值二次函数的区间最值入手：等价于入手：等价于 max( ) 0gx (0)030 2 (3)09330 g m gm 解法二：解法二：分离变量法：分离变量法： 当 当0x 时时, 2 ( )330g xxmx 恒成立恒成立, 当当03x时时, 2 ( )30g xxmx恒成立 等价于 恒成立 等价于 2 33x mx xx 的最大值（的最大值（03x）恒成立，）恒成立， 而而 3 ( )h xx x （03x）是增函数，则）是增函数，则 max( ) (3)2
13、hxh 2m (2)当)当2m 时时( )f x在区间在区间, a b上都为“凸函数” 则等价于当 上都为“凸函数” 则等价于当2m 时时 2 ( )30g xxmx恒成立恒成立 变更主元法变更主元法 再等价于再等价于 2 ( )30F mmxx在在2m 恒成立恒成立（视为关于（视为关于 m 的一次函数最值问题）的一次函数最值问题） 2 2 ( 2)0230 11 (2)0 230 Fxx x F xx 2ba 请同学们参看请同学们参看 2010 第三次周考：第三次周考： 例例 2：设函数：设函数), 10(32 3 1 )( 223 Rbabxaaxxxf （）求函数（）求函数 f（x）的单
14、调区间和极值； （）若对任意的 ）的单调区间和极值； （）若对任意的,2, 1aax不等式不等式( )fxa恒成立，求恒成立，求 a 的取值范围的取值范围. （二次函数区间最值的例子）（二次函数区间最值的例子） 解： （）解： （） 22 ( )433fxxaxaxaxa 01a 令令, 0)( x f得得)(xf的单调递增区间为（的单调递增区间为（a,3a） 令令, 0)( x f得得)(xf的单调递减区间为（的单调递减区间为（，a）和（）和（3a，+） 当 ） 当 x=a 时，时，)(xf 极小值极小值= ; 4 3 3 ba 当当 x=3a 时，时，)(xf 极大值极大值=b. （）由（
15、）由|)(x f |a，得：对任意的，得：对任意的,2, 1aax 22 43axaxaa 恒成立 则 等 价 于 恒成立 则 等 价 于( )g x这 个 二 次 函 数这 个 二 次 函 数 max min ( ) ( ) gxa gxa 22 ( )43g xxaxa的 对 称 轴的 对 称 轴2xa 01,a12aaaa （放缩法） 即定义域在对称轴的右边， （放缩法） 即定义域在对称轴的右边，( )g x这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。 -22 3a a ( )f x a 3a 22 ( )431,2g xxaxaaa在上是
16、增函数上是增函数.（9 分）分） max min ( )(2)21. ( )(1)44. g xg aa g xg aa 于是，对任意于是，对任意2, 1aax，不等式恒成立，等价于，不等式恒成立，等价于 (2)44, 4 1. (1)215 g aaa a g aaa 解得 又又, 10 a. 1 5 4 a 点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系 第三种：构造函数求最值第三种：构造函数求最值 题型特征：题型特征：)()(xgxf恒成立恒成立0)()()(xgxfxh恒成立；从而转化为恒成立；从
17、而转化为第一、二种题型第一、二种题型 例例 3；已知函数；已知函数 32 ( )f xxax图象上一点图象上一点(1, )Pb处的切线斜率为处的切线斜率为3， 32 6 ( )(1)3(0) 2 t g xxxtxt （）求（）求, a b的值； （）当 的值； （）当 1,4x 时，求时，求( )f x的值域； （）当 的值域； （）当1,4x时，不等式时，不等式( )( )f xg x恒成立，求实数恒成立，求实数 t 的取值范围。 解： （） 的取值范围。 解： （） /2 ( )32fxxax /(1) 3 1 f ba ，解得，解得 3 2 a b （）由（）知，（）由（）知，( )f
18、 x在在 1,0上单调递增，在上单调递增，在0,2上单调递减，在上单调递减，在2,4上单调递减 又 上单调递减 又( 1)4,(0)0,(2)4,(4)16ffff ( )f x的值域是的值域是 4,16 （）令（）令 2 ( )( )( )(1)31,4 2 t h xf xg xxtxx 思路思路 1：要使：要使( )( )f xg x恒成立，只需恒成立，只需( )0h x ，即，即 2 (2 )26t xxx分离变量分离变量 思路思路 2：二次函数区间最值：二次函数区间最值 二、题型一：二、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围 解法解法
19、 1：转化为转化为0)(0)( xfxf或在给定区间上恒成立，在给定区间上恒成立， 回归基础题型 解法 回归基础题型 解法 2：利用子区间（即子集思想） ；首先求出函数的单调增或减区间，然后让 所给区间是求的增或减区间的子集； 利用子区间（即子集思想） ；首先求出函数的单调增或减区间，然后让 所给区间是求的增或减区间的子集； 做题时一定要看清楚“在（做题时一定要看清楚“在（m,n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b） ” ，要弄清楚 两句话的区别：前者是后者的子集 ） ” ，要弄清楚 两句话的区别：前者是后者的子集 例例 4：已知：已知Ra，函数，
20、函数xax a xxf) 14( 2 1 12 1 )( 23 （）如果函数 （）如果函数)()(xfxg是偶函数，求是偶函数，求)(xf的极大值和极小值；的极大值和极小值； 2xa 1,2aa （）如果函数（）如果函数)(xf是是),(上的单调函数，求上的单调函数，求a的取值范围的取值范围 解：解：) 14() 1( 4 1 )( 2 axaxxf. （） . （）( )fx是偶函数，是偶函数，1a.此时.此时xxxf3 12 1 )( 3 ，3 4 1 )( 2 xxf， 令 ， 令0)( x f，解得：，解得：32x. 列表如下： . 列表如下： x (,23)23(23,23)23(2
21、3,+) )(x f +00+ )(xf递增递增极大值极大值递减递减极小值极小值递增递增 可知：可知：( )f x的极大值为的极大值为34)32(f，( )f x的极小值为的极小值为34)32(f. . （）（）函数函数)(xf是是),(上的单调函数，上的单调函数， 2 1 ( )(1)(41)0 4 fxxaxa，在给定区间在给定区间 R 上恒成立上恒成立判别式法判别式法 则则 22 1 (1)4(41)20 4 aaaa ，解得：解得：02a. . 综上，综上，a的取值范围是的取值范围是20 aa. . 例例 5、已知函数、已知函数 32 11 ( )(2)(1) (0). 32 f xx
22、a xa x a （I）求）求( )f x的单调区间； （ 的单调区间； （II）若）若( )f x在在0，1上单调递增，上单调递增，求求 a 的取值范围。的取值范围。子集思想子集思想 （I） 2 ( )(2)1(1)(1).fxxa xaxxa 1、 2 0,( )(1)0,afxx当时恒成立 当且仅当当且仅当1x 时取“时取“=”号，”号，( )(,)f x 在单调递增。单调递增。 2、 1212 0,( )0,1,1,afxxxaxx 当时由得且 单调增区间：单调增区间：(, 1),(1,)a 单调增区间：单调增区间：( 1,1)a a-1 -1 ( )f x （II）当）当( )0,1
23、,f x在上单调递增则则0,1是上述增区间的子集：是上述增区间的子集： 1、0a 时，时，( )(,)f x 在单调递增 符合题意单调递增 符合题意 2、0,11,a，10a 1a 综上，综上，a 的取值范围是的取值范围是0，1。 三、题型二：根的个数问题三、题型二：根的个数问题 题题 1 函数函数 f(x)与与 g(x)（或与（或与 x 轴）的交点轴）的交点=即方程根的个数问题 解题步骤 即方程根的个数问题 解题步骤 第一步：画出两个图像即“穿线图” （即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后 减再增”还是“先减后增再减” ； 第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式
24、（组） ； 第一步：画出两个图像即“穿线图” （即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后 减再增”还是“先减后增再减” ； 第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组） ；主要看极大值和极小值与主要看极大值和极小值与 0 的关 系； 的关 系； 第三步：解不等式（组）即可；第三步：解不等式（组）即可； 例例 6、已知函数、已知函数 23 2 ) 1( 3 1 )(x k xxf ，kxxg 3 1 )(，且，且)(xf在区间在区间), 2(上为增函数上为增函数 （1）求实数）求实数k的取值范围；的取值范围； （2）若函数）若函数)(xf与与)(xg的图象有三个不同的交
25、点，求实数的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围的取值范围 解： （1）由题意解： （1）由题意xkxxf) 1()( 2 )(xf在区间在区间), 2(上为增函数， 上为增函数， 0) 1()( 2 xkxxf在区间在区间), 2(上恒成立上恒成立（分离变量法）（分离变量法） 即即xk1恒成立，又恒成立，又2x，21k，故，故1kk的取值范围为的取值范围为1k （2）设（2）设 3 1 2 ) 1( 3 )()()( 2 3 kxx kx xgxfxh， ) 1)() 1()( 2 xkxkxkxxh 令令0)( x h得得kx 或或1x由（1）知由（1）知1k， 当 ， 当1k时，时，
26、0) 1()( 2 xxh，)(xh在 R 上递增，显然不合题意 当 在 R 上递增，显然不合题意 当1k时，时，)(xh，)(x h 随随x的变化情况如下表：的变化情况如下表： x ),(kk) 1 ,(k1), 1 ( )(x h 00 )(xh极大值极大值 3 1 26 23 kk 极小值极小值 2 1k 由于由于0 2 1 k ，欲使，欲使)(xf与与)(xg的图象有三个不同的交点，即方程的图象有三个不同的交点，即方程0)(xh有三个不同的实根， 故需 有三个不同的实根， 故需0 3 1 26 23 kk ，即，即0)22)(1( 2 kkk 022 1 2 kk k ，解得，解得31k 综上，所求综上，所求k的取值范围为的取值范围为31k 根的个数知道，部分根可求或已知。根的个数知道，部分根可求或已知。 例 7、已知函数例 7、已知函数 32 1 ( )2 2 f xaxxxc （1）若（1）若1x 是是( )f x的极值点且的极值点且( )f x的图像过原
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