在三角形内截取三条相等线段.pdf

1、 在三角形内截取三条相等线段 金 占 魁金 占 魁 尺 规 作 图尺 规 作 图 系 列 丛 书系 列 丛 书 【在三角形内截取三条相等线段在三角形内截取三条相等线段】 1 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 在三角形内截取三条相等线段在三角形内截取三条相等线段 金占魁 湖北随县第一高级中学 写在前面的话写在前面的话 这个暑期酷热而慢长，闲寂室内，偶翻昔日的读书笔记，忽然有一 股想把所学知识系统归纳的冲动。想到了就干起来。 第一个系列是阿波罗尼奥斯问题，共四篇，它们是：解法基础、 常规解答、特款解法、名家解

2、法。 第二个系列是尺规作图中的偏锋杂题：三角形等内切圆的作法探 究、同时等分三角形面积和周长的直线、三角形内截取三条相 等线段、三角形内等周点的作法。 需要说明的是，由于本人的笔记中鲜有原著原作者的记录，当时只 为了省事为了记重点，所以本系列书丛中，不说明其引用来源和出外， 在此向原著作者表示歉意，同时也表达自己对原作者们的崇高敬意!谢谢 他们的辛勤付出! 本文作图力求简约，隐藏了旁条斜枝，尺规基本作图法也是一带而 过，比如作ABC的外接圆，我会叙述为：作(ABC),而不是“作三边 的中垂线，它们的交点为O，再以O为圆心以OA为半径作圆”，若是这样 的话，它会浪费你的宝贵的阅读时间的。同时为叙

3、述简洁，解答部分圆 的记法先作如下约定： (ABC)-表示过A、B、C三点的圆或ABC的外接圆。 A(R)-表示以A为圆心，R为半径的圆。 A(R-r)-表示以A为圆心，(R-r)为半径的圆。 A(BC)-表示以A为圆心，BC为半径的圆。 上面的叙述与“几何画板”作图有关。注意!本书不采用这种记圆法： (O，R-r)-以O为圆心，以R-r为半径的圆。 O(ABCDF)-A、B、C、D、F多点共圆于O。 还有就是本系列丛书中，没有作弧的说法，全部改为作圆了。作圆 的目的可能是为了作另一圆的切线，亦或者是为了截取线段的长，这可 能对读者带来不便，请读者们谅解! 本书只是无限风光在险峰的章节片断，请

4、在线浏览无限风光 在险峰上的全部内容！ 2019年7月于随州 【在三角形内截取三条相等线段在三角形内截取三条相等线段】 2 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 在三角形内截取三条相等线段在三角形内截取三条相等线段 已知已知：ABC. 求作求作：E、F两点，使点E在边AB上、点F在AC上，且BEEFFC. 作法一作法一： 1.不妨设ACAB，作A(AB)交AC于D。(此法也适用于当AB=AC时) 2.作D(DA)交直线BC于G。(G在ABC外)。 3.作G(GD)交A(AB)于H。直线BH交AC于F。 4.过

5、F作FEAH交AB于E，则E、F即是所求。 作法剖析作法剖析： 1.由作法知：AB=AD=AH=DG=GH=c。 2.ABH是等腰三角形，EFAH，则EBF为等腰三角形，即BE=EF。 3.菱形ADGH中对边平行，得CFGH，故CF：GH=BF：BH。 又因EFAH，得EF：AH=BF：BH 。所以CF=EF。从而BE=EF=CF。 【在三角形内截取三条相等线段在三角形内截取三条相等线段】 3 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 作法二作法二： 1.不妨设ACAB，作ABC的外接圆O，交BC的垂直平分线于M

6、。 2.作同心圆B(BC)、B(BM)。作M(MA)分别交两个同心圆于T、R。作 T(TM)交B(BC)于S。(右图是作第四比例线段，即BC：BM=SR：AM)。 3.连结SR，作B(SR)与圆O交于P和P?。直线MP与直线AB交于E。 4.过B作BQPC交O于Q，MQ交AC于F。则E、F即是所求。 第四比例线段作法第四比例线段作法，即即BCBC：BM=SRBM=SR：AMAM 作法剖析作法剖析： BEMBEMCFM CFM BPEBPEMAE MAE MEFMEFMBCMBC 如图，BEMCFM 得BE=CF ，下面只需证明BE=EF即可。 由BPEMAE得 PB：AM=BE：EM， 由MB

7、CMEF得 BC：BM=EF：EM, 由步骤2作法得 BC：BM=PB：AM ， 由上述三式等量代换可得出BE=EF。 补充补充说明说明： 【在三角形内截取三条相等线段在三角形内截取三条相等线段】 4 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! ! 1.步骤3中还有一点P?，用它也可作出EF，但EF在ABC外，故省略了它 的作法。 2.步骤4也可改为“过E作EFPC交AC于F”，或者改为“作(MAE)交AC 于F”。目的都是使EMB=FMC。 3.当AB=AC时，作C的平分线交AB于E，过E作EFBC交AC于F，则E、F即 是所求。 2019年7月于随州 【在三角形内截取三条相等线段在三角形内截取三条相等线段】 5 【金占魁系列丛书金占魁系列丛书】 我是一朿缈缈烛光我是一朿缈缈烛光，可完结你黑暗中的漫漫求索可完结你黑暗中的漫漫求索! !