1、专题十三 推理与证明第三十九讲 数学归纳法答案部分1【解析】（）用数学归纳法证明：当时，假设时，那么时，若，则，矛盾，故因此所以因此（）由得记函数函数在上单调递增，所以=0，因此 故（）因为所以得由得所以 故综上， 2【解析】（）的定义域为，当，即时，单调递增；当，即时，单调递减故的单调递增区间为，单调递减区间为当时，即令，得，即 （）；由此推测： 下面用数学归纳法证明（1）当时，左边右边，成立（2）假设当时，成立，即当时，由归纳假设可得所以当时，也成立根据（1）（2），可知对一切正整数n都成立（）由的定义，算术-几何平均不等式，的定义及得，即3【解析】（）由已知，得于是所以故（）证明：由已知
2、，得等式两边分别对x求导，得，即，类似可得，.下面用数学归纳法证明等式对所有的都成立.(i)当n=1时，由上可知等式成立.(ii)假设当n=k时等式成立, 即.因为，所以.所以当n=k+1时,等式也成立.综合(i),(ii)可知等式对所有的都成立.令，可得().所以()4【解析】（）证：用数学归纳法证明（1）当时，原不等式成立。（2）假设时，不等式成立当时，所以时，原不等式成立。综合（1）（2）可得当且时，对一切整数，不等式均成立。（）证法1：先用数学归纳法证明。（1）当时由假设知成立。（2）假设时，不等式成立由易知当时由得由（）中的结论得因此，即所以当时，不等式也成立。综合（1）（2）可得，
3、对一切正整数，不等式均成立。再由得，即综上所述，证法2：设，则，并且，由此可见，在上单调递增，因而当时。（1）当时由，即可知，并且，从而故当时，不等式成立。 （2）假设时，不等式成立，则当时，即有，所以当时原不等式也成立。综合（1）（2）可得，对一切正整数，不等式均成立。5【解析】：（）解法一：再由题设条件知从而是首项为0公差为1的等差数列，故=，即解法二：可写为.因此猜想.下用数学归纳法证明上式：当时结论显然成立.假设时结论成立，即.则这就是说，当时结论成立.所以（）解法一：设，则.令，即，解得.下用数学归纳法证明加强命题：当时，所以，结论成立.假设时结论成立，即易知在上为减函数，从而即再由
4、在上为减函数得.故，因此，这就是说，当时结论成立.综上，符合条件的存在，其中一个值为.解法二：设，则先证：当时，结论明显成立.假设时结论成立，即易知在上为减函数，从而即这就是说，当时结论成立，故成立.再证：当时，有，即当时结论成立假设时，结论成立，即由及在上为减函数，得这就是说，当时成立，所以对一切成立.由得，即因此又由、及在上为减函数得，即所以解得.综上，由知存在使对一切成立.6【解析】（），令，解得.当时，所以在内是减函数；当 时，所以在内是增函数.故函数在处取得最小值. （）由（）知，当时，有，即 若，中有一个为0，则成立；若，均不为0，又，可得，于是在中令，可得，即，亦即.综上，对，为
5、正有理数且，总有. （）（）中命题的推广形式为：设为非负实数，为正有理数. 若，则. 用数学归纳法证明如下：（1）当时，有，成立. （2）假设当时，成立，即若为非负实数，为正有理数，且，则. 当时，已知为非负实数，为正有理数，且，此时，即，于是=.因，由归纳假设可得，从而. 又因，由得，从而故当时，成立由（1）（2）可知，对一切正整数，所推广的命题成立说明：（）中如果推广形式中指出式对成立，则后续证明中不需讨论的情况.7【解析】（）由，而，的一个零点，且在（1，2）内有零点。因此至少有两个零点。解法1：记则当上单调递增，则内至多只有一个零点。又因为内有零点，所以内有且只有一个零点，记此零点为；当时，所以，当单调递减，而内无零点；当单调递减，而内无零点；当单调递增，而内至多只有一个零点。从而内至多只有一个零点。综上所述，有且只有两个零点。解法2：由，则当从而上单调递增，则内至多只有一个零点，因此内也至多只有一个零点。综上所述，有且只有两个零点。（）记的正零点为 （1）当而由此猜测：。下面用数学归纳法证明。当显然成立。假设当时，由因此，当成立。故对任意的成立。 （2）当，由（I）知，上单调递增，则，即，由此猜测：，下面用数学归纳法证明，当显然成立。假设当成立，则当时，由因此，当成立，故对任意的成立综上所述，存在常数，使得对于任意的
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