1、皖 西 学 院本科毕业论文（设计）论 文 题 目 微分中值定理应用初探姓名（学号） 倪森 系 别 数 理 系 专 业 数学与应用数学 导 师 姓 名 邵毅 二一一年四月微分中值定理应用初探作 者 倪森指导教师 邵 毅摘要：本文首先介绍了微分三大中值定理以及它们之间的关系，然后论述了微分中值定理在研究函数性质，求极限，求近似值和在实际生活中的应用。关键词：中值定理 联系 应用 微分中值定理是微分学的基本定理之一，是沟通函数与其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具.应用十分广泛。1、微分中值定理及其几何意义1.1 罗尔（Rolle）中值定理：若函数f满足如下条件: (i)
2、f在闭区间a,b上连续; (ii)f在开区间(a,b)内可导;(iii),则在内至少存在一点,使得 (1)证明：因为在闭区间上连续,所以有最大值与最小值,分别用表示,现分两种情况来讨论:(1) 若,则在上必为常数,从而结论显然成立。(2) 若,则因,使得最大值与最小值至少有一个在内某点处取得,从而是的极值点。由条件(ii), 在点处可导,故由费马定理推知。 罗尔定理的几何意义:在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端点高度相等,则至少存在一条水平切线（图1）。OxyBAPaby=f(x)y=F(x)+f(a) y= xb-a图21.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理： 若函数f满足
3、如下条件: (i) f在闭区间a,b上连续; (ii) f在开区间(a,b)内可导,则在内至少存在一点,使得. （2）f(b)-f(a)证明：作辅助函数显然,且在上满足罗尔定理的另两个条件故,使移项后即得所要证明的(2)式。拉格朗日公式还有下面三种等价表示形式：; ; 拉格朗日中值定理的几何意义:在满足定理条件的曲线上至少存在一点,该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB（图2）。1.3 柯西（Cauchy）中值定理: 设函数和满足: (i) 在上都连续;(ii) 在(a,b)上都可导;(iii) f(x)和g(x)不同时为零;(iv)O图 3xyB(g(b),f(b)C(g( ),f(
4、 )A(g( ),f( )则在内至少存在,使得 (3)证 明： 作辅助函数 ,易见在上满足罗尔定理的条件,故存在,使得因为(否则由上式),所以可把上式改写成(3)式。 此定理有着与前两个中值定理相类似的几何意义,只是要把这两个函数写作以为参量的参数方程 .在平面上表示一段曲线,由于(3)式右边的表示连接该曲线两端点的弦AB的斜率,而(3)式左边的,则表示该曲线上与相对应的一点处的切线的斜率。因此(3)式即表示上述切线与弦AB互相平行（图3）。1.4 泰勒公式若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)的多项式和一个余项的和： f(x
5、)=f(x.)+f(x.)(x-x.)+f(x.)/2!(x-x.)2,+f(x.)/3!(x-x.)3+f(n)(x.)/n!(x-x.)n+Rn 其中Rn=f(n+1)()/(n+1)!(x-x.)(n+1),这里在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。 （注：f(n)(x.)是f(x.)的n阶导数，不是f(n)与x.的相乘。） Lagrange中值定理是的特例。1.5 中值定理的一些推论1、Rolle定理的推论：若f在，上连续，在(，)内可导，则存在，使得（简言之：可导函数的两个根之间必有导数的零点）。2、Lagrang定理的推论：推论 若函数f在区间I上可导，且，则f为I上的一个常
6、量函数。几何意义：斜率处处为0的曲线一定是平行于x轴的直线。推论 若函数f和g均在I上可导，且，则在区间I上f(x)与g(x)只差一个常数，即存在常数C，使得。2、微分中值定理之间的内在联系 罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理以及泰勒公式是微分学的基本定理。这些定理都具有中值性，所以统称微分学中值定理，以拉格朗日中值定理为中心，它们之间的关系可用简图示意3、微分中值定理的应用以罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础，尤其是拉格朗日中值定理它们建立了函数值与导数值之间的定量联系，因而可用中值定理通过导数去研究函数的性态。中值定理的主要作用在于理论分析和证明
7、；同时由柯西中值定理还可导出一个求极限的洛必达法则中值定理的应用主要是以中值定理为基础，应用导数判断函数单调性、取极值、凹形、凸形和拐点等项的重要性态。从而把握函数图象的各种几何特征此外，在研究极值问题中也有重要的实际应用3.1 判别可微函数的单调性定理1 设f(x)在区间a,b上可导，则f(x)在a,b上递增（减）.证明：如为增函数，则对每一，当时，有 令即得 反之，若在区间I上恒有，则对（不妨设）由Lagrange中值定理知，使得 由此即得 在I上递增 #例1.设在上连续,在内可导,且,单调增加求证:在内也单调增加证明:由于 , (当时) 又单调增加,有 (当时) 在内单调增加 3.2 求
8、解不定式的极限 柯西中值定理的一个极其重要的应用就是可以用来计算未定型的极限。仔细观察柯西中值定理里的表达式的形式，可以看到两个函数式的比值，在一定条件下可以化成者两个函数的导数的比值，这样就有可能使得作为未定型的分式的分子与分母所表示的函数，通过求导，而得到非未定型。这是一个基本的思路，我们有下面的定理： (Hospital法则) 若函数和满足:(i) ;(ii) 在点的某空心邻域内两者都可导,且;(iii) 可为实数.也可为或),则 .证明: 补充定义,使得与在处连续,任取,在区间(或)上应用柯西中值定理,有即介于与之间)。当令时,也有,故得 注:若将其中换成,只要相应地修正条件(ii)中
9、的邻域,也可得同样的结论.例2.求.解:易知,与在的邻域内满足Hospital法则的条件(i)和(ii),又因,故由洛必达法则求得.例3.求.解: 由洛必达法则有 .3.3 证明不等式和等式例4.设,证明不等式：证明：设 = 根据拉格朗日中值定理得 =，由于 （ ） #例5.设函数在上连续，在内可导，且 求证：对函数 有 成立 证明： = = = #例6.设求证：，其中在与之间。证明：由于则不在与之间 令，则 与在与所限定的区间上满足柯西中值定理的条件 整理得， #3.4 证明中值点的存在性例7.设函数在0，上二阶可导，且求证：至少存在一点，使得。分析：结论可写为 即 令 ，移项得 取 证明：
10、 作辅助函数 易见，由题设可知 在0，上连续，在（0，）内可导，且 于是，在0，上满足罗尔定理至少存在一点（0，），使得 即 例8.设函数在上连续，在内可导，求证： 至少存在一点，使得 分析：令 ，则 可见，这是一个对称式（与互换，等式不变），故取 证明：取辅助函数 显然，在上连续，在内可导，且 所以，在上满足罗尔定理的条件，故至少存在一点，使得 即 即 #注：例8采用的方法称为常数k值法，通常它可以如下进行：（1） 令常数部分为k；（2） 恒等变形，使等式一端为及构成的代数式，另一端为及构成的代数式；（3） 看两端的表达式是否为对称式或轮换对称式，若是，只须把（或）改为，相应的函数值（或）改
11、成，则替换变量后的端点表达式就是所求的辅助函数.例9.设在-1，1内有三阶连续导数，且， 求证：使 证明：作三次多项式 ，满足， ，由此得 ， 即 而令，则 先在-1，0和0，1上对用罗尔中值定理知存在，使得，再在，上 对用罗尔中值定理得，使得 再在上对用罗尔中值定理得，使得 ，又， 故 注：例9所表述的方法称为多项式函数法，在运用时须注意所设函数导数的阶数即是多项式次数.3.5 证明方程根的存在性与唯一性 例10.设在内可微，求证：在的任何两个零点之间必有的一个零点证明：取辅助函数 显然，在上连续，且在内可微，其中为的任意两个零点，即，且 可知，在上满足罗尔定理的条件，于是，至少存在一点使得
12、 即 也即 例1设在0，1上可微，对于0，1上每一个，函数的值都在开区间（0，1）内，且，求证：在（0，1）内有且仅有一个，使得证明：令 由题意知，在0，1上连续，又因 由闭区间上连续函数的零点定理可知，在（0，1）内至少有一个，使 ，即 下用反证法证在（0，1）内至多有一个零点否则，使得 ， 由拉格朗日中值定理知，至少存在一个 ，使得 与题设矛盾，命题得证 。 注：在证唯一性时，常先利用零点定理或罗尔定理证明函数至少有一个实根，再利用函数的单调性证明最多只有一个实根，从而得证。3.6 证明有关重要理论 例12（导数极限定理）设函数在点的某邻域内连续，在内可导且极限存在，则在点可导，且 证明：
13、（1）任取，在上满足Lagrange中值定理，则 ，使得 （*）由于，故当时，有，对（*）式两边取极值，使得 （2）同理可得 由于，故 ，从而，即 例13 .(微积分基本公式)如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间上的一个原函数，则 证明: 在中任意插入若干个分点对于上式右边的和式中的每一项应用微分中值定理 记因为连续函数在区间上可积,所以在上式中令,根据定积分定义即可得 = 3.7 利用泰勒公式求近似值泰勒公式集中体现了微积分逼近法的精髓, 是数学分析中重要知识点,并且在解决数学问题方面有着十分重要的作用. 论文主要列举泰勒公式在数学中常用的几个问题,归纳泰勒公式在解决数学问题中的若干应用
14、.例1 计算的近似值，要求精确到小数点后的第五位解=，选择其中取来计算，其误差为，答案符合精度要求，因此当然，微分中值定理的应用不拘一格，在实际运用中不能机械的就用某种方法，对具体问题要注意具体条件具体分析，多种方法要学会灵活运用。应收集的资料、主要参考文献及实习地点：1、数学分析（上册）北京:高等教育出版社 华东师范大学数学系 2、数学分析中的典型问题与方法M斐礼文北京：高等教育出版社，3、数学分析华东师范大学数学系编.北京:人民教育出版社4、数学分析习题课讲义薛宗慈编，北京:北京师范大学出版社5、数学分析(上册)周性伟，刘立民著.天津:南开大学出版社6、高等数学M同济大学数学教研室.北京:
15、高等教育出版社7、数学分析中的典型例题和解题方法M孙本旺等.长沙;湖南科技出版 .Inquiry The Application of The differential theorem of meanAuthor Lu LeiTeacher Shao YiAbstract：This article has discussed the differential theorem of mean geometry significance and the inner link thoroughly; The system summarized differential theorem of mean
16、 each kind of application; Introduced the structure auxiliary function creates the condition application differential theorem of mean solution actual problem the method; Also has further expounded the differential theorem of mean importance from the theory and the actual two angles.Key words：Differential theorem of mean; Using; Proof; Inferential reasoning
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