1、4.2 非线性方程的迭代解法 (1) 价的方程：x g(x) (4.2.1) 价方程： 然而将 f (x) 0 化为等价方程 (4.2.1)的方法是很多的。 例 4.2.1 对方程 f (x) x sin x 0.5 0可用不同 的方法将其化为等 2 1 x sin x 0.5g (x)（ 2 ） （ 1 ）x sin x 0.5g1 (x) 4.2.1 迭代解法的基本概念 迭代法是一种逐次逼近法。它是求解代数方程，超越方程 及方程组的一种基本方法，但存在收敛性及收敛快慢的问 题。 用迭代法求解 f (x) 0的近似根，首先需将此方程化为 等 定义 4.2.1 （迭代法） 设方程为 x g(x
2、) , 取方程根的一个初始近似 x0 ，按 下面 的逐次代入法，可构造一个近似解序列： 这种方法称为迭代法（或单点迭代法），g(x) 称为迭代函 数。 x2 g x1 xk 1 g xk xk 1 g xk x0 , x1 , x2 , xk , 迭代过程 x1 g x0 产生数 列xn : 迭代公式： 若由迭代法产生序 列 极限存在，即， 称迭代法收敛，否则称迭代法不收敛。 k x * k k lim x x k k 1 k k k k x lim x lim g(x ) g lim x g(x ) 若连续，且，则 k k lim x x* g x 即 x为方程 f (x) 0 的解（称 x
3、为函数 g(x) 的不动点） 在由方程 f (x) 0 转化为等价方程 x g(x) 时，选择 不同的迭 代函数 g(x)，就会产生不同的序列xk （即使 初值 x0 选择一样）， 且这些序列的收敛情况也不会相同。 例如对例 4.2.1 中的方程 f (x) x sin x 0.5 0 用下面两种不同迭代 函数 进行迭代，初值都取 为 1 ， 计算结果如右图 所示。 x sin x 0.5g1 (x) 2 1 x sinx 0.5g(x) 部分计算结果 kg1 (x)xkg2 (x)xk f (xk ) 01.01.0 1 1.341471 0.523599 2 1.473820 0.0236
4、01 3 1.049530 -0.496555 4 1.497152 -1.487761 5 1.497289 6 1.497300 3.6 107 7 1.497300 对用迭代法求方程 f (x) 0 的近似根，需要研究下面的 问题： (1) 如何选取迭代函数 g(x) 使迭代过程 xk 1 g xk 收敛。 (2) 若 xk 收敛较慢时，怎样加速 xk 收敛。 迭代法的几何意义： 求方程 x g(x) 根的问题，是求曲线 y g(x) 与直线 y x 交 点的横坐标 x，当迭代函数 g(x) 的 导数函数g x在根 x处满足 下述几种条件时，从几何 上来看迭代过程 xk 1 g xk 的
5、收敛情况 如图 4.2.1 。 (1) 0 gx* 1 1 gx* 0 (2) gx* 1 (3) (4) g x1x, gx* 1 4.2.2 迭代解法的收敛 性 由迭代法的几何定义知，为了保证迭代过程收敛，应该要 求迭代函数的导数满足条件 g (x) 1 。当 x a, b 时，原方程在 a, b 中可能有几个根或迭代法不收敛，为此有关于迭代收敛 性的 定理。 (1) 设 g(x) 于a,b 一阶导数存在， (2) 当 x a,b 时，有 g(x) a,b， (3) g (x) 满足条件g (x) L 1, x a, b,则有 定理 4.2.2 设有方程 x g(x)，若 g(x)满 足
6、x g(x) 在a, b 上有 唯一解 x* 对任意选取初始值 1 2 0 x a, b k 即： lim x x* k ，迭代过程 x k 1 g(x ),k 0,1,. 收 敛， 3 1 kk L x * k 1k 1 xkx xx x 1 L1 L 4 * k k L x x , (k 1, 2,.) x x 1 L1 0 误差估计 (1) 设 g(x) 于a,b 一阶导数存在， (2) 当 x a,b 时，有 g(x) a,b， (3) g (x) 满足条件g (x) L 1, x a, b,则有 定理 4.2.2 设有方程 x g(x)，若 g(x)满 足 定理条件 g (x) L
7、1, x a, b，在一般情 况下，可能对 大范围的含根区间不满足，而在根的邻近是成立 的，为 此有如下迭代过程的局部收敛性结果。 ，则对任意初值 （在 收敛于 x*。 0 x x的邻域内），迭代过程 k 1 x g(x) k 0,1,. g (x* ) 1， 定理 4.2.3 （迭代法的局部收敛 性） 设给定方程x g(x) (1) 设x* 为方程的解， (2) 设 g(x) 在 x* 的邻域内连 续可微，且有 * ？ 若xk 收敛较慢时，怎样加速 xk 收敛。 4.2 非线性方程的迭代解法 (1) 弹幕问题： a.；b. 1. 逐迭代收敛定理 4.2.2 中的条件要求g(x)在区间上可导，这 一要求 可以降低成连续吗？ ( 可以 ) 2. 第 k 次迭代的误差估计式为 。（ b ） * 1 xk 1 x xk xk 1 L kkk 1； x* x L x x 1 L c. kkk 1 x* x L x x ； 1 L d.kk 1k； x* x L x x 1 L
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