1、第十四章第十四章 网络图论基础网络图论基础 与电路的矩阵方程与电路的矩阵方程引言引言本章学习的重点本章学习的重点：（3 3）各种分析方法的实质）各种分析方法的实质（4 4）系统法列写电路方程）系统法列写电路方程（1 1）网络图论基础）网络图论基础（2 2）基氏定律的矩阵描述）基氏定律的矩阵描述14-1 14-1 网络图论的基本概念网络图论的基本概念1 12 23 34 45 56 67 71512341 1、图、图，边和顶点边和顶点2 2、子图、子图 退化子图退化子图生成子图生成子图3 3、连通图与非连通图、连通图与非连通图4 4、有向图与无向图、有向图与无向图6 6、平面图与非平面图，网孔、
2、平面图与非平面图，网孔5 5、回路、回路（平面图）（平面图）（非平面图）（非平面图）14-1 14-1 网络图论的基本概念网络图论的基本概念1 12 23 34 45 56 67 7151234网孔的概念网孔的概念6 6、平面图与非平面图，网孔、平面图与非平面图，网孔（mesh）内网孔，外网孔内网孔，外网孔内网孔数目内网孔数目b n+17 7、对偶图、对偶图对偶图的概念对偶图的概念问题问题:如何求一给定图的对偶图如何求一给定图的对偶图?GG 当图当图G的某两个节点间连接着一条支路时的某两个节点间连接着一条支路时,则图则图G的对应的的对应的两个网孔之间就有一条公共支路两个网孔之间就有一条公共支路
3、,反之亦然反之亦然 节点节点网孔网孔(含外网孔含外网孔)网孔网孔(含外网孔含外网孔)节点节点1 12 24 45 56 67 71512343 31234 12 3 4 7 6 5 7 7、对偶图、对偶图求一给定图的对偶图的方法求一给定图的对偶图的方法14-1 14-1 网络图论的基本概念网络图论的基本概念8 8、树、树 树的概念树的概念连通子图连通子图 连通所有节点连通所有节点 不含回路不含回路2 25 57 71512343 31 12 24 45 56 67 73 38 8、树、树（tree）2 25 56 63 31 14 45 56 64 45 56 67 7 树支及树支数目树支及树
4、支数目bt=n1连支及连支数目连支及连支数目bl=bn+1树树1234561234416T2123T1315T3453T4526T5423T6512T7412T8452T9415T10632T11316T12365T13346T14624T15165T1612345678910111213123456789101112131234567891011121312345678910111213例例 判断是否为树。判断是否为树。2、4、10、7、8、132、3、11、9、5、8、139、1、10、13、12、7、41、3、6、9、10、11、128 8、树、树（tree）树亦可按满足下面三个条件中的
5、任意两条加以定义树亦可按满足下面三个条件中的任意两条加以定义连通所有节点；连通所有节点；不含回路；不含回路；仅有仅有n1条支路条支路 连支及连支数目连支及连支数目bl=bn+19 9、割集、割集 讨论割集的意义讨论割集的意义 概念概念严格定义严格定义(两个条件两个条件)移去支路的含义移去支路的含义1 12 24 45 56 67 73 31 14 46 67 7移去支路移去支路2、3、5（cut-set）9 9、割集、割集1 12 24 45 56 67 73 31 15 56 67 73 31、2、41 12 27 73 34、5、64 47 73 31、2、5、62 27 73 31、4、
6、5、6（cut-set）9 9、割集、割集例例 判断支路集合是否为割集。判断支路集合是否为割集。12612345673，4，5，7561234561，2，3，414-1 14-1 网络图论的基本概念网络图论的基本概念14-2 14-2 有向图的矩阵表示有向图的矩阵表示从电路考虑要关注一个有向图的哪些信息？从电路考虑要关注一个有向图的哪些信息？14-2-1 14-2-1 关联矩阵关联矩阵A12345612341 1、Aa的编写规则的编写规则2 2、Aa的列的特点的列的特点r(Aa)n 1支路支路节点节点Aa=aik1 支路支路k与节点与节点i关联，且方向离开节点关联，且方向离开节点i-1 支路支
7、路k与节点与节点i关联，且方向指向节点关联，且方向指向节点i0 支路支路k与节点与节点i不关联不关联aik=3 3、（降阶）关联矩阵、（降阶）关联矩阵A 1 0 0 1 0 -1-1 1 1 0 0 0 0-1 0 0 -1 1 0 0 1-1 1 0Aa=14-2 14-2 有向图的矩阵表示有向图的矩阵表示14-2-1 14-2-1 关联矩阵关联矩阵A A3 3、（降阶）关联矩阵、（降阶）关联矩阵A 概念概念 A的子阵的子阵At r(A)=n-1A=1 0 0 1 0 -1-1 1 1 0 0 00 -1 0 0 -1 1A=0 1 -1 1 0 0 1 0 0 -1 1 0-1 0 1 0
8、 0 -1 2 4 6 1 3 5At=1 0 0-1 1 0 0 0 -1detAt=-11234561234结论结论 在矩阵在矩阵A A中，与任一树的树支对应的列组成的（中，与任一树的树支对应的列组成的（n-1n-1）阶子）阶子矩阵是非奇异的。且矩阵是非奇异的。且detAt=1。反之，如果反之，如果(n-1)(n-1)阶子矩阵的列不对应于任一树的树支，阶子矩阵的列不对应于任一树的树支，则此则此(n-1)(n-1)阶子矩阵一定是奇异的。阶子矩阵一定是奇异的。Num(T)=det(AAT)123456123414-2-2 14-2-2 网孔矩阵网孔矩阵M M1 1、M M的编写规则的编写规则m
9、1m2m32 2、内网孔是一组独立回路、内网孔是一组独立回路r(M)=b n+114-2-3 14-2-3 基本回路与基本回路矩阵基本回路与基本回路矩阵一个连通图有多个回路，其中一个连通图有多个回路，其中独立的回路是多少个独立的回路是多少个？12612314-2-3 14-2-3 基本回路与基本回路矩阵基本回路与基本回路矩阵12345612341356123412451234134124235234456134234612341 1、基本回路、基本回路概念概念基本回路数基本回路数=b=b n+1n+124613512342 2、基本回路矩阵、基本回路矩阵B Bf f（单连支回路）（单连支回路）
10、14-2-3 14-2-3 基本回路与基本回路矩阵基本回路与基本回路矩阵242 2、基本回路矩阵、基本回路矩阵B Bf f编写规则编写规则三个约定三个约定(1)(1)先连支后树支；先连支后树支；(2)(2)回路的参考方向选回路的参考方向选 取与确定该回路的取与确定该回路的 连支参考方向一致；连支参考方向一致；(3)(3)回路的编号与连支回路的编号与连支 排列的先后顺序相排列的先后顺序相 一致；一致；613512342131 0 0 0 -1 -10 1 0 -1 -1 00 0 1 1 1 1Bf=2 4 6 1 3 5123Bf=1l Fr(Bf)=bn+114-2-4 14-2-4 基本割
11、集与基本割集矩阵基本割集与基本割集矩阵1 1、基本割集、基本割集概念概念2461352341基本割集数基本割集数 =n 12 2、基本割集矩阵、基本割集矩阵Qf割集的参考方向割集的参考方向编写规则编写规则三个约定三个约定0 1 -1 1 0 01 1 -1 0 1 01 0 -1 0 0 1Q Qf f=2 4 6 1 3 5123Qf=E 1(n-1)r(Qf)=n 112314-2 14-2 有向图的矩阵表示有向图的矩阵表示14-2-5 14-2-5 有向图矩阵间的关系有向图矩阵间的关系1 1、关联矩阵与回路矩阵、关联矩阵与回路矩阵 ABfT=0 ，AMT=0ABfT=0 展开展开2 2、
12、回路矩阵与割集矩阵、回路矩阵与割集矩阵 QfBfT=0QfBfT=0 展开展开14-3 14-3 KCL与与KVL的矩阵形式的矩阵形式14-3-1 14-3-1 KCL1 1、用关联矩阵、用关联矩阵A表示的表示的KCL2461351234 方程的矩阵形式方程的矩阵形式1 2 3 4 5 6i1i2i3i4i5i6=1231 0 0 1 0 -10-1 1 1 0 0 000 -1 0 0 -1 10Aib=0 方程的讨论，独立和完备的电流变量方程的讨论，独立和完备的电流变量1 2 3 1 0 0-1 1 1 0 -1 0i1i2i31 0 -10 0 00 -1 1i4i5i6=4 5 6 A
13、tit=Alilit=A t-1Alil14-3-1 14-3-1 KCLKCL1 1、用关联矩阵、用关联矩阵A表示的表示的KCL 方程的讨论，独立和完备的电流变量方程的讨论，独立和完备的电流变量(连支不可能构成割集连支不可能构成割集)i1i2i3=1 0 -10 0 00 -1 1i4i5i64 5 6 1 2 3 1 0 0-1 1 1 0 -1 012 2、用基本割集矩阵、用基本割集矩阵Qf表示的表示的KCL24613523411232 4 6 1 3 51230 1 -1 1 0 01 1 -1 0 1 01 0 -1 0 0 1i2i4i6i1i3i5=000 KCL方程方程Qib=
14、014-3-1 14-3-1 KCLKCL2 2、用基本割集矩阵、用基本割集矩阵Qf表示的表示的KCL24613523411232 4 6 1 3 51230 1 -1 1 0 01 1 -1 0 1 01 0 -1 0 0 1i2i4i6i1i3i5=0001 0 00 1 00 0 1i1i3i50 1 -11 1 -11 0 -1i2i4i6=1 3 52 4 61it=Eili1i3i50 1 -11 1 -11 0 -1i2i4i6=2 4 6 讨论讨论it=Eil14-3-1 14-3-1 KCLKCL3 3、用网孔矩阵、用网孔矩阵M表示的表示的KCL1234561234m1m2m
15、31 2 3 4 5 61 0 1 -1 0 00 1 -1 0 -1 00 0 0 1 1 1M=m1m2m3网孔电流的概念网孔电流的概念,方程的导出方程的导出 独立、完备的电流变量独立、完备的电流变量4 4、用基本回路矩阵、用基本回路矩阵Bf表示的表示的KCL回路电流的概念回路电流的概念,方程的导出方程的导出与用与用M M表示表示KCLKCL类似的思路类似的思路2461351234213B Bf f=2 4 6 1 3 51231 0 0 0 -1 -10 1 0 -1 -1 00 0 1 1 1 1 由由A表示的表示的KCL出发出发ib=MTim14-3-1 14-3-1 KCL4 4、
16、用基本回路矩阵、用基本回路矩阵Bf表示的表示的KCL 由由A表示的表示的KCL出发出发it=A t-1AlilFT=At-1Al=BfTilib=ilit ilFTil=1FTil=14-3-2 14-3-2 KVL1 1、用、用Bf和和M表示的表示的KVL2461351234213B Bf f=2 4 6 1 3 51231 0 0 0 -1 -10 1 0 -1 -1 00 0 1 1 1 1ib=BfTil24613512342132 4 6 1 3 51231 0 0 0 -1 -10 1 0 -1 -1 00 0 1 1 1 1u2u4u6u1u3u5=00014-3-2 14-3-
17、2 KVL1 1、用、用Bf和和M表示的表示的KVL 方程方程 讨论讨论2 4 61231 0 00 1 00 0 1u2u4u6u1u3u50 -1 -1-1 -1 01 1 11 3 5=Bfub=01ul=Fut14-3-2 14-3-2 KVL1 1、用、用Bf和和M表示的表示的KVL2 4 61231 0 00 1 00 0 1u2u4u6u1u3u50 -1 -1-1 -1 01 1 11 3 5=1ul=FutBfub=0u2u4u6u1u3u50 -1 -1-1 -1 01 1 11 3 5=ul=Fut2461351234213 Mub=02 2、用、用Qf表示的表示的KVL
18、应用应用Q Qf f与与B Bf f的关系的关系2 2、用、用Qf表示的表示的KVL应用应用Q Qf f与与B Bf f的关系的关系14-3-2 14-3-2 KVLub=ulutFut ut=F 1ut=ub=QTutET 1ut=ut=QT2461352341123u2u4u6u1u3u5=0 1 111 0-1 1 -110 00 1 00 0 1u1u3u52 4 6 1 3 51230 1 -1 1 0 01 1 -1 0 1 01 0 -1 0 0 1Qf=3 3、用、用A表示的表示的KVL14-3-2 14-3-2 KVL 方程的导出方程的导出24613512341 2 3 4
19、5 61231 0 0 1 0 -1-1 1 1 0 0 00 -1 0 0 -1 1A=u1u2u3u4u5u6=1231-1 00 1 -10 1 01 0 00 0 -1-1 0 1Ub=AT 独立、完备的电压变量独立、完备的电压变量(节点电压节点电压)节点电压列向量节点电压列向量14-3 14-3 KCL与与KVL的矩阵形式的矩阵形式Aib=0Qib=0ib=BfTilib=MTimBfub=0 Mub=0ub=QTutub=ATKCLKVLAQfMBfRkisk+-usk+-ukikiskRk+-usk+-ukik-+RkiskGkisk+-usk+-ukik Gkisk+-usk+
20、-ukik+-Gkisk+ukikGkuskuk=Rkik+uskRkiskik=Gkuk+iskGkuskRkisk+-usk+-ukik14-4 14-4 典型支路及其矩阵形式典型支路及其矩阵形式Ib=GbUb+Isb-GbUSbi1i2i3i4i5i6G1 0 0 0 0 00 G2 0 0 0 00 0 G3 0 0 00 0 0 G4 0 00 0 0 0 G5 00 0 0 0 0 G6-is00000+=u1u2u3u4u5u6-G1 0 0 0 0 00 G2 0 0 0 00 0 G3 0 0 00 0 0 G4 0 00 0 0 0 G5 00 0 0 0 0 G60000
21、uS0两种形式的典型支路及其方程两种形式的典型支路及其方程i1=G1u1 isi5=G5u5 G5us-R1R4R2R3R5R6+usisi1例例1 1 写出图示电路以支路写出图示电路以支路 电压表示支路电流的电压表示支路电流的 支路方程支路方程u1u2u3u4u5u6R1 0 0 0 0 00 R2 0 0 0 00 0 R3 0 -rm 00 0 0 R4 0 -gmR4R60 0 0 0 R5 00 0 0 0 0 R6R1 0 0 0 0 00 R2 0 0 0 00 0 R3 0-rm 00 0 0 R4 0-gmR4R60 0 0 0 R5 00 0 0 0 0 R6i1i2i3i
22、4i5i6iS00000-=例例2 2 写出图示电路以支路写出图示电路以支路 电流表示支路电压的电流表示支路电压的 支路方程支路方程 gmu6+-i2isrmi5R3R1R2R6R4i1i3i4i5R5i6u1=R1i1R1iSu3=R3i3rmi5u4=R4i4R4gmu6u4=R4i4R4gmR6i6矩阵形式：矩阵形式：Ub=RbIb+Usb-RbISbIb=GbIb+Isb-GbUSb Ub、Ibb维支路电压、支路电流列向量维支路电压、支路电流列向量Gkisk+-usk+-ukikRkisk+-usk+-ukikuk=Rkik+uskRkiskik=Gkuk+iskGkusk Usb、I
23、Sbb维支路电压源、支路电流源列向量维支路电压源、支路电流源列向量 电源项的正负号电源项的正负号 RbISb和和GbUSb的隐含意义的隐含意义14-5 14-5 电网络的电网络的2b2b方程的矩阵形式方程的矩阵形式 Rb、Gb支路电阻矩阵和支路电导矩阵（支路电阻矩阵和支路电导矩阵（b阶方阵）阶方阵）R1 0 0 0 0 00 R2 0 0 0 00 0 R3 0 -rm 00 0 0 R4 0 -gmR4R60 0 0 0 R5 00 0 0 0 0 R6Rb=G1 0 0 0 0 00 G2 0 0 0 00 0 G3 0 0 00 0 0 G4 0 00 0 0 0 G5 00 0 0 0
24、 0 G6Gb=特点特点Ub=RbIb+Usb-RbISb（或（或 Ib=GbIb+Isb-GbUSb）AIb=0BUb=0bn 1b n+114-5 14-5 支路（电流）分析法方程的矩阵形式支路（电流）分析法方程的矩阵形式以支路电流为求解对象，直接根据以支路电流为求解对象，直接根据KCL和和KVL建立方程建立方程（1）（2）（3）（4）-R1R4R2R3R5R6+usisi1i6i2i3i4i5i1+i2+i6=0-i2+i3+i4=0-i4+i5-i6=0AIb=0 R3i3+R4i4+R5i5=uS R2i2 R4i4+R6i6=0u1+u2+u3=0(R1i1+R1iS)+R2i2+
25、R3i3=0 R1i1+R2i2+R3i3=R1iSl1l3l2BUb=0Ub=RbIb+Usb-RbISbBRbIb=B(Usb RbISb)支路电流分析法方程的矩阵形式支路电流分析法方程的矩阵形式AIb=0 -（1）BRbIb=B(Usb RbISb)=BUsb -（2）系统法列写支路法方程的方法和步骤：系统法列写支路法方程的方法和步骤：1.1.做出电路的有向图；做出电路的有向图；2.2.写出写出A A、B B（M M）、）、Usb、Isb、Rb、Ib等矩阵；等矩阵；3.3.将写出的各矩阵代入式（将写出的各矩阵代入式（1 1）、（）、（2 2）整理。）整理。14-6 14-6 节点电压分析
26、法方程的矩阵形式节点电压分析法方程的矩阵形式以以n-1n-1个节点到参考节点的电压为求解对象，根据个节点到参考节点的电压为求解对象，根据KCL建立方程建立方程（1）（2）（3）（4）-R1R4R2R3R5R6+usisi1i6i2i3i4i514-6-1 14-6-1 节点电压方程节点电压方程的矩阵式的矩阵式AIb=0AGbAT=AGbUSb-AISb -（*）Ib=GbUb+Isb-GbUSbUb=ATGn=InS（1）（2）（3）（4）-R1R4R2R3R5R6+usisi1i6i2i3i4i5例例1 1 0 0 0 10-1 1 1 0 00 0 0 -1 1-1A=i1i2i3i4i5
27、i6G1 0 0 0 0 00 G2 0 0 0 00 0 G3 0 0 00 0 0 G4 0 00 0 0 0 G5 00 0 0 0 0 G6-is00000+=u1u2u3u4u5u6-G1 0 0 0 0 00 G2 0 0 0 00 0 G3 0 0 00 0 0 G4 0 00 0 0 0 G5 00 0 0 0 0 G60000uS0GbISbUSbAGbAT=AGbUSb-AISbGn=InSG1+G2+G6 -G2 -G6 1 iS -G2 G2+G3+G4 -G4 2 =0 -G6 -G4 G4+G5+G6 3 G5uS(1)(2)(3)(4)-R1R4R2R3R5R6+
28、usisi1i6i2i3i4i5Gn=InS系统法列写节点法方程的方法系统法列写节点法方程的方法和步骤：和步骤：1.1.做出电路的有向图；做出电路的有向图；2.2.写出写出A A、Gb、Usb、Isb、等矩阵；等矩阵；3.3.将写出的各矩阵代入式（将写出的各矩阵代入式（*）整理。）整理。u1u2u3u4u5u61 0 0 0 0 00 2 0 0 0 00 0 2 0 50 00 0 0 1 0 100 0 0 0 5 00 0 0 0 0 5 i1i2i3i4i5i61000000+=2S10A1S2S 5i55S1S5S(1)(2)+-i2i1i3i4i5i6(3)10u6-10010-1
29、1-100-11010001A=i3=2(u3+5i5)=2u3+10 5u5i4=u4+10u61 0 0 0 0 00 2 0 0 0 00 0 2 0 50 00 0 0 1 0 100 0 0 0 5 00 0 0 0 0 5 -1 0 0 1 0-1 1-1 0 0-1 1 0 1 0 0 0 1=Gn-1 0 0 1 0 -1 1 -1 0 0 -1 1 0 1 0 0 0 1=5-2-2 48-42-10-2-11 182S10A1S2S 5i55S1S5S(1)(2)+-i2i1i3i4i5i6(3)10u6 5-2-2 48-42-10-2-11 18 1 23=100014
30、-7 14-7 回路电流分析法方程的矩阵形式回路电流分析法方程的矩阵形式回路电流分析法的实质：回路电流分析法的实质：以回路电流为求解对以回路电流为求解对象，按象，按KVLKVL建立方程建立方程iL1iL2iL3R1R2R3R4R5R6us1+-+-us3isi6i1i2i3i4i5BfUb=0RlIl=ElSUb=RbIb+Usb-RbISbIb=BfTIlBfRb BfTIl=BfRbISb-Bf Usb-（*）14-7-1 14-7-1 回路电流方程回路电流方程1 0 0 0 -1 -10 1 0 1 1 10 0 1 1 1 0Bf=Ub=RbIb+Usb-RbISbR1 0 0 0 0
31、 00 R2 0 0 0 00 0 R3 0 0 00 0 0 R4 0 00 0 0 0 R5 00 0 0 0 0 R6Rb=us1 0-us3 0 0 0USb=0 is 0 0 0 0ISb=iL1iL2iL3R1R2R3R4R5R6us1+-+-us3isi6i1i2i3i4i5BfRb BfTIl=BfRbISb-Bf Usb14-7-1 14-7-1 回路电流方程回路电流方程RlIl=ElSiL1iL2iL3R1R2R3R4R5R6us1+-+-us3isi6i1i2i3i4i5R1+R5+R6 -R5-R6 -R5 iL1 -uS1 -R5-R6 R2+R4+R5+R6 R4+
32、R5 iL2 =R2iS -R5 R4+R5 R3+R4+R5 iL3 uS3 系统法列写回路法方程的系统法列写回路法方程的方法和步骤：方法和步骤：1.1.做出电路的有向图；做出电路的有向图；2.2.写出写出Bf、Rb、Usb、Isb等矩阵；等矩阵；3.3.将写出的各矩阵代入式（将写出的各矩阵代入式（*）整理。）整理。网孔法方程可视为回路法方程的特例。网孔法方程可视为回路法方程的特例。14-8 割集电压分析法割集电压分析法割集电压分析法的实质：割集电压分析法的实质：以树支电压为求解对象，按以树支电压为求解对象，按KCL建立方程建立方程14-8-1 割集电压方程割集电压方程-R1R4R2R3R5
33、R6+usisi1QIb=0QGbQT Ut=QGbUSb-QISb -（*）Ib=GbUb+Isb-GbUSbUb=QTUtGt Ut=ItS14-8-2 系统法、视察法列写割集电压方程系统法、视察法列写割集电压方程1.系统法的方法、步骤系统法的方法、步骤2.视察法的方法、步骤视察法的方法、步骤14-8-3 含受控电源网络的割集法方程含受控电源网络的割集法方程 视察法的处理方法：先将受控源视为独立源写方程，视察法的处理方法：先将受控源视为独立源写方程，再将受控源的控制量用树支电压表示再将受控源的控制量用树支电压表示14-8-4 网络含无伴电压源（独立的或受控的）支路的网络含无伴电压源（独立的或受控的）支路的处理处理 用视察法时，将所有的用视察法时，将所有的无伴电压源（独立的或受控无伴电压源（独立的或受控的）选为树支，可减少列写方程的数目的）选为树支，可减少列写方程的数目 举例举例
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