3.1柯西不等式与排序不等式.ppt

1、第三讲 柯西不等式与排序不等式 一 二维形式的柯西不等式 【自主预习】【自主预习】 二维形式的柯西不等式二维形式的柯西不等式 (ac+bd)(ac+bd)2 2 | 22 1212 (xx )(yy )-+- 【即时小测】【即时小测】 1.1. 已知已知 2x2x2 2+y+y2 2=1,=1, 则则 2x+y2x+y 的最大值为 的最大值为 ( ( ) ) A. A. B.2B.2 C. C. D.3D.3 【解析】选C. 3=(2x2+y2)(2+1) (2x+y) 2, 所以 - 2x+y . 即 2x+y 的最大值为 . 23 33 3 用分析法证明 , , 其叙述格式是 : : 要证

2、明 A,A, 只需证明 B.B. 即 说明只要有 B B 成立 , , 就一定有 A A 成立 . . 因此分析法是“执 果索因” , , 步步寻求上一步成立的充分条件 . . 分析法体现了数学中 “正难则反”的原则, , 也是思维中的逆向思维. . 逆求 ( ( 不 是逆推 ) ) 结论成立的充分条件 . . 2.2. 已知 已知 =1,=1, 则以下成立的是则以下成立的是 ( ( ) ) A.aA.a2 2+b+b2 211 B.aB.a2 2+b+b2 2=1=1 C.aC.a2 2+b+b2 20,a0,b0, 且且 a+b=1,a+b=1, 求证求证 : : 122 2a1b. 32

3、 + + 【解题探究】【解题探究】如何构造向量如何构造向量 , , 用向量形式的柯西不用向量形式的柯西不 等式证明等式证明 ? ? 提示 : : 可构造如下向量形式 : : () 11 ( ab)2,1 . 23 =+=， 【证明】令 则| | = 而 | | = 又 | | = , 所以 | | | | = , 由 | | | | | | , 得 () 11 ( ab)2,1 23 =+=， 1 2a1b. 3 + + 1111 ab 236 +=， 3 22 2 122 2a1b. 32 + + 【延伸探究】【延伸探究】在本例题设条件下在本例题设条件下 , , 如何证明如何证明 : : (

4、ax+by)(ax+by)2 2axax2 2+by+by2 2( ( 其中其中 x0,y0).x0,y0). 【证明】设m=( x, y), n=( , ), 则| ax+by| =| mn| | m| | n| = = 所以 (ax+by) 2 ax2+by2. abab 22 ( ax)( by)+g 22 ( a)( b)+ 22 axby+g ab+= 22 axby .+ 【方法技巧】【方法技巧】应用二维形式柯西不等式向量形式求最应用二维形式柯西不等式向量形式求最 值及证明不等式的技巧值及证明不等式的技巧 在应用二维形式柯西不等式向量形式求式子的最值或在应用二维形式柯西不等式向量形

5、式求式子的最值或 证明不等式时要根据式子的结构特征构造两个向量证明不等式时要根据式子的结构特征构造两个向量 , , 通通 常我们使构造的向量满足积为待求式子或待证不等式常我们使构造的向量满足积为待求式子或待证不等式 一侧的形式一侧的形式 , , 再利用柯西不等式的向量形式求解或证明再利用柯西不等式的向量形式求解或证明 . . 【变式训练】【变式训练】 1.1. 已知已知 abc,abc, 若 恒成立若 恒成立 , , 则则 k k 的最的最 大大 值为值为 _._. 11k abbcac + - 【解析】设a= , b= 由 | ab| | a| | b| 得 2 即 , 当且仅当 a-b=b

6、-c 即 a+c=2b时, 等号成立 . 故 km ax=4. 答案 : 4 11 () abbc- ，( abbc),-， () () 11 abbc abbc +-+- - g， 114 abbcac + - 2.2. 求函数求函数 y= y= 的最大值及最小值的最大值及最小值 . . 【解析】由原函数式得 2si nx+(3-y)cosx=4-2y, 设a=(2, 3-y), b=(si nx, cosx), 由 | ab| | a| | b| 得 | 4-2y| , 解得 y 3, 当且仅当 时, 等号成立 . 故最大值及最小值分别为3与 . 2sin x3cos x4 cos x2

7、+- - () 2 2 23y+- 1 3 23y sin xcos x - = 1 3 自我纠错自我纠错 求函数的最值 求函数的最值 【典例】【典例】已知实数已知实数 x,yx,y 满足 满足 =1,=1, 求求 x x2 2+2y+2y2 2 的最小值的最小值 . . 2 1 x + 2 1 y 【失误案例】【失误案例】 分析解题过程分析解题过程 , , 找出错误之处找出错误之处 , , 并写出正确答案并写出正确答案 . . 提示 : : 错误的根本原因是构造柯西不等式的形式错误, , 以及忽视了等号成立的条件 . . 【解析】由柯西不等式得 x2+2y2=(x2+2y2) 1 =(x2+2y2) 当且仅当 x2= y2时等号成立 , 即 x2= +1, y2= +1时, x2+2y2有最小值为3+2 . 2 22 1111 ()(x2y) xyxy +gg 2 2 (12)32 2=+=+， 2 2 2 2