N 选修4系列（理科）.doc

1、N 选修4系列N1 选修4-1 几何证明选讲22N12012辽宁卷 如图18，O和O相交于A，B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交O于点E.证明：(1)ACBDADAB；(2)ACAE.图1822证明：(1)由AC与O相切于A，得CABADB，同理ACBDAB，所以ACBDAB.从而，即ACBDADAB.(2)由AD与O相切于A，得AEDBAD，又ADEBDA，得EADABD.从而，即AEBDADAB.结合(1)的结论，得ACAE.21 AN1 2012江苏卷如图17，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BDDC，连结AC，A

2、E，DE.求证：EC.图1721A.证明：如图，连结OD，因为BDDC，O为AB的中点，所以ODAC，于是ODBC.因为OBOD，所以ODBB.于是BC.因为点A，E，B，D都在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以E和B为同弧所对的圆周角，故EB.所以EC.15N12012湖北卷如图16所示，点D在O的弦AB上移动，AB4，连结OD，过点D作OD的垂线交O于点C，则CD的最大值为_图1615. 2解析 因为CD，且OC为O的半径，是定值，所以当OD取最小值时，CD取最大值显然当ODAB时，OD取最小值，故此时CDAB2，即为所求的最大值12N12012全国卷 正方形ABCD的边长为

3、1，点E在边AB上，点F在边BC上，AEBF.动点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为()A16 B14C12 D1012B解析 取单位长度为7的正方形，(1)直接作出图形可得到结果，如图所示，(2)建立坐标系，取正方形边长为7分单位，计算7次可得第7次时该点的横坐标与E点相同，根据对称性应选择14次5N12012北京卷 如图13，ACB90，CDAB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则()ACECBADDBBCECBADABCADABCD2DCEEBCD25A解析 本题考查了平面几何圆与三角形，特别

4、是重点考查了射影定理等知识对于A，CECBCD2ADDB；对于B，CECBCD2AC2ADAB；对于C，CD2ADDBADAB；对于D，ED2CEEBCD2.15N12012广东卷如图13，圆O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足ABC30，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则PA_.15.解析 考查平面几何中圆周角定理以及弦切角定理等，解题关键是通过连接OA，在AOP中利用勾股定理求出连接OA，则OAPA，根据圆周角定理得：AOP60，所以PO2，OA1，在直角三角形AOP中利用勾股定理得：PA.11N12012湖南卷 如图13，过点P的直线与O相交于A，B两点若PA1，AB2

5、，PO3，则O的半径等于_图1311.解析 设圆的半径为r，由圆的割线定理可得，PAPB(POr)(POr)，把 PA1，PB123，PO3代入求解得39r2，r.22N12012课标全国卷如图16，D，E分别为ABC边AB，AC的中点，直线DE交ABC的外接圆于F，G两点若CFAB，证明：(1)CDBC；(2)BCDGBD.22证明：(1)因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DEBC.又已知CFAB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CFBDAD.而CFAD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CDAF.因为CFAB，所以BCAF，故CDBC.(2)因为FGBC，故GBCF.由(1

6、)可知BDCF，所以GBBD.而DGBEFCDBC，故BCDGBD.15 B. N1 2012陕西卷如图15，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EFDB，垂足为F，若AB6，AE1，则DFDB_.图1515B 5解析 本题考查了射影定理的知识，解题的突破口是找出直角三角形内的射影定理连接AD，在RtABD中，DEAB，所以DE2AEEB5，在RtEBD中，EFDB，所以DE2DFDB5.13N12012天津卷 如图13所示，已知AB和AC是圆的两条弦，过点B作圆的切线与AC的延长线相交于点D.过点C作BD的平行线与圆相交于点E，与AB相交于点F，AF3，FB1，EF，则线段CD的长为_

7、图1313.解析 本题考查选修41几何证明选讲中圆的性质，考查推理论证及运算求解能力，中档题由相交弦的性质可得|AF|FB|EF|FC|，|FC|2，又FCBD，即BD，由切割定理得|BD|2|DA|DC|4|DC|2，解之得|DC|.N2 选修4-2 矩阵21 BN2 2012江苏卷已知矩阵A的逆矩阵A1，求矩阵A的特征值21 B解：因为A1AE，所以A(A1)1.因为A1，所以A(A1)1，于是矩阵A的特征多项式为f()234.令f()0，解得A的特征值11，24.21AN2 2012福建卷 设曲线2x22xyy21在矩阵A(a0)对应的变换作用下得到的曲线为x2y21.(1)求实数a，b

8、的值；(2)求A2的逆矩阵21A解： (1)设曲线2x22xyy21上任意点P(x，y)在矩阵A对应的变换作用下的像是P(x，y)由，得又点P(x，y)在x2y21上，所以x2y21，即a2x2(bxy)21，整理得(a2b2)x22bxyy21.依题意得解得或因为a0，所以(2)由(1)知，A，A2，所以|A2|1，(A2)1.3C3、N22012上海卷 函数f(x)的值域是_3.解析 考查二阶矩阵和三角函数的值域，以矩阵为载体，实为考查三角函数的值域，易错点是三角函数的化简f(x)2sinxcosx2sin2x，又1sin2x1，所以f(x)2sin2x的值域为.N3 选修4-4 坐标系与

9、参数方程12N32012天津卷 已知抛物线的参数方程为(t为参数)，其中p0，焦点为F，准线为l.过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|MF|，点M的横坐标是3，则p_.122解析 本题考查抛物线的参数方程及抛物线的性质，考查运算求解能力及转化思想，中档题将参数方程 化为普通方程为y22px(p0)，并且F，E，又|EF|MF|ME|，即有3，解之得p2(负值舍去)，即p2.10 N32012上海卷 如图11所示，在极坐标系中，过点M(2,0)的直线l与极轴的夹角，若将l的极坐标方程写成f()的形式，则f()_.图1110.解析 考查极坐标方程，关键是写出直线的极坐标方程，再按要求化

10、简由已知得直线方程为y(x2)tan，化简得xy20，转化为极坐标方程为：cossin20，解得，所以f().15 C. N3 2012陕西卷直线2cos1与圆2cos相交的弦长为_15C. 解析 本题考查了极坐标的相关知识，解题的突破口为把极坐标化为直角坐标由2cos1得2x1，由2cos得22cos，即x2y22x，联立得y，所以弦长为.23N32012辽宁卷在直角坐标系xOy.圆C1：x2y24，圆C2：(x2)2y24.(1)在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2的极坐标方程，并求出圆C1，C2的交点坐标(用极坐标表示)；(2)求圆C1与C2的公共弦的参数方程

11、23解：(1)圆C1的极坐标方程为2，圆C2的极坐标方程为4cos.解得2，.故圆C1与圆C2交点的坐标为，.注：极坐标系下点的表示不唯一(2)(解法一)由得圆C1与C2交点的直角坐标分别为(1，)，(1，)故圆C1与C2的公共弦的参数方程为t.(或参数方程写成y)(解法二)在直角坐标系下求得弦C1C2的方程为x1(y)将x1代入得cos1，从而.于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为.23N32012课标全国卷已知曲线C1的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极

12、坐标为.(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2的取值范围23解：(1)由已知可得A2cos，2sin，B2cos,2sin，C2cos,2sin，D2cos,2sin，即A(1，)，B(，1)，C(1，)，D(，1)(2)设P(2cos，3sin)，令S|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2，则S16cos236sin2163220sin2.因为0sin21，所以S的取值范围是32,5221 CN32012江苏卷在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线sin与极轴的交点，求圆C的极坐标方程21C解：在sin中令0，得1，所

13、以圆C的圆心坐标为(1,0)因为圆C经过点P，所以圆C的半径PC1，于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为2cos.9N32012湖南卷 在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：(t为参数)与曲线C2：(为参数，a0)有一个公共点在x轴上，则a_.9.解析 考查直线与椭圆的参数方程，此类问题的常规解法是把参数方程转化为普通方程求解，此题的关键是，得出两曲线在x轴上的一个公共点，即为曲线C1与x轴的交点，化难为易曲线C1： (t为参数)的普通方程是2xy30，曲线C2的普通方程是1，两曲线在x轴上的一个公共点，即为曲线C1与x轴的交点，代入曲线C2，得1，解得a.16N32012湖北卷在直角坐标系x

14、Oy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系已知射线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则线段AB的中点的直角坐标为_16.解析 曲线 化为直角坐标方程是y2，射线化为直角坐标方程是yx.联立 消去y得x25x40，解得x11，x24.所以y11，y24.故线段AB的中点的直角坐标为，即.21B. N3 2012福建卷在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系已知直线l上两点M，N的极坐标分别为(2,0)，圆C的参数方程为(为参数)(1)设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；(2)判断直线l与圆C的位置关系21B. 解：(1)由题意知，M，N的

15、平面直角坐标分别为(2,0)，又P为线段MN的中点，从而点P的平面直角坐标为，故直线OP的平面直角坐标方程为yx.(2)因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为(2,0)，所以直线l的平面直角坐标方程为x3y20.又圆C的圆心坐标为(2，)，半径r2，圆心到直线l的距离dr，故直线l与圆C相交13N32012安徽卷 在极坐标系中，圆4sin的圆心到直线(R)的距离是_13.解析 本题考查极坐标与直角坐标的互化，圆的方程，点到直线的距离应用极坐标与直角坐标的互化公式 将圆4sin化为直角坐标方程为x224，直线化为直角坐标方程为yx.因为x224的圆心为，所以圆心到直线yx，即x3y0的距离为

16、d.9N32012北京卷 直线(t为参数)与曲线(为参数)的交点个数为_92解析 本题主要考查直线和圆的位置关系，考查参数方程和普通方程之间的转化等基础知识，考查数形结合思想的运用方程转化为普通方程，直线为xy1，圆为x2y29，法一：圆心到直线的距离为d0，所以直线和圆相交，答案为2.14N32012广东卷 (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为(t为参数)和(为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为_14(1,1)解析 本题考查参数方程与直角坐标方程之间的转化，突破口是把参数方程转化为直角坐标方程，利用方程思想解决，C1的直角坐标方程为：y2x(x

17、0)，C2的直角坐标方程为：x2y22，联立方程得：解得所以交点坐标为(1,1)图1315N32012江西卷 (1)(坐标系与参数方程选做题)曲线C的直角坐标方程为x2y22x0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为_N4(2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式|2x1|2x1|6的解集为_15(1)2cos解析 考查极坐标方程与普通方程的转化；解题的突破口是利用点P的直角坐标(x，y)与极坐标(，)的关系转化由于2x2y2，cosx，因此x2y22x0的极坐标方程为2cos.(2)解析 考查绝对值不等式的解法，以及分类讨论思想；解题的突破口是利用零点讨论法去

18、掉绝对值符号，将不等式转化为一般不等式(组)求解当x时，原不等式可化为2x12x16，解得x，此时x；当x时，原不等式可化为2x12x16，解得x，此时x0，故tan.所以直线l的斜率为.N4 选修4-5 不等式选讲23N4 2012浙江卷已知aR，设关于x的不等式|2xa|x3|2x4的解集为A.(1)若a1，求A；(2)若AR，求a的取值范围23.解：(1)当x3时，原不等式化为3x22x4，综合得x3.当3x时，原不等式化为x42x4，综合得3时，原不等式为3x22x4，得x2.综上，Ax|x0或x2(2)当x2时，|2xa|x3|02x4成立当x2时，|2xa|x3|2xa|x32x4

19、，得xa1或x，所以a12或a1，得a2，综上，a的取值范围为a2.15 AN4 2012陕西卷若存在实数x使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范围是_15A. 2a4解析 本题考查了不等式解法的相关知识，解题的突破口是理解不等式的几何意义|xa|x1|3表示的几何意义是在数轴上一点x到1的距离与到a的距离之和小于或等于3个单位长度，此时我们可以以1为原点找离此点小于或等于3个单位长度的点即为a的取值范围，不难发现2a4.24N42012辽宁卷已知f(x)|ax1|(aR)，不等式f(x)3的解集为x|2x1(1)求a的值；(2)若k恒成立，求k的取值范围24解：(1)由|ax1|3得4ax

20、2.又f(x)3的解集为x|2x1，所以当a0时，不合题意当a0时，x，得a2.(2)记h(x)f(x)2f，则h(x)所以|h(x)|1，因此k1.24N42012课标全国卷已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围24解：(1)当a3时，f(x)当x2时，由f(x)3得2x53，解得x1；当2x3时，f(x)3无解；当x3时，由f(x)3得2x53，解得x4；所以f(x)3的解集为x|x1x|x4(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.当x1,2时，|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.

21、由条件得2a1且2a2，即3a0.故满足条件的a的取值范围为3,021 DN4 2012江苏卷已知实数x，y满足：|xy|，|2xy|，求证：|y|.21D证明：因为3|y|3y|2(xy)(2xy)|2|xy|2xy|，由题设知|xy|，|2xy|，从而3|y|，所以|y|2|x1|，再两边平方，轻松求解不等式转化为|2x1|2|x1|，两边平方得(2x1)24(x1)2，化简得4x1，解得x，故解集为.6N42012湖北卷 设a，b，c，x，y，z是正数，且a2b2c210，x2y2z240，axbycz20，则()A. B.C. D.6C解析 由柯西不等式得(a2b2c2)(x2y2z2

22、)1040(axbycz)2202，显然上式应取等号，此时akx，bky，ckz，则a2b2c2k2(x2y2z2)40k210，得k(舍去负值)，所以k.故选C.9N42012广东卷 不等式|x2|x|1的解集为_9.解析 当x2，不等式化为：x2x1，即21恒成立，所以此时解集为：x|x2；当20时，不等式化为：x2x1，即21，此时解集为空集综上，不等式的解集为：.21C. N4 2012福建卷已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集为1,1(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求证：a2b3c9.21C. 解：(1)因为f(x2)m|x|，f(x2)0等价于|x|m，由|x|m有解，得m0，且其解集为x|mxm又f(x2)0的解集为1,1，故m1.(2)由(1)知1，又a，b，cR，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)29.N5 选修4-7 优选法与试验设计