《经济数学基础》学习材料(第一、二篇).doc

1、经济数学基础学习材料第一篇预备知识 (不作为考试内容)量的概念量的分类：常量：始终取固定值，如等； 变量：可以取不同值，如等。量的表示法：表示数的范围有多种方法，主要有区间、不等式、集合和绝对值等。区间：记为称为闭区间 记为称为开区间 记为称为半开区间 记为称为半闭区间 全体实数记为，用表示 记为；记为 记为；记为集合：区间用集合表示为 区间 用集合表示为 则 （交集） （并集）绝对值：表示实数到原点的距离叫绝对值，记为, (分段函数) 如，。 记为 记为 记为或 记为或 注意：（1） ；（2）例 解不等式 解 由得,不等式两边同时乘以（-1）得： ,移项得，第1章 函 数1 函数概念量与量之

2、间的关系：有依赖关系，如圆的半径与面积，二者之间有关系，其关系可通过式子表示。 无依赖关系，如人的身高与视力，二者之间无必然关系。一、 函数的定义设有二个变量，相互之间有依赖关系，若存在一个对应关系，使对于每一个值（，都有唯一的值与之对应，则称是的函数，记为。其中称为自变量，称为因变量，的取值范围称为定义域，的取值范围称为值域。注意：（1）若一个值对应一个值，则称函数为单值函数，如若一个值对应多个值，则称函数为多值函数，如（2）函数的表示法与自变量的符号无关。如与是同一函数；（3）有时函数不能用一个式子表示，而必须用多个式子表示，则称为分段函数。如 （4）根据函数的表示形式，还可以把函数分为显

3、函数和隐函数。 如（显函数），（隐函数）二、 定义域自变量的取值范围称为函数的定义域。求法：1、若则 2、若 则 3、若则 4、若则 5、若则6、若的定义域为，则、或的定义域为7、若 则的定义域为例 求的定义域解 函数的定义域为 例 求的定义域。解 对于，要求即 对于, 要求,即, 即 故所求函数定义域为：例 求的定义域。 解 的定义域是即 的定义域是即 所求函数的定义域为例 求的定义域。解 对于，要求且，即且； 对于, 要求,即； 故所求函数的定义域为： 例 求 的定义域。 解 是分段函数，其定义域为各段取值范围的并集， 故所求的定义域为三、 函数值对于,则称为函数值。例 设，则，例 设，求

4、。 解 例 设 解 ， 例 设 ，求。 解 例 设 ，求。 解 四、 确定函数的要素确定函数有两个要素：定义域和对应关系。若二个函数的定义域和对应关系都相同，则二个函数相同，否则不同。例 与是相同函数； 与是不同函数（定义域不同）； 与是不同函数（对应关系不同）； 与是不同函数（定义域不同）； 与是不同函数（定义域不同）；与是相同函数。 例 下列函数中( )是同一函数。 与 与 与 与2 函数的基本属性一、 单调性（1）、若，有，则称函数递增；（增加，上升）（2）、若，有，则称函数递减。（减少，下降）例 在内递减，在内递增； 在内递增； .在及内递减。二、 奇偶性例 设，其图像关于y轴对称，设

5、，其图像关于原点对称， 一般地，若，则称是偶函数，其图像关于y轴对称； 若，则称是奇函数，其图像关于原点对称； 若，则称是非奇非偶函数。例 证明是偶函数，是奇函数。 证 是偶函数， 又是奇函数。 偶函数类：C、等， 奇函数类：等。 例 下列函数中( )是奇函数。 例 函数的图像关于 对称。 奇、偶函数的运算规律如下：偶偶=偶，如 奇奇=奇，如偶奇=非奇非偶，如奇奇=偶，如 偶偶=偶，如偶奇=奇，如例 证明函数是奇函数。证明 是奇函数。三、 有界性例、一个人从出生之后，随着年龄的增长，身高也不断增高，到了一定年龄、身高将稳定在一个定值，比如是1.68米，之后随着年龄的增长，身高将不会超过1.68

6、，则1.68米称为这个人身高的极限。例 在内，不管取何值，总有从而称为有界函数；在内，总有为有界函数； 而在内无界，在内也无界。 一般地，若函数在定义域内函数值不超过某一界限，即则称有界，否则称为无界。四、 周期性我们知道，如果今天是星期四，那么过了七天之后，仍然是星期四，因此说星期这一时间记法具有周期性，其周期就是七天。例 在上的图形，在上又再重复出现，故是周期函数，其周期为,事实上，由三角函数的诱导公式知：一般地，对于函数,若,(其中T为正数)，则称是周期函数，其周期为T。例 是周期函数，其周期为； 也是周期函数，其周期均为.3、初等函数一、 基本初等函数在中学，我们学过了下面几种最基本的

7、函数，叫做基本初等函数。1、 常量函数：,如等。定义域为，图象是平行于轴的直线。2、 幂函数：(为常数)，如等。 定义域及图象随的不同而不同。 形如称为多项式函数。 如，等。3、 指数函数：等。如等。 定义域为，当时，；，当时，。 指数运算性质：，4、 对数函数： 定义域为，当时，；，当时，。以10为底的对数叫常用对数，简记为，记住：。以e为底的对数叫自然对数，简记为，记住：。 （其中是一个无理数） 对数运算性质：；对数恒等式：，5、 三角函数：正弦函数：； 余弦函数：； 正切函数：； 余切函数：； 与的定义域都是，且（都是有界函数，周期都是） 记住： 的定义域都是；的定义域都是（都是无界函数

8、，周期都是） 记住：不存在；不存在； 二、 复合函数一般地，我们经常碰到的函数往往不会象上述函数那么简单，而是更为复杂的函数。例 函数,显然它不是一个基本初等函数，但如果我们设，那么就可以看成是由，而两个简单函数复合而成的。定义 设而则为复合函数，其中u称为中间变量。例 分解下列函数： 解 1、可分解为2、可分解为 3、 可分解为 例 分解下列函数： 解 函数可分解为，其中；。三、 初等函数 由基本初等函数经过有限次加、减、乘、除四则运算或复合而得到的函数称为初等函数。例 ，等等。练习 1、若，则_.解 令 则,代入得 ，从而 2、若则_, 解 令则，代入得, 从而 3、若,则=_ , . 解

9、 令,则代入得 ，从而 4、已知，求。 解 ， 5、若的定义域为，则的定义域为_ 。解 的定义域为0，2，而与是同一函数， 从而的定义域为1,3 练习 设的定义域为，求的定义域。4、经济分析中常见的函数 一、需求函数 设市场对某产品的需求量为，而该产品的价格为，一般来说，价格愈高则需求量愈少，二者之间存在函数关系，称为需求函数，其一般式为：，其中，。 例 当手表的价格为70元/只时，需求量为10000只，若价格每只提高3元，则需求量减少3000只，求需求函数。 解 设为需求量，为价格，当每只提价元时，需求量减少只，则有： ：3000=：，解得 从而需求量=10000-=10000-1000=8

10、0000-1000 二、供应函数 从供应商的角度来说，商品价格愈高愈有利，因此价格愈高则供应量愈多。 设供给量为，价格为，则供给函数，其中。 对同一种商品，当需求量等于供给量时，这种商品就达到了市场均衡，此时的价格称为市场均衡价格。例 设某商品的供给函数和需求函数分别为：。 求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量。 解 令得25=，代入上式得。三、成本函数 总成本=固定成本+变动成本 设产量为，固定成本为，单位产品变动成本为，则 成本函数： 当时， 平均成本函数：例 生产某产品的总成本(单位：元)是，求生产50件产品时的总成本和平均成本。 解 生产50件产品的总成本为（元） 而平均成本函数 故生

11、产50件产品的平均成本为（元/件） 四、收入函数 设产品的销量为，价格为，则收入函数： ，当时， 平均收入函数：例 已知某商品的需求函数为，试求该商品的收入函数，并求销量量为10时的平均收入。 解 收入函数 而平均收入函数 故销售量为10时的平均收入为 五、利润函数 利润=收入成本，即利润函数：, 平均利润函数： 令即解出称为盈亏平衡点（也称为保本点）。例 设生产某产品的固定成本为20000元，单位产品（每台）的变动费用为3000元，每台售价为5000元，求总成本函数、收入函数、利润函数及盈亏平衡点。 解 设产品为台，则 成本函数，收入函数， 利润函数 令，即，解得（台），即盈亏平衡点为台。第

12、2章 极限、导数与微分1、极限概念 一、无穷小量与无穷大量 1、无穷小量 例 数列，即：1， 当n无限增大时（记为），无限变小（记为），即 例 数列，即： 例 数列，即：当时， 例 设,则当时，。定义 设有变量，其变化趋势趋向于0，即，则称为无穷小量， 例 当都是无穷小量 注意：无穷小量是一个变量，常量中只有0才是无穷小量，而10，0。0001都不是无穷小量。性质（1）、无穷小无穷小=无穷小，如是无穷小 （2）、无穷小无穷小=无穷小，如是无穷小 （3）、有界量无穷小=无穷小，如是无穷小 2、无穷大量 例 设, 当时，当时， 例 数列，即， 当时，即 定义 设有变量，其变化趋势趋向于，即，则称为

13、无穷大量， 例 当时，等都是无穷大量。 无穷小与无穷大之间的关系：（1）、若为无穷大量，则为无穷小量。 （2）、若为无穷小量，则为无穷大量。 例 当时，( )是无穷小。 例 当时，( )是无穷大。 二、极限概念 1、数列的极限 例 设数列，即 当时，也即 为无穷小。 定义 当时，若为无穷小，则称数列的极限是，记为 2、函数的极限 设，其中的变化趋势有二种：即 定义 当(或)时，为无穷小，则称的极限为，记为. 例 证明证为无穷小（）， 当(或)时，不能趋向于一个常数，或趋向于（或），则称没有极限，即不存在。 例 不存在； 不存在； 不存在； 不存在； ；由极限概念知：为无穷小量； 无穷大量。 3

14、、函数的单侧极限。 当时，有二种情况： 当且时，记为，其极限记为,称为右极限。 当且时，记为，其极限记为，称为左极限，例 设 , 求。 解 左，右极限存在但不相同，不存在。 定理 存在的充分必要条件是左，右极限存在且相等。 例 当b为何值时， ，在x=0处有极限。 解 当时， 从而在处有极限。 练习 设，问是否存在？2、极限的运算 一、极限的四则运算 1、若为常数，则 2、若为常数，则 3、若存在，存在，则(1)、)（2）、 (3)、 （4）、(5)、例 求下列极限1、（直接计算） 2、（分解因式） 3、（提取公因式） 4、（提取公因式）5、（有理化） 6、（通分）7、（有理化）解 1、2、原

15、式3、原式一般地：4、原式 5、原式 6、原式 7、原式 下面做法是错误的（为什么）原式二、两个重要极限 1、第一个重要极限： 变形： 例 求1、 2、 3、 4、 解 1、原式 2、原式 3、原式 4、原式 2、第二个重要极限： 变形： 例 例 求1、 2、 解 1、原式 2、原式 练习 求1、 2、3、函数的连续性 一、函数的连续性设函数，若函数的图形连续变化；则函数是连续函数； 若函数的图形不连续变化；则函数不是连续函数； 例 设，其图形是一笔画成，故是连续函数。设 ，而， y其图形如下： o x图形在处断开，故不是连续函数。定义 若函数在处有定义，且满足，则称在处连续。例 设 ，在处连

16、续，则=_, 解 ，而例 设 ，在处连续，则=_, 解 ，而定义 若,则称在处左连续， 若,则称在处右连续， 在处连续在处既左连续又右连续。 例 讨论 ，在点处的连续性 解 ，而 在处左连续但不右连续，从而在处不连续。 例 设 ，则在处（ ）。 连续 有极限，但不连续 无极限 连续，但无极限二、函数的间断点。定义 若在处不连续，则称在处间断，称为间断点， 例 函数在处无定义，是间断点。几个重要结论：1、一切初等函数在其定义域内是连续的，2、有理函数在分母为0的点间断，在分母不为0的点连续。3、分段函数除分段点的连续性必须讨论外，在其它点均连续，4、若函数在点连续，则在点处极限存在；反过来，若函

17、数在处极限不存在，则在处不连续。即：连续有极限，无极限不连续。例 求函数的连续区间。解 令，解得函数的间断点为，连续区间为 练习 的间断点是 。 小结；若,则在处连续； 若,则在处间断。4、导数与微分的概念 一、导数概念1、导数的定义 例 设有一块正方形金属薄片，其边长为，现把该薄片加热，设加热后边长增加了 则有：加热前加热后改变量边长面积这时面积的平均变化率为： 由于加热前后面积的变化与边长有很大关系，即大，则变化大，小，则变化小。故称为在处的变化率。定义 设中自变量有改变量，则称为的导数，记为，而称为在处的导数值。 例 设，求解 设有改变量，则 ，从而 例 求的导数。 解 设有改变量，则

18、即 在导数定义中，若令 则，当时，即，代入上式得： 2、导数的几何意义 曲线在点处的切线斜率为 曲线在点处的切线方程为： 例 求曲线在点（1，1）处的切线方程。 解 曲线在点处的切线率为 所求切线方程为，即3、可导条件 定义：极限称为左导数，记为， 极限称为右导数，记为。 可导条件：在处可导左、右导数存在且相等。 例 讨论 在点x=0处的连续性和可导性。 解 而在处连续。 又 从而在处不可导连续与可导的关系：可导连续极限存在 极限不存在不连续不可导二、导数计算 1、导数的基本公式 （1） （7） （2） （8） （3） （9） （4） （10） （5） （11） （6） （12） 2、导数运算

19、法则 (1)、 (3)、 (2)、 (4)、例 设，求解 例 设，求解 例 设，求解 例 设，求解 例 设，求，解法1 解法2 解法3 从而三、二种求导技巧 1、复合函数求导法 设，则 例 设，求。. 解 例 设，求。 解 例 设求。 解 例 设求。 解 2、隐函数求导法函数表示法；形如称为显函数，如等； 形如称为隐函数，如，等。求导法：把看成是的函数，两边同时对求导。例 方程确定是的函数，求。 解 两边对求导得： 即： 移项得： 例 方程确定是的函数，求。解 两边对求导得： 即 练习 方程确定是的函数，求。四、高阶导数设，则称为一阶导数，称为二阶导数，称为三阶导数、等等。例 设，则 例 设，

20、求。 解 例 设，求。 解 练习 1 设，则_ 。 2 设,则_ .。五、微分 定义 设在点x处可导，则称为在点处的微分，记为。 微分计算公式： 例 设，求。 解 例 设，求。 解 两边对求导得， ，即 从而 例 设，则（B ）。 A、 B、 C、 D、 解 可导与可微之间的关系：可导一定可微，可微一定可导。第3章 导数应用1、函数的单调性 先看下图： 定义域： 定义域： 定义域： 由此我们可以得到函数单调性判别法。单调性判别法：设在内可导（1）、若在内，则递增，如（2）、若在内，则递减，如（3）、若在内，则不增不减，如定义 若在处可导，且则称为驻点（也称为稳定点） 例 求的单调区间。 解 的

21、定义域为，而 令得驻点，现把定义域分割为下面三个区间： ， 当时，递增 当时，递减 当时，递增 的单调增区间是和，单调减区间为。一般地，求单调区间的方法为：（1）、先求出函数的定义域； （2）、令求出函数的驻点或导数不存在的点，并分割区间； （3）、判断：若，则；若，则。 例函数的单调增加区间为_ 。 解函数的定义域为，而，令得驻点，而在区间内，所求增区间为 练习 函数在区间_ 内是是单调减少的。 例下列函数中（ ）在内是单调减少的。 例设在内可导，且,则( )。 2、函数的极值先看下图：极大值和极小值统称为极值，极大值点和极小值点统称为极值点，可疑极值点有二种：（1）、驻点；（2）、导数不存

22、在的点。极值判别法一：设的可疑极值点为，若在附近的符号：（1）、若左正右负，则为极大值，（2）、若左负右正，则为极小值，（3）、若左右同号，则不是极值。注意：驻点不一定是极值点，导数不存在的点也不一定是极值点； 反过来，极值点也不一定是驻点，极值点也不一定是导数不存在的点。例 求的极值。 解 的定义域为（），而 令得，现列表讨论： 1 2+00+极大极小故在处取得极大值， 在处取得极小值。极值判别法二：设的可疑极值点是，且存在，则：（1）、若0，则为极小值，（2）、若0，则为极大值，（3）、若=0，不能确定。例求的极值， 解 令得驻点 又 而为极大值 为极小值。在实际问题中，有时我们需要计算函

23、数在某一个区间上的最大值或最小值，统称为函数的最值。 例 求在区间上的最大值及最小值。 解 令得 现把这些驻点与区间端点的函数值进行比较： 比较大小得：一般地，求在上最值的方法：（1）、先求出的可疑极值点（2）、比较的大小（3）、求出最大值及最小值例 满足方程的点一定是函数的（ ）。 极值点 最值点 驻点 不可导点 例 以下命题正确的是( )。 不可导的点，一定不是该函数的极值点驻点或不可导的点有可能是函数的极值点驻点一定是极值点极值点一定是驻点 例 若在上恒有，则在上的最大值是 ； 最小值是 。3、导数在经济中的应用 一、需求弹性设函数,则称为自变量改变量；称为因变量改变量。 而称为自变量的

24、相对改变量；称为因变量的相对改变量。 极限称为在点处的弹性，记为E 一般地，设需求函数,则需求弹性 (为价格) 特别地，当需求函数时，需求弹性 经济意义：当价格为时，再提价1%，则需求量将近似变动%。 例 设某商品的需求函数为（1）、求需求弹性函数 ；（2）、当价格时，再涨价1%，其需求量将会发生什么变化？ 解（1）、需求弹性函数： （2）、当时，即再涨价1%时，其需求量将近似减少3%。 例 设需求函数，则需求弹性。 例 设需求函数，则当时，需求弹性为_ _.。 例 已知需求函数，当价格时，再提价1%，则需求量将( )。 增加5% 减少5% 增加5 减少5二、边际经济函数 成本函数边际成本 收

25、入函数边际收入 利润函数边际利润 例 设煤炭公司每天生产煤吨的总成本函数为： ，如果每吨煤的售价为490元，求： （1）、边际成本函数 （2）、利润函数及边际利润函数 解（1）成本函数 边际成本 （2）收入函数 利润函数 边际利润为三、经济分析中的最值问题 例 某厂生产某种产品的总成本(万元)是产量（百件）的函数，即： ,试求产量为多少时？平均成本最低？ 解 平均成本 而，令得（百件）（舍去） 又 故当产量百件时平均成本最小。 例 生产一批产品的固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为60元，市场需求规律为，试求：（1）、产量为多少时利润最大？最大利润是多少？（2）、获得最大利润时的价格是

26、多少？ 解 （1）、成本函数 由需求规律，解得 收入函数 利润函数 而，令 解得（吨） 又 故当吨时，利润最大，最大利润为 （元） （2）、这时的价格（元/吨）第一篇 微分学综合练习题一、填空题1、的定义域为_。 解 要求且即且，故所求定义域为。2、设，则_。 解 3、设则 。 解 4、设则 。 解 5、。 解 6、设，在点处连续，则 。 解 而7、函数的间断点为 。 解 令，即8、若则 。 解 9、若，则。 解 10、设，则 。 解 11、若则。 解 12、曲线在处的切线方程为 。 解 而当时，曲线过点， 故所求切线方程为： 即13、若某商品的需求函数则它的需求弹性 。 解 14、函数在区间

27、 内是单调减少的。 解 的定义域为，而，令得 （舍去），故定义域可分为及 当时，是单调减少的。15、若在上恒有，则在 上的最小值是 。 解 在 上单调减少，为最大值，为最小值。16、函数在点 处取得极小值。解 ，令即，即，而 故是极小值点。二、单项选择题1、的定义域为（ ）。 2、若的定义域是，则的定义域是（ ）。 3、（ ）。 4、下列各对函数中，（ ）是两个相同函数。与 与 与 与5、下列函数中，奇函数的是（ ）。 6、下列函数中（ ）是偶函数。 7、已知，若为无穷小量，则的趋向是（ ）。 8、下列极限存在的是（ ）。 9、下列各式中，（ ）的极限值为1。 10、下列等式中不正确的是（ ）

28、。 11、设（为常数）为连续函数，则=（ ）。 1 0 12、设 ，则=（ ）。13、若，则=（ ）。14、已知，则=（ ）。15、下列等式中（ ）是正确的。 16、下列函数中，（ ）在指定区间内是单调减少的函数。 17、若函数在点处可导，则（ ）是错误的。 函数在点处有定义 但 函数在点处连续 函数在点处可微18、曲线在处的切线方程是（ A ）。 19、函数在区间内（ C ）。 单调增加 先单调增加后单调减少 先单调减少后单调增加 单调减少20、下列结论正确的有（ ）。 极值点一定是驻点 驻点一定是极植点 极植点可能不可导 驻点可能不可导。21、已知某商品的需求函数，则需求弹性（ ）。 22

29、、某商品的需求弹性为，则当提价1%时需求量将会（ ）。 增加 减少 减少% 增加%三、计算题1、求 2、求 3、求4、求 5、求 6、求7、求 8、设求。9、设，求。10、设，求。11、设，求。12、设，求四、应用题1、某厂生产某种产品的总成本（万元）是产量（百件）的函数，试求产量为多少时，平均成本最低？并求当边际成本等于平均成本时的产量。2、某厂生产某种产品q件时的总成本函数为（元），单位销售价格为（元/件），问产量为多少可使利润达到最大？最大利润是多少？ 3、某商品的需求量,其中为价格（单位：元），试求：（1）、需求弹性；（2）、使收入达到最大的价格，此时的需求弹性是多少？ 第二篇 一元函

30、数积分学第1章 不定积分1 不定积分的概念先看下面例子：例 设，则有等等。一般地有，其中称为导数，而求导前的函数称为的原函数。一、 原函数的概念设，则称为的一个原函数。原函数可以有无穷多个，一般记为：例 ，的一个原函数是，全体原函数是 例 ，的一个原函数是，全体原函数是例 ，的一个原函数是，全体原函数是例 设的一个原函数是，则=（ ）。例 设的一个原函数是，则=（ ）。二、不定积分的概念定义 求函数的原函数的运算称为不定积分，记为： 其中称为积分号，称为被积函数。例 例 ， ， 从上述例子可以看出，不定积分与导数是互逆运算。 练习 。 。三、不定积分的性质 1、 或例 ， 。 。2、或例 ，

31、。3、4、例 。例 设，则 。解 例 已知，则 。解 两边同时求导得：，2 不定积分的计算 一、基本积分公式 把导数公式逐条逆转过来便得到如下积分公式：基本导数公式： 基本积分公式：（1）、 （1）、（2）、 （2）、（3）、 （3）、 （4）、 （4）、 （5）、 （5）、 （6）、 （6）、 （7）、 （7）、 （8）、 （8）、 （9）、 （9）、 （10）、 （10）、 （11）、 （11）、 （12）、 （12）、二、直接积分法 直接利用基本积分公式及积分性质来计算积分称为直接积分法。例 求下列不定积分：1、 2、 3、 4、解 1、原式 2、 原式 3、原式4、原式 练习 求下列不定积分：1、 2、3 积分技巧问题运用直接积分法只能计算一些简单的不定积分，但对于一些复杂函数的不定积分，就不能直接运用基本积分公式及积分性质来计算，下面介绍二种积分技巧。 一、凑微分法（主要用于求复合函数的积分）例 求分析 这是一个复合函数的求积分，不能运用直接积分法。 实际上，在公式中，令得解 一般地，若，则有，从而有例 在公式中，令，则有；令，则有；令，则有等等。从一个公式可以变出无数个公式。大家知道：若，则称为的一个原函数。从而由微分计算公式知：，这个式子从正向看是一个微分公式，但从逆向看：既是一个凑微分过程，实际上又是一个积分过程。例 、 等等。根据不定积分的定义，若，则有，由此可