1、专题09 二倍角的三角函数知识聚焦考点聚焦知识点1二倍角公式及其应用1、二倍角的正弦（）：；变形2、二倍角的余弦（）：.3、二倍角的正切（）：4、升（降）幂缩（扩）角公式利用余弦的二倍角公式变形可得：升幂公式：， 降幂公式：，知识点2 利用二倍角公式化简求值1、给角求值的解题策略：（1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角；（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式。2、三角函数化简“三看”原则知识点3
2、辅助角公式及其应用1、辅助角公式推导：对于形如的式子，可变形如下：=由于上式中和的平方和为1，故令，则=其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定2、辅助角公式应用的解题思路（1）将化为的形式；（2）构造（3）和角公式逆用，得 (其中为辅助角)；（4）利用研究三角函数的性质；（5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范 考点剖析考点1 二倍角的正弦公式【例1】（2023全国高一专题练习）已知角的终边与单位圆交于点，则【变式1-1】（2023全国高一专题练习）已知，则的值为【变式1-2】（2023河北邯郸高一校考期末）若，则等于（）A B C或 D或【变式1-3】（2023高一课时
3、练习）（ ）A B C D考点2 二倍角的余弦公式【例2】（2023河北邢台高一邢台市第二中学校联考阶段练习）【变式2-1】（2023全国高一专题练习）若，则（）A B C D【变式2-2】（2023全国高一专题练习）已知，则的值为（）A B C D【变式2-3】（2023四川宜宾高一校考期中）（多选）下列各式中，值为的是（）A B C D考点3 二倍角的正切公式【例3】（2023江西高一统考期中）已知，则（）A B C D【变式3-1】（2023江西上饶高一校考期末）已知为第二象限角，则【变式3-2】（2023全国高一专题练习）已知为锐角，则.【变式3-3】（2023江西南昌高一统考期末）已
4、知，则（）A B C D考点4 二倍角给值求值问题【例4】（2023全国高一专题练习）若，则（）A B C D【变式4-1】（2023全国高一专题练习）已知，则（ ）A B C D -【变式4-2】（2023高一单元测试）已知，且，则（）A B C D【变式4-3】（2023安徽高一校联考期中）已知，则tan=.考点5 利用二倍角化简证明【例5】（2023全国高一专题练习）的值为（）A B C D【变式5-1】（2023全国高一专题练习）若，则（）A B C D【变式5-2】（2023辽宁沈阳高一沈阳二中校考阶段练习）化简求值：（1）；（2）.【变式5-3】（2023上海浦东新高一校考阶段练习
5、）证明：考点6 辅助角公式及其应用【例6】（2023高一课时练习）用辅助角公式化简下列式子：（1）（2）（3）【变式6-1】（2023全国高一专题练习）函数在区间上的最大值为（）A B C1 D2【变式6-2】（2023北京海淀高一统考期末）函数的最大值为（）A1 B C D2【变式6-3】（2023四川高一校联考期末）（）A B1 C D2 过关检测一、单选题1（2023甘肃天水高一统考期中）已知角的终边经过点，则的值为（）A B C D2（2023辽宁高一校联考阶段练习）（）A B C D3（2023河南新乡高一校联考期末）若，则（）A B C D4（2023浙江嘉兴高一海宁市高级中学校考
6、阶段练习）已知，则（）A B C D5（2023江苏连云港高一校考阶段练习）已知是第一象限角，满足，则（）A B C D6（2023甘肃临夏高一统考期末）若，且，则（）A B C D7（2023辽宁沈阳高一沈阳市翔宇中学校考阶段练习）已知，则（）A B C D8（2023江苏镇江高一校联考阶段练习）函数的值域是（）A B C D二、多选题9（2023黑龙江哈尔滨高一哈尔滨市第六中学校校考阶段练习）下列各式中值为的是（）A B C D10（2023江苏镇江高一统考期中）下列各式的值为的是（ ）A B C D11（2023辽宁高一校联考阶段练习）若，则的值可能为（）A B C D12（2023广东
7、佛山高一佛山市南海区第一中学校考阶段练习）关于函数,下列说法正确的有（）A的最大值为，最小值为 B的单调递增区间为C的最小正周期为 D的对称中心为三、填空题13（2023内蒙古巴彦淖尔高一统考期末）若，则.14（2023福建厦门高一厦门市第十中学校考阶段练习）已知，则.15（2023江西宜春高一宜丰中学校考阶段练习）已知的最小正周期为，则常数的值等于16（2023广东湛江高一雷州市第一中学校考阶段练习）函数的最大值是四、解答题17（2023山东泰安高一新泰市第一中学校考阶段练习）已知，（1）求的值（2）求的值18（2023四川绵阳高一四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知（1）当时，求的值；（2
8、）求的值19（2023广东佛山高一校联考阶段练习）已知为第二象限角，为第一象限角，.（1）求的值.（2）求的值.20（2023四川成都高一成都七中统考阶段练习）已知，且，（1）求和；（2）求的大小21（2023高一课时练习）化简：（1）；（2）；（3）.22（2023天津南开高一南开中学校考阶段练习）已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调递增区间；（3）求函数在区间上的最小值和最大值及取得最大值和最小值时的的值专题09 二倍角的三角函数知识聚焦考点聚焦知识点1二倍角公式及其应用1、二倍角的正弦（）：；变形2、二倍角的余弦（）：.3、二倍角的正切（）：4、升（降）幂缩（扩）角公式利
9、用余弦的二倍角公式变形可得：升幂公式：， 降幂公式：，知识点2 利用二倍角公式化简求值1、给角求值的解题策略：（1）直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角；（2）若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式。2、三角函数化简“三看”原则知识点3 辅助角公式及其应用1、辅助角公式推导：对于形如的式子，可变形如下：=由于上式中和的平方和为1，故令，则=其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定2、辅助角公
10、式应用的解题思路（1）将化为的形式；（2）构造（3）和角公式逆用，得 (其中为辅助角)；（4）利用研究三角函数的性质；（5）反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范 考点剖析考点1 二倍角的正弦公式【例1】（2023全国高一专题练习）已知角的终边与单位圆交于点，则【答案】【解析】因为角的终边与单位圆交于点，所以，所以.【变式1-1】（2023全国高一专题练习）已知，则的值为【答案】【解析】，所以.所以，所以.【变式1-2】（2023河北邯郸高一校考期末）若，则等于（）A B C或 D或【答案】D【解析】因为，则，所以故选：D【变式1-3】（2023高一课时练习）（ ）A B C D【答案】A【解
11、析】.故选：A.考点2 二倍角的余弦公式【例2】（2023河北邢台高一邢台市第二中学校联考阶段练习）【答案】【解析】.【变式2-1】（2023全国高一专题练习）若，则（）A B C D【答案】C【解析】，.故选：C.【变式2-2】（2023全国高一专题练习）已知，则的值为（）A B C D【答案】C【解析】由题意得，解得，所以故选：C【变式2-3】（2023四川宜宾高一校考期中）（多选）下列各式中，值为的是（）A B C D【答案】ACD【解析】对于A，故A正确；对于B，故B错误；对于C，故C正确；对于D，故D正确；故选：ACD考点3 二倍角的正切公式【例3】（2023江西高一统考期中）已知，
12、则（）A B C D【答案】B【解析】因为，所以，故，所以.故选：B【变式3-1】（2023江西上饶高一校考期末）已知为第二象限角，则【答案】【解析】因为，为第二象限角，所以，则，所以.【变式3-2】（2023全国高一专题练习）已知为锐角，则.【答案】【解析】由于为锐角，所以，所以.【变式3-3】（2023江西南昌高一统考期末）已知，则（）A B C D【答案】B【解析】由，得，则.故选：B.考点4 二倍角给值求值问题【例4】（2023全国高一专题练习）若，则（）A B C D【答案】A【解析】因为，所以.故选：A.【变式4-1】（2023全国高一专题练习）已知，则（ ）A B C D -【答
13、案】D【解析】因为，所以.故选：D【变式4-2】（2023高一单元测试）已知，且，则（）A B C D【答案】A【解析】因为由可得，则，又，故，故选：A【变式4-3】（2023安徽高一校联考期中）已知，则tan=.【答案】【解析】由得，所以，考点5 利用二倍角化简证明【例5】（2023全国高一专题练习）的值为（）A B C D【答案】C【解析】由题意得：，故选：【变式5-1】（2023全国高一专题练习）若，则（）A B C D【答案】C【解析】.故选：C【变式5-2】（2023辽宁沈阳高一沈阳二中校考阶段练习）化简求值：（1）；（2）.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）.（2）.【变式5-
14、3】（2023上海浦东新高一校考阶段练习）证明：【答案】证明见解析【解析】证明：由二倍角公式以及可得，得证考点6 辅助角公式及其应用【例6】（2023高一课时练习）用辅助角公式化简下列式子：（1）（2）（3）【答案】（1）；（2）；（3），其中【解析】（1）.（2）.（3），其中，即.【变式6-1】（2023全国高一专题练习）函数在区间上的最大值为（）A B C1 D2【答案】D【解析】，因为，所以，根据正弦函数的性质，所以当时，有最大值为2，故选：D.【变式6-2】（2023北京海淀高一统考期末）函数的最大值为（）A1 B C D2【答案】B【解析】.当时，函数取得最大值.故选：B【变式6-
15、3】（2023四川高一校联考期末）（）A B1 C D2【答案】B【解析】，故选：B 过关检测一、单选题1（2023甘肃天水高一统考期中）已知角的终边经过点，则的值为（）A B C D【答案】A【解析】由角的终边经过点，则，所以故选：A2（2023辽宁高一校联考阶段练习）（）A B C D【答案】A【解析】因为，所以，整理得，解得或（舍去），所以故选：A3（2023河南新乡高一校联考期末）若，则（）A B C D【答案】C【解析】由，得，则故选：C4（2023浙江嘉兴高一海宁市高级中学校考阶段练习）已知，则（）A B C D【答案】C【解析】，故选：C5（2023江苏连云港高一校考阶段练习）已
16、知是第一象限角，满足，则（）A B C D【答案】B【解析】因为是第一象限，则为第一象限角或第二象限角，且，所以，由题意可得：.故选：B.6（2023甘肃临夏高一统考期末）若，且，则（）A B C D【答案】D【解析】因为，所以，所以.故选：D7（2023辽宁沈阳高一沈阳市翔宇中学校考阶段练习）已知，则（）A B C D【答案】B【解析】依题意，两边平方得，所以，故选：B8（2023江苏镇江高一校联考阶段练习）函数的值域是（）A B C D【答案】C【解析】，令，则，因为，且该二次函数开口向下，所以，因为，所以，因此，即，故选：C二、多选题9（2023黑龙江哈尔滨高一哈尔滨市第六中学校校考阶段
17、练习）下列各式中值为的是（）A B C D【答案】BCD【解析】对于A，错误；对于B，正确；对于C，正确；对于D，正确；故选：BCD10（2023江苏镇江高一统考期中）下列各式的值为的是（ ）A B C D【答案】AD【解析】对于A：，故A正确；对于B：，故B错误；对于C：因为，所以，解得或（舍去），所以，故C错误；对于D：，故D正确；故选：AD11（2023辽宁高一校联考阶段练习）若，则的值可能为（）A B C D【答案】AC【解析】因为，所以，由选项可知，AC符合，故选：AC.12（2023广东佛山高一佛山市南海区第一中学校考阶段练习）关于函数,下列说法正确的有（）A的最大值为，最小值为
18、B的单调递增区间为C的最小正周期为 D的对称中心为【答案】ABD【解析】由题意得，则最大值为，最小值为，A正确；令，即，故单调递增区间为，B正确；的最小正周期为，C错误；令，故的对称中心为，D正确，故选：ABD.三、填空题13（2023内蒙古巴彦淖尔高一统考期末）若，则.【答案】【解析】由，得，所以.14（2023福建厦门高一厦门市第十中学校考阶段练习）已知，则.【答案】【解析】由，解得；由.15（2023江西宜春高一宜丰中学校考阶段练习）已知的最小正周期为，则常数的值等于【答案】【解析】，由最小正周期为得.16（2023广东湛江高一雷州市第一中学校考阶段练习）函数的最大值是【答案】【解析】函
19、数，由正弦型函数的性质可知，函数最大值为.四、解答题17（2023山东泰安高一新泰市第一中学校考阶段练习）已知，（1）求的值（2）求的值【答案】（1）；（2）【解析】（1），又，.（2）由第（1）问，所以，.所以.18（2023四川绵阳高一四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知（1）当时，求的值；（2）求的值【答案】（1）；（2）【解析】（1）当时，.由，得，；（2），.19（2023广东佛山高一校联考阶段练习）已知为第二象限角，为第一象限角，.（1）求的值.（2）求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为为第二象限角，为第一象限角，.（2）由（1）得，20（2023四川成都高一成都七中统
20、考阶段练习）已知，且，（1）求和；（2）求的大小【答案】（1）；（2）【解析】（1），故，；.（2），故，又，故，故，故，故，故.21（2023高一课时练习）化简：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）；（2）；（3）1【解析】（1），原式.（2），.又，且，原式.，原式.（3）.22（2023天津南开高一南开中学校考阶段练习）已知函数（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调递增区间；（3）求函数在区间上的最小值和最大值及取得最大值和最小值时的的值【答案】（1）；（2），；（3）时，有最小值，时，有最大值【解析】（1），故；（2）由，令，则，故函数的单调递增区间为，；（3）当时，则，即，即在区间上的最小值和最大值分别为、，当，即时，有最小值，当，即时，有最大值.学科网（北京）股份有限公司
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