1、 东海高级中学高一年级第二学期第一次月考数学试题一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（每题5分，8题共40分）1. 已知为锐角，且满足如，则的值为（ ）A. B. C. D. 2. 向量“，不共线”是“| +| |+|”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 的值为（ ）A. B. C. D. 4. ，则与夹角（ ）A B. C. D. 5. 若，则值为（ ）A. B. C. D. 6. 若锐角三角形三边长分别为，则的范围是（ ）A. B. C. D. 7. 已知非零向量、满足，且，则的形状是（）A. 三边均不相等的
2、三角形B. 直角三角形C. 等腰（非等边）三角形D. 等边三角形8. 在中，若，且，则（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题：本题每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 下列化简正确的是A. B. C D. 10. 已知，则下列选项中可能成立的是（ ）A. B. C D. 11. 把一条线段分为两部分，使较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，该比值是无理数，由于按此比例设计的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，也称为中外比黄金分割不仅仅体现在诸如绘画雕塑音乐建筑等艺术领域，而且在管理工程设计等方面也有着不
3、可忽视的作用.在中，点为线段的黄金分割点，点为的中点，点为线段上的一点（包含端点），则下列说法正确的是（ ）A. B. C. 在上的投影向量为D. 的取值范围是12. 在数学史上，为了三角计算的简便及更加追求计算的精确性，曾经出现过两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则下列结论中正确的是（ ）A. B. C. 若，则D. 函数的最大值为三、填空题：本大题每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上13. 已知向量，且，则_.14. 已知，则_.15. 已知半圆圆心为O点，直径，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原点建立平面直角
4、坐标系，如图所示当点P的坐标为_时，取得最小值，且此最小值是_16. 函数，函数，若对所有的总存在，使得成立，则实数的取值范围是_四、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上17. 如图，在中，为线段的垂直平分线，与交与点为上异于的任意一点.求的值；判断的值是否为一个常数，并说明理由18. 已知函数.（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为.若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围.19. （）如图1，是平面内的三个点，且与不重合，是平面内任意一点，若点在直线上，试证明：存在实数，使得：.（）如图2,设为
5、重心,过点且与、（或其延长线）分别交于点，若，试探究：的值是否为定值，若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由.20. 某房地产开发公司为吸引更多消费者购房，决定在一块扇形空地修建一个矩形花园，如图所示已知扇形角，半径米，截出的内接矩形花园的一边平行于扇形弦设，（1）以为自变量，求出关于的函数关系式，并求函数的定义域；（2）当为何值时，矩形花园的面积最大，并求其最大面积21. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数（1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；（2）已知，为的相伴特征向量，请问在的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标；若不存
6、在，说明理由；22. 在中，.（1）如图1，若点为的重心，试用、表示；（2）如图2，若点在以为圆心，为半径的圆弧上运动（包含、两个端点），且，设，求的取值范围；（3）如图3，若点为外接圆的圆心，设，求的最小值.东海高级中学高一年级第二学期第一次月考数学试题一选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（每题5分，8题共40分）1. 已知为锐角，且满足如，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先利用两角和的正切计算，再利用二倍角的正切化简前者，结合可得，从而可求.【详解】，故，故，因为为锐角，故，故，故选：B.【点睛】思路点睛：已知的三角函数值，求的三角函
7、数值，应利用两角和的三角函数值逐级计算即可.2. 向量“，不共线”是“| +| |+|”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用向量的线性运算的几何表示及充分条件，必要条件的概念即得.【详解】当向量“，不共线”时，由向量三角形的性质可得“| +|+|”成立，即充分性成立，当“，方向相反”时，满足“| +| |+|”，但此时两个向量共线，即必要性不成立，故向量“，不共线”是“| +| |+|”的充分不必要条件.故选：A.3. 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用两角和的正切公式化简后根据特
8、殊角的正切值，即可求得.【详解】.故选：.【点睛】本题主要考查的是两角差的正切公式的应用，考查学生的计算能力以及特殊角的函数值的应用，是基础题.4. ，则与的夹角（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由向量数量积定义计算两向量夹角余弦后可得角大小【详解】由已知，故选：B【点睛】本题考查求向量的夹角，解题关键是掌握向量数量积的定义5. 若，则值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意求出的值，再用两角差的余弦即可求得值.【详解】，则，.故选：.【点睛】本题主要考查的是同角三角函数基本关系式，两角差的余弦公式的应用，考查学生的计算能力，是中档题.6. 若
9、锐角三角形三边长分别为，则的范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据锐角三角形分别应用余弦定理列边长关系不等式,计算即可.【详解】因为三角形是锐角三角形，所以三角形的三个内角都是锐角，则设边对的锐角为角，根据余弦定理得，解得；设边对的锐角为，根据余弦定理得，解得，设边对的锐角为角,根据余弦定理得恒成立;所以实数的取值范围是.故选:.7. 已知非零向量、满足，且，则的形状是（）A. 三边均不相等的三角形B. 直角三角形C. 等腰（非等边）三角形D. 等边三角形【答案】D【解析】【分析】由可得，再由可求出，即得三角形形状.【详解】因为和分别表示向量和向量方向上的单位向量，
10、由，可得的角平分线与垂直，所以为等腰三角形，且，且，所以，又，所以，所以，所以三角形为等边三角形故选：D8. 在中，若，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据已知条件，运用二倍角公式，可得，再将条件，做恒等变换，可得，再结合三角函数的性质，即可求解详解】，即，为三角形内角，故选项正确，选项错误，故选项错误，又，故选项错误故选：二、多项选择题：本题每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 下列化简正确是A B. C. D. 【答案】CD【解析】【分析】根据两角和差正弦和正切公式、二倍角的正弦和余
11、弦公式依次化简各个选项可得结果.【详解】中，则错误；中，则错误；中，则正确；中，则正确.故选：【点睛】本题考查三角恒等变换的化简问题，涉及到两角和差正弦和正切公式、二倍角的正弦和余弦公式的应用.10. 已知，则下列选项中可能成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】利用坐标进行向量线性运算，并结合三角恒等变换计算相应数量积和模长，从而判断出答案.【详解】，若，此时，故，A可能正确；若，此时，B选项可能正确；，故C一定不正确；，当时，故，D可能正确.故选：ABD11. 把一条线段分为两部分，使较长部分与全长之比等于较短部分与较长部分之比，该比值是无理数，由于按此比例设计
12、的造型十分美丽柔和，因此称为黄金分割，也称为中外比黄金分割不仅仅体现在诸如绘画雕塑音乐建筑等艺术领域，而且在管理工程设计等方面也有着不可忽视的作用.在中，点为线段的黄金分割点，点为的中点，点为线段上的一点（包含端点），则下列说法正确的是（ ）A. B. C. 在上的投影向量为D. 的取值范围是【答案】BCD【解析】【分析】对于A和B，利用，利用向量的加法，即可判断B对，A错；对于C，求出和，根据投影向量公式，即判断C对；对于D，利用极化恒等式，即可计算判断，得到D正确.【详解】如图，则有，故A错，B对；由于为中点，故，故，在上的投影向量为，故C对；，明显可见，当时，取最小值，当与重合时有最大值
13、，故，可得D对；故选：BCD12. 在数学史上，为了三角计算的简便及更加追求计算的精确性，曾经出现过两种三角函数：定义为角的正矢，记作；定义为角的余矢，记作，则下列结论中正确的是（ ）A. B. C. 若，则D. 函数的最大值为【答案】BC【解析】【分析】根据定义计算，故A错误；计算得到BC正确；化简得到，取得最大值4，故D错误，得到答案.【详解】对选项A：，故A错误；对选项B：，故B正确；对选项C：，分子分母同除以，得，故C正确，对选项D：，当时，取得最大值4，故D错误故选：BC三、填空题：本大题每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上13. 已知向量，且，则_.【答案】【解
14、析】【分析】首先求出或，再利用向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】由，则，当时，则，解得.故答案为：14. 已知，则_.【答案】【解析】【分析】根据同角三角函数基本关系求出、的值，再利用两角差的正切公式计算即可求解.【详解】因为，所以，因为，所以，所以，所以，所以，故答案为：.15. 已知半圆圆心为O点，直径，C为半圆弧上靠近点A的三等分点，若P为半径OC上的动点，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示当点P的坐标为_时，取得最小值，且此最小值是_【答案】 . . 【解析】【分析】根据三角函数的定义可得点，继而得到，利用坐标运算表达，根据二次函数的性质即可求解.【详解】解：设，因为半圆的
15、直径，由题易知：又，.又，则，即，所以，又因为，所以当时，有最小值为，此时点的坐标为.故答案为：；.16. 函数，函数，若对所有的总存在，使得成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】分别求得f（x）、g（x）在0，上的值域，结合题意可得它们的值域间的包含关系，从而求得实数m的取值范围【详解】f（x）=sin2x+（2cos2x1）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），当x0，2x+，2sin（2x+）1，2，f（x）1，2对于g（x）=mcos（2x）2m+3（m0），2x，mcos（2x），m，g（x）+3，3m由于对所有的x20，总存在x10，使得f（x1）=g（x2）成
16、立，可得+3，3m1，2，故有 3m2，+31，解得实数m的取值范围是1，故答案为【点睛】本题考查两角和与差的正弦函数，着重考查三角函数的性质的运用，考查二倍角的余弦，解决问题的关键是理解“对所有的x20，总存在x10，使得f（x1）=g（x2）成立”的含义，转化为f（x）的值域是g（x）的子集四、解答题：本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上17. 如图，在中，为线段的垂直平分线，与交与点为上异于的任意一点.求的值；判断的值是否为一个常数，并说明理由【答案】14；是.【解析】【分析】法一：由题意及图形，可把向量用两个向量的表示出来，再利用数量积的公式求出数量积；将向量用与表
17、示出来，再由向量的数量积公式求数量积，根据其值的情况确定是否是一个常数；法二：由题意可以以BC所在直线为x轴，DE所在直线为y轴建立坐标系，得出各点的坐标，由向量坐标的定义式求出的坐标表示，由向量的数量积公式求数量积；设E点坐标为，表示出向量的坐标再由向量的数量积坐标表示公式求数量积即可.【详解】法1：由已知可得， ,的值为一个常数为线段BC的垂直平分线，L与BC交与点D，E为L上异于D的任意一点，故：解法2：以D点为原点，BC所在直线为x轴，L所在直线为 y轴建立直角坐标系，可求，此时，设E点坐标为，常数【点睛】本题考查向量在几何中的应用，本题采用了二种解法，一是基向量法，一是向量的坐标表示
18、，解题的关键是建立坐标系与设定其向量.18. 已知函数.（1）当时，求函数的单调递增区间；（2）将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为.若关于的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数的取值范围.【答案】(1)和；(2)或.【解析】【详解】分析：（1）整理函数的解析式可得 ，结合正弦函数的性质可知单调递增区间为，又，故的单调递增区间为和.（2）由题意可知，由函数的定义域可知的函数值从0递增到1，又从1递减回0.令，则，原问题等价于在上仅有一个实根.据此讨论可得或.详解：（1） ，令，得，又因为，所以的单调递增区间为和.（2）将的图象向左平移个单位后，得，又因为，则，的函数值从0递增到
19、1，又从1递减回0.令，则，依题意得在上仅有一个实根.令，因为，则需或，解得或.点睛：本题主要考查三角函数的性质，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19. （）如图1，是平面内的三个点，且与不重合，是平面内任意一点，若点在直线上，试证明：存在实数，使得：.（）如图2,设为的重心,过点且与、（或其延长线）分别交于点，若，试探究：的值是否为定值，若为定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由.【答案】解：（）见解析；（）见解析.【解析】【分析】【详解】（）由于三点共线，所以存在实数使得：，即化简为结论得证.（）连结，因为为的重心，所以：又因为，所以 由（）知： 所以为
20、定值.20. 某房地产开发公司为吸引更多消费者购房，决定在一块扇形空地修建一个矩形花园，如图所示已知扇形角，半径米，截出的内接矩形花园的一边平行于扇形弦设，（1）以为自变量，求出关于的函数关系式，并求函数的定义域；（2）当为何值时，矩形花园的面积最大，并求其最大面积【答案】（1），定义域是 （2）当时，矩形花园的面积最大，其最大面积为平方米【解析】【分析】（1）利用三角函数将、表示出来，即可求出；（2）求出，再利用和差公式、二倍角公式和辅助角公式进行整理得到，最后利用三角函数的性质求最值即可.【小问1详解】如图，过O作，D为垂足交于E，E为垂足在直角三角形中，在直角三角形中，于是，其定义域是【
21、小问2详解】矩形花园的面积当，时，S取到最大值，且最大值为平方米21. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数（1）记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；（2）已知，为的相伴特征向量，请问在的图象上是否存在一点，使得，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由；【答案】（1） （2）存在点【解析】【分析】（1）根据向量的伴随函数求出，再将所求角用已知角表示，结合三角恒等变换即可得解；（2）确定得到，再计算，根据向量垂直关系，结合三角函数有界性得到答案.【小问1详解】向量的伴随函数为，则，所以，又，所以，所以，故；【小问2详解】，相伴特征向量为，故，则，设，
22、故，故，即，故，又，当且仅当时，和同时等于，等式成立，故在图像上存在点，使得.【点睛】关键点点睛：理解相伴特征向量和相伴函数的定义是解决本题的关键.22. 在中，.（1）如图1，若点为的重心，试用、表示；（2）如图2，若点在以为圆心，为半径的圆弧上运动（包含、两个端点），且，设，求的取值范围；（3）如图3，若点为外接圆的圆心，设，求的最小值.【答案】（1）；（2）；（3）2【解析】【分析】（1）延长交于，利用向量中线公式求出，再由为的重心，即可表示；（2）以为原点，建立平面直角坐标系，表示出， 利用向量的坐标表示得到，利用三角函数求最值即可（3）由，利用平面向量基本定理得到m、n的关系：利用基本不等式求出最小值.【详解】（1）延长交于，则是中点，所以因为点为的重心，所以；（2）以为原点，建立如图坐标系，则，设，因为，所以，所以所以因为，所以，所以，所以；（3）因为，所以由可得即平方可得，即根据平行四边形法则可知，令，则，根据基本不等式可得，所以，解得或所以，所以，所以的最小值是2.【点睛】在几何图形中进行向量运算:(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.第27页/共27页学科网（北京）股份有限公司
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