1、对数函数的概念教学设计 教学目标1通过对具有现实背景的具体实例的分析，经历数学推理的过程，了解对数函数刻画的变化规律的特征，理解对数函数的概念2结合对数函数概念的形成过程，进一步体会研究具体的一类函数的过程和方法，提升数学抽象的核心素养 教学重难点 教学重点：对数函数的概念教学难点：由指数函数y=ax (a0，且a1)，推理得到对数函数概念的过程 课前准备 PPT课件，计算器，GGB课件 教学过程（一）整体感知，明确任务引导语：在4.2节中，我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题对这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对其蕴含的规律作进一步的研究设计意图：明确本节课
2、研究的内容，以及和前面课程的关系（二）新知探究1研究具体问题，进行数学推理问题1：在4.2.1的问题2中，我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间x的变化而衰减的规律是函数进一步地，死亡时间x是碳14的含量y的函数吗？你能设计一个方案来研究这个问题吗？师生活动：学生讨论交流，然后提出方案，由教师进行补充和完善预设的答案：要判断其是否为函数，首先要从函数的定义进行思考，然后考察其是否符合函数的定义在考察的时候，一方面可以观察图象上进行定性的分析，另一方面可以依据函数的定义和性质进行定量的推理判断设计意图：从另一个角度继续研究碳14衰减的问题，让学生感受到对数函数的实际背景，并建立与指数
3、函数的联系，从而更好地理解对数函数培养学生在解决一个数学问题时，首先应当做有条理的思考，然后制定方案，最后再实施，而不是盲目的乱做追问1：解决这个问题，显然要依据函数的定义那么依据定义应该怎样进行判断呢？师生活动：教师引导学生先回忆函数的定义，然后确定判断方法预设的答案：函数的定义：设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，xA所以要判断死亡时间x是否是碳14的含量y的函数，就要确定，对于任意一个y(0，1，是否都有唯一确定的数x和它对应设计意图：与通过
4、抽象概括出指数函数的概念不同，这里是希望通过演绎推理得到对数函数的概念，因此就必须要有演绎推理的理论依据图1追问2：若已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？如图1，观察的图象，过y轴正半轴上任意一点(0，y0)（0y01）作x轴的平行线，结合指数函数的单调性，这条平行线与的图象有几个交点？这说明对任意一个y(0，1，都有几个x与其对应？能否将x看成是y的函数？师生活动：先由学生按照追问1确定的办法进行分析，教师可以展示GGB课件“4.4对数函数第一课时-平行于x轴的直线与指数函数图象的交点”，并演示动画效果学生结合图象和指数函数的单调性，推理得出结论，教师予以补充完善预设的
5、答案：从图象上看，这条平行于x轴的直线，与的图象至少有一个交点(x0，y0)，又因为指数函数为减函数，所以这个交点是唯一的交点这个交点的意义是，已知死亡生物体内碳14的含量为y0，则可以找到与其对应的唯一的一个死亡时间x0这说明对任意一个y(0，1，在0，+)上都有唯一确定的数x和它对应所以x也是y的函数设计意图：可以让学生先从图象上获得直观认识，然后回到函数的定义，帮助学生深入理解对数函数的概念追问3：能否求出生物死亡年数随体内碳14含量变化的函数解析式？师生活动：学生独立完成，个别提问回答预设的答案：根据指数与对数的运算关系，可以将这种对应关系，改写为习惯上用x表示自变量，用y表示函数值，
6、于是就得到函数，它刻画了时间y随碳14含量x的衰减而变化的规律设计意图：通过对一个具体实例的分析，得到一个具体的对数函数为后面得到一般的对数函数作铺垫2演绎推理，形成对数函数的定义问题2：对一般的指数函数y=ax (a0，且a1)，根据指数与对数的运算关系，转换成x=logay (a0，且a1)，能否将x看成是y的函数？师生活动：利用解决问题1的经验，先由学生解答这个问题，然后教师予以补充完善预设的答案：根据指数函数的性质，当0a1时，y=ax单调递减；当a1时，y=ax单调递增所以考虑一般的指数函数y=ax (a0，且a1)，对任意一个y(0，+)，都有唯一确定的数x和它对应因此，x也是y的
7、函数教师讲解：通常，我们用x表示自变量，y表示函数为此，可将x=logay (a0，且a1)改写为：y=logax (a0，且a1)这就是对数函数设计意图：按照问题1的解决方案，分析一般的指数函数，经过演绎推理得到一般的对数函数的解析式追问：如果用解析式法表示一个函数，除了要确定其解析式，还要确定其定义域，才能确定下来这个函数现在我们已经确定了一般的对数函数的解析式为y=logax (a0，且a1)，那么通过与指数函数对比，你能给出一般的对数函数的定义域吗？师生活动：学生独立思考，个别提问回答预设的答案：根据指数函数的定义域可知，在对数函数中，自变量x的取值范围是(0，+)于是就得到了：定义：
8、一般地，函数y=logax (a0，且a1)叫做对数函数（logarithmic function），其中x是自变量，定义域是(0，+)设计意图：两个函数如果解析式相同，但定义域不同，那么它们是两个不同的函数强调函数定义域的重要性，引起学生的重视在与指数函数对比的基础上，建立关联，得出包含定义域的对数函数的完整定义3初步应用，深化理解例1 求下列函数的定义域：（1）y=log3x2； （2）y=loga(4-x) (a0，且a1)追问：求解的依据是什么？据此求解的步骤是什么？师生活动：教师利用追问引导学生思考，学生独立完成后展示交流预设的答案：求解的依据是对数函数y=logax (a0，且a1
9、)的定义域(0，+)那么（1）中的x2和（2）中的(4-x)的取值范围就是(0，+)，于是得到不等式，将定义域问题转化为解不等式问题，进而求出定义域解：（1）因为x20，即x0，所以函数y=log3x2的定义域是x |x0（2）因为4-x0，即x4，所以函数y=loga(4-x)的定义域是x |x4设计意图：通过求对函数的定义域，进一步理解对数函数定义域的特殊性在中学阶段，对数函数是为数不多的定义域不是实数集R的函数，这属于一个特殊情况此前遇到的特殊情况还包括分母不能为0，二次根式的被开放数不能为负数可以前后形成对比，加深对函数定义域和一些特殊情况的理解例2 假设某地初始物价为1，每年以5%的
10、增长率递增，经过y年后的物价为x（1）该地的物价经过几年后会翻一番？（2）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律物价x12345678910年数y0师生活动：学生独立完成，教师引导学生，顺着题意，理清思路预设的答案：对于（1），先写出x关于y的函数，再根据对数与指数间的关系，转换为y关于x的函数对于（2），利用计算工具，快速填好表格，探索发现，随着x的增长，y的增长在减缓解：（1）由题意可知，经过y年后物价x为x=(1+5%)y，即x=1.05y (y0，+)由对数与指数间的关系，可得y=log1.05x，x1，+)由计算工具可得，当x=2时，y14所以，该地区的物价大约经过14年
11、后会翻一番（2）根据函数y=log1.05x，x1，+)，利用计算工具，可得下表：物价x12345678910年数y0142328333740434547由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加1倍所需要的时间在逐渐缩小设计意图：通过利用对数函数概念解决实际问题，理解对数函数的概念，进一步了解对数函数的实际意义，初步体会对数增长的特点，为后面的课程内容作铺垫（三）归纳小结，布置作业问题3：回顾本节课，谈谈我们是怎么得到对数函数概念的？对数函数的现实背景是什么？师生活动：学生讨论交流，教师予以完善预设的答案：（1）本节课我们先通过4.2.1的问题2中所阐述的实际问题，利
12、用图象上x与y的对应关系，并结合指数函数的单调性，理解x也是y的函数，再利用指数与对数的运算关系依据函数的定义，从交换自变量与函数值“地位”的方向进行研究，得到对数函数的概念（2）对数函数与指数函数是密不可分的对于呈指数增长或衰减变化的问题，我们可以用指数函数进行描述，还可以从对数函数的角度进行描述，从而能够更全面地研究其中蕴含的规律设计意图：得到对数函数概念的基本过程，是函数研究的基本路径“背景概念图象和性质应用”中的“背景概念”环节通过不断重复这一过程，使学生逐步掌握研究一个数学对象的基本方法明确对数函数的现实背景，可以使学生明白这类函数区别于其他初等函数的主要特征，为研究对数函数的图象性
13、质和应用奠定基础作业布置：教科书习题（四）目标检测设计1求下列函数的定义域：（1）； （2）；（3）； （4） (a0，且a1)设计意图：通过对数函数与分式、绝对值等多种形式的结合，进一步体会对数函数定义域的特殊性，考察学生对其定义域的理解2画出下列函数的图象：（1）； （2）设计意图：通过对数函数与指数函数结合，进一步体会对数函数定义域的特殊性，并通过图象直观反映出这种特殊性，考察学生对其定义域的理解3已知集合A=1，2，3，4，集合B=2，4，8，16，下列函数能体现集合A与集合B对应关系的是_； ； ； 设计意图：通过列数据的方式，将对数函数、指数函数、一次函数、二次函数进行对比，考察学生对对数函数概念的理解参考答案：1（1） （2） （3） （4）2（1）图略，定义域为R，图象是一条直线y=x（2）图略，定义域为，图象是y=x的直线在第一象限的部分3，
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