1、考点规范练48直线与圆、圆与圆的位置关系考点规范练B册第33页基础巩固1.平行于直线2x+y+1=0且与圆x2+y2=5相切的直线的方程是()A.2x+y+5=0或2x+y-5=0B.2x+y+5=0或2x+y-5=0C.2x-y+5=0或2x-y-5=0D.2x-y+5=0或2x-y-5=0答案:A解析:设与直线2x+y+1=0平行的直线方程为2x+y+m=0(m1).因为直线2x+y+m=0与圆x2+y2=5相切,即点(0,0)到直线2x+y+m=0的距离为5,所以|m|5=5,即|m|=5.故所求直线的方程为2x+y+5=0或2x+y-5=0.2.(2019河北衡水中学高三下学期大联考)
2、已知圆O1:x2+y2=4,圆O2:(x-3)2+(y-4)2=r2(r0),则“2r7”是“圆O1与圆O2相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:B解析:由于两圆相交的充要条件为3r7,故选B.3.已知圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,则圆C中以a4,-a4为中点的弦长为()A.1B.2C.3D.4答案:D解析:圆C:x2+y2-2x+4y=0关于直线3x-ay-11=0对称,直线3x-ay-11=0过圆心C(1,-2),3+2a-11=0,解得a=4,a4,-a4即为(1,-1),点(1,-1)到圆心C(1,
3、-2)的距离d=(1-1)2+(-1+2)2=1,圆C:x2+y2-2x+4y=0的半径r=124+16=5,圆C中以a4,-a4为中点的弦长为2r2-d2=25-1=4.故选D.4.在圆x2+y2-2x-6y=0内,过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为()A.52B.102C.152D.202答案:B解析:圆x2+y2-2x-6y=0变形为(x-1)2+(y-3)2=10.则圆心为P(1,3),半径r=10.因为点E(0,1),所以|PE|=12+(3-1)2=5.过圆x2+y2-2x-6y=0内点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,所以|AC
4、|=2r=210,|BD|=2r2-|PE|2=210-5=25,且ACBD,所以四边形ABCD的面积为S=12|AC|BD|=1221025=102.5.一束光线从点(-1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是.答案:4解析:作出已知圆C关于x轴对称的圆C,如图所示.则圆C的方程为(x-2)2+(y+3)2=1,所以圆C的圆心坐标为(2,-3),半径为1,则最短距离d=|AC|-r=(-1-2)2+(1+3)2-1=5-1=4.6.过点P(1,3)作圆x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则PAPB=.答案:32解析:如图,OA=1,AP=3,又PA=
5、PB,PB=3.APO=30.APB=60.PAPB=|PA|PB|cos60=3312=32.7.(2019河北廊坊省级示范高中联考)已知直线l:y=kx+2与圆C:(x-1)2+(y-4)2=10相交于A,B两点,若|AB|=6,则k=.答案:34解析:设点C(1,4)到直线l的距离为d,则d=10-32=1.因为d=|k-2|k2+1,所以|k-2|k2+1=1,解得k=34.8.(2019云南昆明调研)若过点(1,1)的直线与圆x2+y2-6x-4y+4=0相交于A,B两点,则|AB|的最小值为.答案:4解析:由题意知,圆x2+y2-6x-4y+4=0的圆心为(3,2),半径r=123
6、6+16-16=3.因为点(1,1)与圆心(3,2)间的距离d=(3-1)2+(2-1)2=5,所以|AB|的最小值|AB|min=2r2-d2=29-5=4.9.已知圆C:x2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.(1)求证:对mR,直线l与圆C总有两个不同的交点;(2)设直线l与圆C交于A,B两点,若|AB|=17,求直线l的倾斜角.(1)证明将已知直线l化为y-1=m(x-1);故直线l恒过定点P(1,1).因为12+(1-1)2=10,符合题意,所以存在直线MN为y=-x或y=-x+3符合条件.能力提升11.(2019广西柳州高三模拟)已知直线ax+y-1=0与圆C:(x-
7、1)2+(y+a)2=1相交于A,B两点,且ABC为等腰直角三角形,则实数a的取值为()A.-1或12B.1或-1C.2或-2D.1答案:B解析:由题意可知ABC为等腰直角三角形,圆心C(1,-a)到直线ax+y-1=0的距离d=sin4=22,即|a-a-1|1+a2=22,整理得1+a2=2,即a2=1,解得a=-1或1,故选B.12.已知直线x+y-k=0(k0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,O是坐标原点,且有|OA+OB|33|AB|,则k的取值范围是()A.(3,+)B.2,+)C.2,22)D.3,22)答案:C解析:设AB中点为D,则ODAB,|OA+OB|33|AB|
8、,2|OD|33|AB|,|AB|23|OD|.|OD|2+14|AB|2=4,|OD|21.直线x+y-k=0(k0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A,B,|OD|2|OD|21,4|-k|221.k0,2k0)上的一个动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的面积的最小值为2,则实数k的值为.答案:2解析:根据题意画出图形,如图所示.由题意得圆C:x2+y2-2y=0的圆心C(0,1),半径为r=1,由圆的性质可得S四边形PACB=2SPBC,四边形PACB的面积的最小值为2,SPBC的最小值S=1=12rd(d是切线长),dmin=2,此时
9、|CP|min=5.圆心到直线的距离就是PC的最小值,51+k2=5,又k0,k=2.14.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等,求此切线的方程.解:因为切线在两坐标轴上的截距的绝对值相等,所以切线的斜率为1或切线过原点.当k=1时,设切线方程为y=-x+b或y=x+c,分别代入圆C的方程得2x2-2(b-3)x+(b2-4b+3)=0或2x2+2(c-1)x+(c2-4c+3)=0.由于相切,则方程有两个相等的实数根,即b=3或b=-1,c=5或c=1.故所求切线方程为x+y-3=0,x+y+1=0,x-y+5=0,x-y+1=0.当切线过原
10、点时,设切线方程为y=kx,即kx-y=0.由|-k-2|k2+1=2,得k=26.所以此时切线方程为y=(26)x.综上可得切线方程为x+y-3=0,x+y+1=0,x-y+5=0,x-y+1=0,(2-6)x-y=0或(2+6)x-y=0.15.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得TA+TP=TQ,求实
11、数t的取值范围.解:因为圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0y07,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线lOA,所以直线l的斜率为4-02-0=2.设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d=|26-7+m|5=|m+5|5.因为BC=OA=22+42=25,而MC2=d2+BC22,所以25=(m+5)25+5,解得m=5或m=-15.故
12、直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0.(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2).因为A(2,4),T(t,0),TA+TP=TQ,所以x2=x1+2-t,y2=y1+4.因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25.将代入,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆x-(t+4)2+(y-3)2=25上,从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆x-(t+4)2+(y-3)2=25有公共点,所以5-5(t+4)-62+(3-7)25+5,解得2-221t2+221.因此,实数t的取值范围是2-221,2+221.高考预测16.若直线xa+yb=1通过点M(cos ,sin ),则()A.a2+b21B.a2+b21C.1a2+1b21D.1a2+1b21答案:D解析:因为点M(cos,sin)在圆x2+y2=1上,又直线xa+yb=1过点M,所以直线与圆相交或相切.所以|-1|1a2+1b21,所以1a2+1b21.8
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