1、第七节二次函数的综合应用姓名：_班级：_用时：_分钟1(2018衡阳中考)如图，已知直线y2x4分别交x轴、y轴于点A，B，抛物线过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PCx轴于点C，交抛物线于点D.(1)若抛物线的解析式为y2x22x4，设其顶点为M，其对称轴交AB于点N.求点M，N的坐标；是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；(2)当点P的横坐标为1时，是否存在这样的抛物线，使得以B，P，D为顶点的三角形与AOB相似？若存在，求出满足条件的抛物线的解析式；若不存在，请说明理由2(2018枣庄中考)如图1，已知二次函数yax2xc(a0)的图象与y轴交于点A(0，4)，与
2、x轴交于点B，C，点C坐标为(8，0)，连接AB，AC.(1)请直接写出二次函数yax2xc的解析式；(2)判断ABC的形状，并说明理由；(3)若点N在x轴上运动，当以点A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形时，请写出此时点N的坐标；(4)如图2，若点N在线段BC上运动(不与点B，C重合)，过点N作NMAC，交AB于点M，当AMN面积最大时，求此时点N的坐标图1图23(2018眉山中考)如图1，已知抛物线yax2bxc的图象经过点A(0，3)，B(1，0)，其对称轴为直线l：x2，过点A作ACx轴交抛物线于点C，AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.(1)求抛
3、物线的解析式；(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE，PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；(3)如图2，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由参考答案1解：(1)如图，y2x22x42(x)2，顶点M的坐标为(，)当x时，y243，则点N的坐标为(，3)不存在理由如下：MN3.设P点坐标为(m，2m4)，则D(m，2m22m4)，PD2m22m4(2m4)2m24m.PDMN，当PDMN时，四边形MNPD为平行四边形，即2m24m，解得m1
4、(舍去)，m2，此时P点坐标为(，1)PN，PNMN，平行四边形MNPD不为菱形，不存在点P，使四边形MNPD为菱形(2)存在如图，OB4，OA2，则AB2.当x1时，y2x42，则P(1，2)，PB.设抛物线的解析式为yax2bx4，把A(2，0)代入得4a2b40，解得b2a2，抛物线的解析式为yax22(a1)x4.当x1时，yax22(a1)x4a2a242a，则D(1，2a)，PD2a2a.DCOB，DPBOBA，当时，PDBBOA，即，解得a2，此时抛物线的解析式为y2x22x4；当时，PDBBAO，即，解得a，此时抛物线的解析式为yx23x4.综上所述，满足条件的抛物线的解析式为
5、y2x22x4或yx23x4.2解：(1)yx2x4.提示：二次函数yax2xc的图象与y轴交于点A(0，4)，与x轴交于点B，C，点C坐标为(8，0)，解得抛物线解析式为yx2x4.(2)ABC是直角三角形理由如下：令y0，则x2x40，解得x18，x22，点B的坐标为(2，0)在RtABO中，AB2BO2AO2224220，在RtAOC中，AC2AO2CO2428280.又BCOBOC2810，在ABC中，AB2AC22080102BC2，ABC是直角三角形(3)A(0，4)，C(8，0)，AC4.以A为圆心，以AC长为半径作圆，交x轴于点N，此时N的坐标为(8，0)；以C为圆心，以AC长
6、为半径作圆，交x轴于点N，此时N的坐标为(84，0)或(84，0)；作AC的垂直平分线，交x轴于点N，此时N的坐标为(3，0)综上所述，若点N在x轴上运动，当以点A，N，C为顶点的三角形是等腰三角形时，点N的坐标分别为(8，0)，(84，0)，(84，0)，(3，0)(4)设点N的坐标为(n，0)，则BNn2.如图，过点M作MDx轴于点D，MDOA，BMDBAO，.MNAC，.OA4，BC10，BNn2，MD(n2)SAMNSABNSBMNBNOABNMD(n2)4(n2)2(n3)25，当n3时，SAMN最大，当AMN面积最大时，N点坐标为(3，0)3解：(1)由题意得解得yx24x3.(2)根据题意得E(3，3)，直线OE的解析式为yx.如图，过点P作PQy轴交OE于点Q.设P(m，m24m3)，则Q(m，m)，S四边形AOPESAOESEOPm(m24m3)(m25m)(m)2，当m时，四边形AOPE面积最大，最大面积为.(3)存在符合条件的点P的坐标为(，)或(，)或(，)或(，)7
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