1、第10课时1.已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱B1C1，C1D1的中点试求：(1)AD1与EF所成角的大小；(2)AF与平面BEB1所成角的余弦值；(3)二面角C1DBB1的正切值答案(1)60(2)(3)思路解析建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(0，0，0)，A(1，0，1)，B(0，0，1)，D1(1，1，0)，E(0，0)，F(，1，0)，D(1，1，1)(1)因为(0，1，1)，(，0)，所以cos，即AD1与EF所成的角为60.(2)(，1，1)，由图可得，(1，0，0)为平面BEB1的一个法向量，设AF与平面BEB1所成的角为，则sin|cos，|，
2、所以cos.(3)设平面DBB1的法向量为n1(x，y，z)，(1，1，0)，(0，0，1)，由得令y1，则n1(1，1，0)同理，可得平面C1DB的一个法向量为n2(1，1，1)则cosn1，n2.所以tann1，n2.2.如图所示，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，PAAB，ABC60，BCA90，点D，E分别在棱PB，PC上，且DEBC.(1)求证：BC平面PAC；(2)当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的余弦值；(3)是否存在点E使得二面角ADEP为直二面角？并说明理由答案(1)略(2)(3)存在点E解析方法一：(1)PA底面ABC，PABC.又BCA90，ACBC，BC
3、平面PAC.(2)D为PB的中点，DEBC，DEBC.又由(1)知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角PA底面ABC，PAAB.又PAAB，ABP为等腰直角三角形ADAB.在RtABC中，ABC60.BCAB.RtADE中，sinDAE.cosDAE.(3)DEBC，又由(1)知，BC平面PAC，DE平面PAC.又AE平面PAC，PE平面PAC，DEAE，DEPE.AEP为二面角ADEP的平面角PA底面ABC，PAAC，PAC90.在棱PC上存在一点E，使得AEPC.这时，AEP90.故存在点E使得二面角ADEP是直二面角方法二：如图所示，以A为原点建
4、立空间直角坐标系Axyz.设PAa，由已知可得A(0，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，P(0，0，a)(1)(0，0，a)，(a，0，0)，0，BCAP.又BCA90，BCAC.又APACA，BC平面PAC.(2)D为PB的中点，DEBC，E为PC的中点D(a，a，a)，E(0，a，a)又由(1)知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E.DAE是AD与平面PAC所成的角(a，a，a)，(0，a，a)，cosDAE.(3)同方法一3(2018辽宁沈阳一模)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C底面ABC，AA1A1CACABBC2，且O为AC的中点(1)求证：A
5、1O平面ABC；(2)求二面角AA1BC1的余弦值答案(1)略(2)解析(1)AA1A1C，且O为AC的中点，A1OAC，又侧面AA1C1C底面ABC，交线为AC，且A1O平面AA1C1C，A1O平面ABC.(2)如图，连接OB，以O为坐标原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系由已知可得A(0，1，0)，A1(0，0，)，C1(0，2，)，B(，0，0)，(，1，0)，(，0，)，(0，2，0)设平面AA1B的法向量为m(x1，y1，z1)则有取x11，则y1，z11，m(1，1)，为平面AA1B的一个法向量设平面A1BC1的法向量为n(x2，y2，z2)，
6、则有y20，令x21，则z21，n(1，0，1)，为平面A1BC1的一个法向量，cosm，n.易知二面角AA1BC1的平面角为钝角，所求二面角的余弦值为.4(2018河北开滦二中月考)如图所示，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD是正方形，PDAB2，E为PC中点(1)求证：DE平面PCB；(2)求点C到平面DEB的距离；(3)求二面角EBDP的余弦值答案(1)略(2)(3)解析(1)证明：PD平面ABCD，PDBC.又正方形ABCD中，CDBC，PDCDD，BC平面PCD.DE平面PCD，BCDE.PDCD，E是PC的中点，DEPC.又PCBCC，DE平面PCB.(2)如图所
7、示，过点C作CMBE于点M，由(1)知平面DEB平面PCB，平面DEB平面PCBBE，CM平面DEB.线段CM的长度就是点C到平面DEB的距离PDABCD2，PDC90，PC2，EC，BC2.BE.CM.(3)以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0，0，0)，P(0，0，2)，B(2，2，0)，E(0，1，1)，(2，2，0)，(0，1，1)设平面BDE的法向量为n1(x，y，z)，则令z1，得y1，x1.平面BDE的一个法向量为n1(1，1，1)又C(0，2，0)，A(2，0，0)，(2，2，0)，且AC平面PDB，平面PDB的一
8、个法向量为n2(1，1，0)设二面角EBDP的平面角为，则cos.二面角EBDP的余弦值为.5(2018太原二模)如图，在平面六边形ABFCDE中，四边形ABCD是矩形，且AB4，BC2，AEDE，BFCF，点M，N分别是AD，BC的中点，分别沿直线AD，BC将ADE，BCF翻折成如图的空间几何体ABCDEF.(1)利用下面的结论1或结论2，证明：E，F，M，N四点共面；结论1：过空间一点作已知直线的垂面，有且只有一个结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且只有一个(2)若二面角EADB和二面角FBCA都是60，求二面角ABEF的余弦值答案(1)略(2)解析(1)如图，连接MN，ME，NF
9、，四边形ABCD是矩形，点M，N分别是AD，BC的中点，AMBN，AMBN，DAB90，四边形ABNM是矩形，ADMN.AEDE，点M是AD的中点，ADME，又MNMEM，AD平面EMN，平面EMN平面ABCD，同理可得平面FMN平面ABCD，由结论2可得平面EMN与平面FMN是同一个平面，E，F，M，N四点共面(2)由(1)知平面EMNF平面ABCD，过点E作EOMN，垂足为O，EO平面ABCD.以过点O作垂直于MN的直线为x轴，ON，OE所在直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.AD2，AEDE，点M是AD的中点，AEDE，EM1，二面角 EADB是60，EMN60，
10、OM，OE.同理，过点F作FOMN，可得ON1，FO.A(1，0)，B(1，0)，E(0，0，)，F(0，)，则(0，4，0)，(1，)，(0，)设m(x1，y1，z1)是平面ABE的法向量，则令z12，m(，0，2)，是平面ABE的一个法向量设n(x2，y2，z2)是平面BEF的法向量，则令z22，n(，2)是平面BEF的一个法向量cosm，n，易知二面角ABEF是钝角，二面角ABEF的余弦值为.1(2018河北徐水一中模拟)如下图所示，在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列命
11、题正确的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC答案D解析在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，BDCD，又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，故CD平面ABD，则CDAB，又ADAB，故AB平面ADC，所以平面ABC平面ADC.2(2018河北冀州中学月考)如图，已知二面角PQ的大小为60，点C为棱PQ上一点，A，AC2，ACP30，则点A到平面的距离为()A1B.C. D.答案C解析如图，过A作AO于O，点A到平面的距离为AO.作ADPQ于D，连接OD，则ADCD，CDOD，ADO就是二面角PQ的
12、大小，即为60.因为AC2，ACP30，所以ADACsin3021.在RtAOD中，AOADsin601.故选C.3过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，若ABPA，则平面ABP与平面CDP所成的二面角为()A30 B45C60 D90答案B解析以A点为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴建系且设AB1，C(1，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1)设面CDP的法向量为n(x，y，z)令y1，n(0，1，1)又为面ABP的一个法向量，cosn，.二面角为45.4(2017沧州七校联考)把边长为2的正方形ABCD沿对角线BD折起，使得平面ABD平面CBD，则异面直线AD，
13、BC所成的角为()A120 B30C90 D60答案D解析建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，0，0)，B(0，0)，C(0，0，)，D(0，0)，(，0)，(0，)|2，|2，2.cos，.异面直线AD，BC所成的角为60.5如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，若E，F分别是BC，DD1的中点，则B1到平面ABF的距离为()A. B.C. D.答案D解析方法一：由VB1ABFVFABB1可得解方法二：建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，1)，B1(1，1，0)设F(0，0，)，E(，1，1)，B(1，1，1)，(0，1，0)(，0，1)，(1，0，)(1，0，)(，
14、0，1)0，.又，B1E平面ABF.平面ABF的法向量为(，0，1)，(0，1，1)B1到平面ABF的距离为.6如图所示，ADP为正三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD.点M为平面ABCD内的一个动点，且满足MPMC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为()答案A解析空间中到P，C两点的距离相等的点在线段PC的垂直平分面上，此平面与正方形ABCD相交是一条线段可排除B，C，又点B到P，C两点的距离显然不相等，排除D，故选A.7(2018哈尔滨模拟)正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为，在正方体表面上与点A距离是2的点形成一条封闭的曲线，这条曲线的长度是()A B.C3 D.答案
15、D解析在面ABCD，面AA1B1B，面AA1D1D内与点A的距离是2的点的轨迹分别是以A为圆心，2为半径，圆心角为的圆弧，在面A1B1C1D1，面BB1C1C，面CC1D1D内与点A的距离是2的点的轨迹是分别以A1为圆心，以B为圆心，以D为圆心，1为半径，圆心角为的圆弧，故圆弧的长为3231.8在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为_答案解析延长A1E交AB延长线于P，连PD，由A作AOPD于O，连A1O，则A1OA为二面角的平面角，设棱长为1，则由等面积法可得AO，tanA1OA，cosA1OA.9(2018郑州质检)四棱
16、锥ABCDE的正视图和俯视图如下，其中俯视图是直角梯形(1)若正视图是等边三角形，F为AC的中点，当点M在棱AD上移动时，是否总有BFCM，请说明理由；(2)若平面ABC与平面ADE所成的锐二面角为45.求直线AD与平面ABE所成角的正弦值答案(1)总有BFCM(2)解析(1)由俯视图可知平面ABC平面EBCD.BC2，O为BC中点，BE1，CD2.ABC为等边三角形，F为AC中点，BFAC.又平面ABC平面EBCD，且DCBC，DC平面ABC，DCBF.又ACCDC，BF平面ACD.BFCM.(2)以O为原点，为x轴，为z轴建系B(1，0，0)，C(1，0，0)，E(1，1，0)，D(1，2
17、，0)设A(0，0，a)，由题意可知平面ABC的法向量为(0，1，0)设平面ADE法向量n(x，y，z)(2，1，0)，(1，1，a)，令x1，y2，z.n(1，2，)，解得a.(1，2，)，(0，1，0)，(1，1，)设平面ABE的法向量为m(x1，y1，z1)，令z11，m(，0，1)设AD与平面ABE所成角为，则有sin|cos，m|.直线AD与平面ABE所成角的正弦值为.10(2015天津，理)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABAC，AB1，ACAA12，ADCD，且点M和N分别为B1C和D1D的中点(1)求证：MN平面ABCD；(2)求二面角D1A
18、CB1的正弦值；(3)设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长答案(1)略(2)(3)2解析如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(2，0，0)，D(1，2，0)，A1(0，0，2)，B1(0，1，2)，C1(2，0，2)，D1(1，2，2)又因为M，N分别为B1C和D1D的中点，得M(1，1)，N(1，2，1)(1)证明：依题意，可得n(0，0，1)为平面ABCD的一个法向量.(0，0)由此可得n0，又因为直线MN平面ABCD，所以MN平面ABCD.(2)(1，2，2)，(2，0，0)设n1(x1，y1，
19、z1)为平面ACD1的法向量，则即不妨设z11，可得n1(0，1，1)设n2(x2，y2，z2)为平面ACB1的法向量，则又(0，1，2)，得不妨设z21，可得n2(0，2，1)因此有cos.于是sin.所以二面角D1ACB1的正弦值为.(3)依题意，可设，其中0，1，则E(0，2)，从而(1，2，1)又n(0，0，1)为平面ABCD的一个法向量，由已知，得cos，n，整理得2430，又因为0，1，解得2.所以线段A1E的长为2.11(2018江西上饶一中模拟)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，平面A1BC侧面ABB1A1，且AA1AB2.(1)求证：ABBC；(2)若直线AC与平面A1B
20、C所成的角为，请问在线段A1C上是否存在点E，使得二面角ABEC的大小为，请说明理由解析(1)证明：连接AB1交AB1于点D，AA1AB，ADA1B，又平面A1BC侧面A1ABB1，且平面A1BC侧面A1ABB1A1B，AD平面A1BC，又BC平面A1BC，ADBC.三棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，AA1底面ABC，AA1BC.又AA1ADA，AA1平面A1ABB1，AD平面A1ABB1，BC平面A1ABB1，又AB侧面A1ABB1，ABBC.(2)由(1)得AD平面A1BC，连接CD，ACD为直线AC与平面A1BC所成的角，即ACD，又ADAB1，AC2，BC2.假设在线段A1C上存在一点E，使得二面角ABEC的大小为.以点B为原点，以BC，BA，BB1所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系Bxyz，如图所示，则A(0，2，0)，B(0，0，0)，A1(0，2，2)，C(2，0，0)，B1(0，0，2)(0，2，0)，(2，2，2)，(0，2，2)，(0，0，2)设(2，2，2)，01.(2，2，22)，设平面EAB的法向量为n1(x，y，z)，则n1，n1，令x1，得n1(1，0，)，由(1)知AB1平面A1BC，(0，2，2)为平面CEB的一个法向量cos，n1，|cos|，解得，点E为线段A1C中点时，二面角ABEC的大小为.14
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