1、第5课时 椭圆（一）1若椭圆1过点(2，)，则其焦距为()A2B2C4 D4答案D解析椭圆过(2，)，则有1，b24，c216412，c2，2c4.故选D.2已知椭圆1(ab0)的焦点分别为F1，F2，b4，离心率为.过F1的直线交椭圆于A，B两点，则ABF2的周长为()A10 B12C16 D20答案D解析如图，由椭圆的定义知ABF2的周长为4a，又e，即ca，a2c2a2b216.a5，ABF2的周长为20.3已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则该椭圆方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案D解析2a12，a6，c2，b232.椭圆的方程为1.4若椭圆1的
2、离心率为，则k的值为()A21B21C或21 D.或21答案C解析若a29，b24k，则c.由，即，得k；若a24k，b29，则c.由，即，解得k21.5若椭圆x2my21的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍则m的值为()A. B.C2 D4答案A解析将原方程变形为x21.由题意知a2，b21，a，b1.2，m.6如图，已知椭圆C：1(ab0)，其中左焦点为F(2，0)，P为C上一点，满足|OP|OF|，且|PF|4，则椭圆C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1答案B解析设椭圆的焦距为2c，右焦点为F1，连接PF1，如图所示由F(2，0)，得c2.由|OP|OF|OF1|，知PF1PF.
3、在RtPFF1中，由勾股定理，得|PF1|8.由椭圆定义，得|PF1|PF|2a4812，从而a6，得a236，于是b2a2c236(2)216，所以椭圆C的方程为1.7若焦点在x轴上的椭圆1的离心率为，则m等于()A. B.C. D.答案B解析a22，b2m，c22m.e2.m.8(2018郑州市高三预测)已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，若F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为()A. B2C.2 D.答案D解析设|F1F2|2c，|AF1|m，若ABF1是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|AF1|m，|BF1|
4、m.由椭圆的定义可得ABF1的周长为4a，即有4a2mm，即m(42)a，则|AF2|2am(22)a，在RtAF1F2中，|F1F2|2|AF1|2|AF2|2，即4c24(2)2a24(1)2a2，即有c2(96)a2，即c()a，即e，故选D.9(2018贵州兴义第八中学第四次月考)设斜率为的直线l与椭圆1(ab0)交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为()A. B.C. D.答案C解析由题意知，直线l与椭圆1(ab0)两个交点的横坐标是c，c，所以两个交点分别为(c，c)，(c，c)，代入椭圆得1，两边同乘2a2b2，则c2(2b2a2)2a
5、2b2.因为b2a2c2，所以c2(3a22c2)2a42a2c2，所以2或.又因为0eb0)的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为4，过原点的直线l(斜率不为零)与椭圆C交于A，B两点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则四边形AF1BF2的周长为()A4 B4C8 D8答案C解析由解得周长为4a8.11(2018黑龙江大庆一模)已知直线l：ykx与椭圆C：1(ab0)交于A，B两点，其中右焦点F的坐标为(c，0) ，且AF与BF垂直，则椭圆C的离心率的取值范围为()A，1) B(0，C(，1) D(0，)答案C解析由AF与BF垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，可得|OA|OF
6、|c，由|OA|b，即cb，可得c2b2a2c2，即c2a2，可得eb0)e，.根据ABF2的周长为16得4a16，因此a4，b2，所以椭圆方程为1.13(2018上海市十三校联考)若椭圆的方程为1，且此椭圆的焦距为4，则实数a_答案4或8解析当焦点在x轴上时，10a(a2)22，解得a4.当焦点在y轴上时，a2(10a)22，解得a8.14(2018山西协作体联考)若椭圆C：1(ab0)的左、右焦点与短轴的两个顶点组成一个面积为1的正方形，则椭圆C的内接正方形的面积为_答案解析由已知得，a1，bc，所以椭圆C的方程为x21，设A(x0，y0)是椭圆C的内接正方形位于第一象限内的顶点，则x0y
7、0，所以1x022y023x02，解得x02，所以椭圆C的内接正方形的面积S(2x0)24x02.15已知F1、F2为椭圆1(ab0)的左、右焦点，M为椭圆上一点，MF1垂直于x轴，且F1MF260，则椭圆的离心率为_答案解析方法一：|F1F2|2c，MF1x轴，|MF1|c，|MF2|c.2a|MF1|MF2|2c.e.方法二：由F1(c，0)，将xc代入1，得y，.b2a2c2，即.解得e(舍)，e.16(2018上海虹口一模)一个底面半径为2的圆柱被与底面所成角是60的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于_答案4解析底面半径为2的圆柱被与底面成60的平面所截，其截面是一个椭圆，这
8、个椭圆的短半轴长为2，长半轴长为4.a2b2c2，c2，椭圆的焦距为4.17(2017浙江金丽衢十二校联考)已知F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则椭圆C的离心率的取值范围是_答案，1)解析设P(x，y)，则|PF2|aex，若椭圆C上存在点P，使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2，则|PF2|F1F2|，aex2c，x.axa，a，eb0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若F1AB90，求椭圆的离心率；(2)若椭圆的焦距为2，且2，求椭圆的方程答案(1)(2)
9、1解析(1)若F1AB90，则AOF2为等腰直角三角形所以有|OA|OF2|，即bc.所以ac，e.(2)由题知A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)，由2，解得x，y.代入1，得1.即1，解得a23.所以椭圆方程为1.19(2014课标全国)设F1，F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b.答案(1)(2)a7，b2解析(1)根据c及题设知M，2b23ac.将b2a2c2代入2b23ac，解得，2(舍去)故C的离
10、心率为.(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0，2)是线段MF1的中点故4，即b24a.由|MN|5|F1N|，得|DF1|2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y12，故0kb0)，且c，离心率e，a2b2c2，得a2，b1，椭圆的标准方程为x21.设|PF1|m，|PF2|n，则mn4，mncosF1PF2，又(2c)2(2)2m2n22mncosF1PF2，12422mn2，解得mn.cosF1PF2，cosF1PF2，F1PF2，故选D.3已知A(3，0)，B(2，1)是椭圆1内的点，M是椭圆上的一动点，则|MA|MB|的最大值与最小值之
11、和为()A20 B12C22 D24答案A解析易知A为椭圆的右焦点，设左焦点为F1，由题知|MF1|MA|10，因此，|MA|MB|10|MB|MF1|.|MA|MB|10|BF1|，|MA|MB|10|BF1|.|MA|MB|的最大值与最小值之和为20.选A.4(2018人大附中模拟)椭圆1(ab0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为()A. B.C42 D.1答案D5已知中心在原点，长轴在x轴上，一焦点与短轴两端点连线互相垂直，焦点与长轴上较近顶点的距离为4(1)，则此椭圆方程是_答案1解析由题意，得解得所以椭圆方程为1.6若点
12、O和点F分别为椭圆y21的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2|PF|2的最小值为_答案2解析由题意可知，O(0，0)，F(1，0)，设P(cos，sin)，则|OP|2|PF|22cos2sin2(cos1)2sin22cos22cos32(cos)22，所以当cos时，|OP|2|PF|2取得最小值2.7设F1，F2分别是椭圆1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|3，则P点到椭圆左焦点的距离为_答案4解析连接PF2，则OM为PF1F2的中位线，|OM|3，|PF2|6.|PF1|2a|PF2|1064.8设点P为椭圆C：1(a2)上一点，F1，F2分别为C
13、的左、右焦点，且F1PF260，则PF1F2的面积为_答案解析由题意知，c.又F1PF260，|F1P|PF2|2a，|F1F2|2，|F1F2|2(|F1P|PF2|)22|F1P|PF2|2|F1P|PF2|cos604a23|F1P|PF2|4a216，|F1P|PF2|，SPF1F2|F1P|PF2|sin60.另解：Sb2tan4.9已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为，且它的长轴长等于圆C：x2y22x150的半径，则椭圆的标准方程是()A.1 B.1C.y21 D.1答案A解析圆C的方程可化为(x1)2y216.知其半径r4，长轴长2a4，a2.又e，c1，b2a2c2413.椭圆的
14、标准方程为1.10(2013辽宁)已知椭圆C：1(ab0)的左焦点F，C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AB|10，|AF|6，cosABF，则C的离心率e_答案解析如图所示根据余弦定理|AF|2|BF|2|AB|22|AB|BF|cosABF，即|BF|216|BF|640，得|BF|8.又|OF|2|BF|2|OB|22|OB|BF|cosABF，得|OF|5.根据椭圆的对称性|AF|BF|2a14，得a7.又|OF|c5，故离心率e.11已知P是椭圆1上的一点，求点P到点M(m，0)(m0)的距离的最小值答案0m1时，|PM|minm1时，|PM|min|m2|解析设P(x，y)，则x，y满足1，y22，2x2，|PM|.若02m2，即0m1时，x2m时，函数(x2m)22m2取最小值2m2，此时|PM|的最小值为.若2m2，即m1时，二次函数(x2m)2m22在2，2上单调递减，当x2时，函数(x2m)22m2取最小值(m2)2.此时|PM|的最小值为|m2|.10
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