1、第1章集合11集合的含义及其表示(教师用书独具)三维目标1知识与技能(1)初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法(2)初步了解“属于”关系的意义，理解集合相等的含义(3)初步了解有限集、无限集的意义，并能恰当地应用列举法或描述法表示集合2过程与方法(1)通过实例，初步体会元素与集合的“属于”关系，从观察分析集合的元素入手正确地理解集合(2)观察关于集合的几组实例，并通过自己动手举出各种集合的例子，初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义(3)通过实例体会有限集与无限集，理解列举法和描述法的含义，学会用恰当的形式表示给定集合，掌握集合的表示方法3情感、态度与价值观(1)了解集合的含义，
2、体会元素与集合的“属于”关系(2)在学习运用集合语言的过程中，增强学生认识事物的能力，初步培养学生实事求是、扎实、严谨的科学态度重点、难点重点：集合的含义及集合的表示方法难点：集合的特征性质和概念以及运用特征性质用描述法表示一些简单的集合(教师用书独具)教学建议 1关于集合含义的教学建议教师在教学过程中通过大量具体实例，引导学生抽象出集合的含义，这样可以培养学生主动学习的习惯，提高阅读与理解、合作与交流的能力2关于元素、集合及其关系的表示的教学对于元素，集合的字母表示以及元素与集合之间的“属于”或“不属于”关系建议教师让学生在具体运用中逐渐熟悉，对于常用数集的表示也要求学生记住3关于列举法和描
3、述法表示集合的教学建议教师讲清元素不多的有限集常用列举法表示，无限集常用描述法表示，同时也要说明两种方法的优缺点教学流程课标解读1.理解集合的含义，知道常用数集及其记法(重点)2了解属于关系和集合相等的意义(重点)3了解有限集、无限集、空集的意义4掌握集合的表示方法列举法、描述法和Venn图法，并能正确地表示一些简单的集合(重点、难点).集合的概念【问题导思】观察下面的语句(1)高一(2)班的女生；(2)方程x220的所有实根；(3)2012年7月参加伦敦奥运会的代表团；(4)高一(2)班的所有帅哥；(5)高一(2)班的好学生1上面语句中女生、实根、代表团、帅哥、好学生哪些能被清晰的确定出来？
4、【提示】女生、实根、代表团2以上语句中为什么有的不能确定？【提示】因帅哥、好学生标准无法确定1元素与集合的概念一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元2元素与集合的符号表示通常用大写拉丁字母来表示集合，例如集合A、集合B等；通常用小写拉丁字母表示集合的元素，例如元素a，b等.元素与集合的关系【问题导思】某中学2013级高一年级的20个班构成一个集合，则高一(6)班是这个集合的元素吗？高二(3)班呢？【提示】高一(6)班是这个集合中的元素，高二(3)班不是1元素与集合的关系(1)属于(符号：)，a是集合A中的元素记作aA，读作“a属于A
5、”(2)不属于(符号：或)，a不是集合A中的元素，记作aA或aA.读作“a不属于A”2常用数集及符号表示数集名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号表示NN*或NZQR集合的表示方法【问题导思】观察下列集合(1)中国的直辖市(2)12的所有正因数(3)不等式x23的解集(4)所有偶数的集合1上述四个集合中的元素能分别一一列举出来吗？【提示】(1)、(2)中元素可以一一列举出来，(3)、(4)中元素不能一一列举，因为它们中的元素有无穷多个2设(3)、(4)中元素为x，请用等式(或不等式)分别将它们表示出来【提示】(3)中元素x5，(4)中元素x2n，nN.1列举法将集合的元素一一列举出来，并
6、置于花括号“”内用这种方法表示集合，元素之间要用逗号分隔，但列举时与元素的次序无关2描述法将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成x|p(x)的形式3集合相等如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等集合的分类【问题导思】你班的学生人数可数吗？你能举出一个不可数的集合吗？【提示】可数自然数集有限集：含有有限个元素的集合称为有限集无限集：含有无限个元素的集合称为无限集空集：不含任何元素的集合称为空集，记作 .集合的有关概念下列每组对象能否构成一个集合？(1)所有的好人；(2)平面上到原点的距离等于2的点的全体；(3)
7、正三角形的全体；(4)方程x22的实数解；(5)不等式x10的所有实数解【思路探究】看一组对象能否构成集合，关键是看这组对象是不是确定的【自主解答】“所有的好人”无确定的标准，因此(1)不能构成集合而(2)(3)(4)(5)的对象尽管有点、图形、实数等不同之处，但它们是确定的所以(2)(3)(4)(5)能构成集合判断一组对象的全体能否构成集合，关键是看能否找到一个明确的标准，来判断整体中的每一个对象是不是确定的， 若元素是确定的，又能看做一个整体，便构成一个集合，否则，就不能构成集合，同时要兼顾集合中每个对象所代表的元素的无序性和互异性下列对象：不超过的正整数；高一数学课本中的所有难题；所有的
8、正三角形；我国近代著名的数学家其中能够构成集合的序号是_【解析】由集合定义知中的对象可构成集合；中的“难”与中的“著名”都无明确的界限，不确定，所以不能构成集合【答案】用列举法表示集合用列举法表示下列集合：(1)Ax|2x2，xZ；(2)B(x，y)|；(3)Mx|(x2)2(x3)0；(4)自然数中五个最小数的完全平方数；(5)Py|yx26，xN，yN【思路探究】解答本题首先弄清集合中元素的性质特点，然后按要求改写【自主解答】(1)2x2，xZ，x2，1,0,1,2，A2，1,0,1,2(2)解方程组得B(3,2)(3)2和3是方程的根，M2,3(4)0,1,4,9,16(5)yx266，
9、且xN，yN，x0,1,2，y6,5,2，P6,5,2应用列举法应注意的问题：(1)用列举法表示集合，要注意是数集还是点集；(2)列举法适合表示有限集，当集合中元素个数较少时，用列举法表示集合比较方便，且使人一目了然因此，判定集合是有限集还是无限集，选择适当的表示方法是关键把本题(5)中集合P改为“(x，y)|yx26，xN，yN”，求相应问题【解】点(x，y)满足条件yx26，xN，yN，则或或Q(0,6)，(1,5)，(2,2)用描述法表示集合用描述法表示下列集合(1)正奇数集；(2)使y有意义的实数x的集合；(3)坐标平面内，在第二象限内的点所组成的集合；(4)坐标平面内，不在第一、三象
10、限内的点所组成的集合【思路探究】本题主要考查集合的表示方法，可以把自然语言转化为集合语言，用描述法表示出来【自主解答】(1)x|x2n1，nN，也可表示为x|x2n1，nN*(2)x|x2且x3，xR(3)(x，y)|x0，xR，yR(4)(x，y)|xy0，xR，yR使用描述法时，应注意六点：(1)写清楚集合中的代表元素；(2)说明该集合中元素的性质；(3)不能出现未被说明的字母；(4)多层描述时，应当准确使用“且”“或”；(5)所有描述的内容都要写在花括号内；(6)用于描述的语句力求简明、确切用描述法表示下列集合：(1)偶数集；(2)被3除余2的正整数的集合；(3)不等式2x30的解集【解
11、】(1)偶数可用式子x2n，nZ表示，所以偶数集可表示为x|x2n，nZ(2)设被3除余2的数为x，则x3n2，nZ，但元素为正整数，故x3n2，nN，所以被3除余2的正整数集合可表示为x|x3n2，nN(3)不等式2x30，即x，所以不等式2x30的解集可表示为x|x.运用方程的思想解决集合相等问题(12分)已知集合Aa，ab，a2b，Ba，ac，ac2若AB，求c的值【思路点拨】要求c的值此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性、无序性列方程求解【规范解答】若abac且a2bac2，消去b得：aac22ac 0，1分当a0时，集合B中的三个元素均为0，和元素的互异性
12、相矛盾，故a0.3分c22c10，即c1，但c1时，B中的三个元素相同，此时无解；6分若abac2且a2bac，消去b得：2ac2aca0，a0，2c2c10，9分即(c1)(2c1)0，又c1，故c.11分综上所述，c.12分1根据两集合中的元素完全相同，列出a，b，c满足的方程求解，这就是方程思想的应用2解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增根，这需要解题后进行检验1集合的概念可以从以下几个方面来理解：(1)集合是一个“整体”；(2)构成集合的对象必须具有“确定”且“不同”这两个特征这两个特征不是模棱两可的判定一组对象能否构成一个集合，关键要看是否有一个明确的客观标准来鉴定这些对象，若
13、鉴定对象确定的客观标准存在，则这些对象就能构成集合，否则不能构成集合2集合的表示方法：列举法简明、直观适用于元素个数较少的集合；描述法应用更广泛，多适用于元素个数有无穷多的集合3集合的分类：集合分为有限集和无限集，根据元素的特性，还可以分为数集、点集、图形集等1下列各组对象不能确定一个集合的是_某校高一年级开设的课程；某校高一年级任教的教师；某校高一年级1998年出生的学生；某校高一年级比较聪明的学生【解析】因为中对象都是确定的，它们都能确定一个集合，而中“比较聪明”没有明确的判断标准，故不能确定一个集合【答案】2下列关系式中，正确的序号是_aa，b；0；x|x20；x|x22x50.【解析】
14、空集不含任何元素，故错；0x|x20，故错；正确【答案】3下列叙述中，正确的个数是_1是集合N中最小的数若aN，则aN若aN*，bN，则ab的最小值为2方程x24x4的解集为2,2【解析】N中的最小数为0，故错误；可举反例：a，则aN，但aN，故不正确；可取a1，b0，则ab1，其最小值不为2，故错；方程的解集应为2，故错所以正确个数为0.【答案】04用适当的方法表示下列集合(1)中国古代四大发明的集合；(2)由大于0小于2的实数组成的集合；(3)绝对值等于1的实数的集合；(4)方程x(x22x3)0的解集；(5)不等式x220的解集【解】(1)中国古代四大发明的集合可用列举法表示为指南针，造
15、纸术，火药，印刷术(2)由大于0且小于2的实数组成的集合用描述法可表示为x|0x2(3)绝对值等于1的实数的集合用描述法可表示为x|x|1，用列举法可表示为1,1(4)方程x(x22x3)0的解集用描述法可表示为x|x(x22x3)0，用列举法可表示为3,0,1(5)不等式x220的解集为.一、填空题1下列条件能形成集合的是_(1)充分小的负数全体(2)爱好飞机的一些人；(3)某班本学期视力较差的同学(4)某校某班某一天所有课程【解析】综观(1)(2)(3)的对象不确定，唯有(4)某校某班某一天所有课程的对象确定，故能形成集合的是(4)【答案】(4)2方程组的解集用列举法表示为_；用描述法表示
16、为_【解析】因的解集为方程组的解解该方程组x，y.则用列举法表示为(，)；用描述法表示为.【答案】(，)3函数yx22x1图象上的点组成的集合为A，试用“”或“”号填空(0，1)_A；(1，2)_A；(1,0)_A.【解析】把各点分别代入函数式，可知(0，1)A，(1，2)A，(1,0)A.【答案】，4(2013徐州高一检测)若一个集合中的三个元素a，b，c 是ABC的三边长，则此三角形一定不是_三角形(用“锐角，直角，钝角，等腰”填空)【解析】由集合中元素的互异性可知abc，故该三角形一定不是等腰三角形【答案】等腰5用描述法表示如图111所示中阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是_图
17、111【解析】由图可知，所表示的集合为(x，y)|2x0，且2y0【答案】(x，y)|2x0，且2y06(2013南京高一检测)若集合Ax|3xa0，xN表示二元集，则实数a的取值范围是_【解析】由3xa0得，x，又xN且满足上述条件的只有两个元素，故12，解得3a6.【答案】3a67已知x、y、z为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则M_.【解析】分四种情况讨论：x，y，z中三个都为正，代数式的值为4；x，y，z中两个为正，一个为负，代数式值为0；x，y，z中一个为正、两个为负，代数式值为0；x，y，z都为负数时代数式值为4.M4,0,4【答案】4,0,48设三元素集Ax，1，B|x|，
18、xy,0，其中x，y为确定常数且AB，则x2013y2 013的值等于_【解析】由题意，知x，1|x|，xy,0x0，0，即y0.又x1，且|x|1，x1，x2 013y2 013(1)2 01301.【答案】1二、解答题9用列举法表示下列集合：(1)y|yx22x3，xR，yN；(2)方程x26x90的解集；(3)20以内的质数；(4)(x，y)|x2y21，xZ，yZ；(5)(x，y)|xN，且1x4，y2x0；(6)a|N，且aN【解】(1)yx22x3(x1)24，即y4，又yN，y0,1,2,3,4.故y|yx22x3，xR，yN0,1,2,3,4(2)由x26x90得x1x23，方
19、程x26x90的解集为3(3)20以内的质数2,3,5,7,11,13,17,19(4)因xZ，yZ，则x1,0,1时，y0,1，1.那么(x，y)|x2y21，xZ，yZ(1,0)，(0,1)，(0，1)，(1,0)(5)当xN且1x4时，x1,2,3，此时y2x，即y2,4,6，那么(x，y)|xN且1x1，则UA_.【解析】(1)U1,2,3,4,5，A1,2，结合补集的定义可知UA3,4,5同理可求，当S1,2,3,4时，SA3,4(2)Ux|x3，Ax|x1，如图所示：UAx|3x1【答案】(1)3,4,53,4(2)x|3x1由集合间的关系确定参数的范围已知集合Ax|3x4，Bx|
20、2m1xm1，且BA.求实数m的取值范围【思路探究】【自主解答】BA，(1)当B时，m12m1，解得m2.(2)当B时，有，解得1m2，综上得m1.1解答本题注意不能忽视B的情形当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论2对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答(2013银川高一检测)设集合Ax|a2xa2，Bx|2x3，(1)若AB，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a使BA?【解】(1)借助数轴可得，a应满足的条件为或解得0a1.(2)同理可得a应满足的条件为得a无解，所以不存在实数a使BA.子集、全集、补集的综合应用已知集合
21、Ax|xm，集合Bx|2x3，(1)若全集UR，且AUB，求m的取值范围；(2)若集合Cx|m1x2m，且CAB，求m的取值范围【思路探究】(1)先求UB，再利用AUB得m的取值范围(2)先求AB，再利用CAB得m的取值范围【自主解答】(1)由题意知UBx|x2或x3，AUB，如图：m3，m的取值范围为3，)(2)由题意知BA，m2，ABx|mx2或x3，若C，即m12m，即m1时，m2.若C，即m11，与m2矛盾，故此种情况不存在综上，m的取值范围为(，2针对此类问题，已知补集之间的关系求参数的取值范围时，常根据补集的定义及集合之间的关系，并借助数轴列出参数a应满足的关系式，具体操作时要注意
22、端点值的“取”与“不取”设全集UR，Ax|x1，Bx|xa1，UAx|x1xa0，xa，Bx|xa又BUA，a1，a1.忽略空集的情形导致错误已知集合Ax|x22x30，Bx|ax20，且BA，求实数a的值【错解】Ax|x22x301,3由于BA，因此B1或B3当B1时，由a(1)20，可得a2；当B3时，由a320，可得a.综上所述，实数a的值为2或.【错因分析】B为空集时，显然也满足已知条件解题时，需注意空集是任何一个集合的子集(这个“任何一个集合”当然也包含空集本身)，是任何非空集合的真子集【防范措施】根据“AB”条件，在求相关参数值时，不可忽视集合A可以为空集这个特殊情况，同时还要进行
23、检验，看是否满足元素的互异性【正解】Ax|x22x301,3当B时，由于BA，因此B1或B3当B1时，由a(1)20，可得a2；当B3时，由a320，可得a.当B时，ax20无解，可得a0.综上所述，实数a的值为2或或0.1正确地理解子集、真子集的概念：如果A是B的子集(即AB)，那么有A是B的真子集(AB)或A与B相等(AB)两种情况“AB”和“AB”二者必居其一反过来，A是B的真子集(AB)也可以说A是B的子集(AB)；AB也可以说成A是B的子集(AB)2用Venn图表达集合与集合之间的关系，直观、方便，尤其是抽象集合之间关系的问题，常用Venn图求解3全集为研究一个问题的所有元素的全体，
24、即该问题所涉及的元素的范围，是一个相对的概念，全集因问题的不同而异4补集与全集密不可分同一集合在不同全集下的补集是不同的，因而说集合的补集的前提是必须先明确全集，一个集合与它的补集是互为补集的关系，补集也是一种思想，是一种思考和处理问题的思维方式1已知全集U1,2,3,4,5,6,7，A2,4,5，则UA_.【解析】根据补集的定义，可知UA1,3,6,7【答案】1,3,6 ,72集合A0,1,2的真子集个数是_【解析】集合A0,1,2的真子集有，0，1，2，0,1，1,2，0,2共7个【答案】73设x、yR，A(x，y)|yx，B(x，y)|1，则A、B的关系是_【解析】B(x，y)|1(x，
25、y)|yx，且x0，故BA.【答案】BA4已知集合Ax|4x2，集合Bx|xa0(1)若AB，求a的取值范围；(2)若全集UR，且AUB，求a的取值范围【解】Ax|4x2，Bx|xa(1)由AB，结合数轴(如图所示)可知a的范围为a4.(2)UR，UBx|x2.一、填空题1下列命题中正确的个数为_(1)空集没有子集；(2)任何集合至少有两个子集；(3)空集是任何集合的真子集；(4)若A，则A.【解析】(1)不正确，；(2)不正确，只有一个子集；(3)不正确，没有真子集；(4)正确，理由同(3)【答案】12若全集UR，集合Ax|x1，则UA_.【解析】如图所示：UAx|x1【答案】x|x13设A
26、x|1x3，Bx|xa0，若AB，实数a的取值范围为_【解析】Bx|xa，AB，结合数轴可得a1.【答案】a14设Ax|1x2，Bx|xa，若AB则实数a的取值范围是_【解析】利用数轴易知应有a2.【答案】a25已知集合A1,3，a3，B1，a2，若BA，则实数a_.【解析】B A，a23或a2a3，解得a1或a1，由互异性舍去a1，a1.【答案】16设全集U1,2，x22，A1，x，则UA_.【解析】若x2，则x222，此时U1,2,2与互异性矛盾，不成立，所以x2.从而只能有xx22，解得x1或x2(舍去)当x1时，U1,2，1，A1，1，所以UA2【答案】27集合A0,1,2,3，且A中
27、的元素至少有一个奇数，这样的集合有_个【解析】含有一个元素时：1，3；含有两个元素时：0,1，1,2，0,3，2,3，1,3；含有三个元素时：0,1,2，0,1,3，0,2,3，1,2,3；含有四个元素时：0,1,2,3【答案】128(2013徐州高一检测)若非空集合Ax|2a1x3a5，Bx|x22，则能使ARB成立的所有a的集合是_【解析】Bx|x22，RBx|3x22又A且ARB，6a9.【答案】a|6a9二、解答题9已知aAa，b，c，求所有满足条件的集合A.【解】A中含有一个元素时，A为a，A中含有两个元素时，A为a，b，a，c，A中含有三个元素时，A为a，b，c所以满足条件的集合A为a，a，b，a，c，a，b，c10设U0,1,2,3，AxU|x2mx0，若UA1,2，求实数m的值【解】UA1,2，U0,1,2,3，A0,3，0,3是方程x2mx0的两根，m3.11设全集UR，Ax|3m1x2m，Bx|1x3，若AUB，求实数m的范围【解】由题意知，UBx|x3或x1，(1)若AUB，且A，则3m13或2m1，m或m.又A，3m12m，m1，即m.(2)若A，则3m12m，m1，综上所述：m或m1.(教师用书独具)若方程x2xa0至少有一个根为非负实数，求实数a的取值范围【思路探究】该题中“至少有一个根为非负实数”种类多，较复
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