1、模块综合测评(二)选修45(A版)(时间：90分钟满分：120分)第卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，共50分1设a、bR，下面的不等式能成立的是()Aa23abb2BabababC. Da2b22(ab1)解析：方法一：取a0，b1验证排除A、B，再取a4，b3时，可排除C，故选D.方法二：a2b22(ab1)a22a1b22b1(a1)2(b1)20.答案：D2若实数a、b满足ab2，则3a3b的最小值是()A18B6C2D2解析：3a3b2226.当且仅当3a3b，即ab1时等号成立答案：B3若x0，y0，且xy4，则下列不等式中恒成立的是()A. B.1C.2 D.解
2、析：x0，y0，xy2.又xy4，.答案：D4若a0，则使不等式|x4|x3|a在R上的解集不是空集的a的取值范围是()A0a1 Ba1Ca1 D以上均不对解析：因为函数y|x4|x3|的最小值为1，所以若|x4|x3|a的解集不是空集，需a1.答案：C5若a、b、x、yR，则是成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析：由知，xa与yb同号又由式，得(xa)(yb)0.从而xa0，yb0，即xa，且yb.故充分性成立若则于是故必要性亦成立答案：C6若实数x、y满足|tanx|tany|tanxtany|，且y，则|tanxtany|等于()Atanxt
3、any BtanytanxCtanxtany D|tany|tanx|解析：由|tanx|tany|tanxtany|，得tanx和tany异号，且y，得tany0，tanx0.故|tanxtany|tanytanx.答案：B7给出三个条件：ac2bc2；a2b2.其中能成为ab的充分条件的个数为()A0个 B1个 C2个 D3个解析：ac2bc2ab，而ab ac2bc2，故ac2bc2是ab的充分条件： ab，故不合题意；a2b2 ab，也不合题意，综上所述只有适合题意，故选B.答案：B8不等式|x1|x2|3的解集是()Ax|x1，或x2 Bx|1x2Cx|x0，或x3 Dx|0x3解析
4、：当x1时，原不等式可化为(x1)(x2)3，得x0.因此x0.当1x2时，原不等式可化为(x1)(x2)3，无解当x2时，原不等式可化为(x1)(x2)3，得x3.因此x3.综上所述，原不等式的解集是x|x0，或x3答案：C9设x0，y0，若P，Q，则P、Q的大小关系是()APQ BPQCPQ DPQ解析：x0，y0，PQ.答案：B10若abc，nN, 且恒成立，则n的最大值是()A2 B3 C4 D6解析：abc，且恒成立，于是n恒成立2224.n的最大值是4.答案：C第卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11若x0，a恒成立，则a的最小值是_解析：f(
5、x)(x0)，3x26，3x17.f(x)max.af(x)max，即a.答案：12已知a0，b0，a，b的等差中项是，且a，b，则的最小值是_解析：由已知得ab1.ab115，当且仅当ab时等号成立，故的最小值为5.答案：513若a，b，c，则a、b、c的大小顺序是_解析：ab8282，同理可比较得bc.答案：abc14要挖一个面积为432 m2的矩形养鱼池，周围两侧分别留出3 m,4 m的堤堰，要使占地总面积最小，此时养鱼池的长为_，宽为_解析：设养鱼池的长为x m，则宽为 m，占地面积为S，则S(x8)4806x4802768.当且仅当6x，即x24时，S有最小值答案：24 m18 m三
6、、解答题：本大题共4小题，满分50分15(12分)对R，不等式cos232mcos4m恒成立，求实数m的取值范围解：原不等式可化为cos22m(cos2)m(2cos)2cos2，m2cos4，(6分)于是只需m大于g()4的最大值即可2cos2，g()max42.m42.(12分)16(12分)已知a、b、cR，求证：3证明：a、b、cR，11133 3 33.当且仅当abc时等号成立(12分)17(12分)设a1，a2，an是1,2，n的一个排列，求证：.证明：设b1，b2，bn1是a1，a2，an1的一个排列，且b1b2bn1；c1，c2，cn1是a2，a3，an的一个排列，且c1c2c
7、n1，则，且b11，b22，bn1n1；c12，c23，cn1n.利用排序不等式有：.原不等式成立(12分)18(14分)设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1(n1,2,3，)(1)求a1、a2；(2)求数列an的通项公式解：(1)n1时，x2a1xa10有一根为S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1.当n2时，x2a2xa20有一根为S21a2，于是2a2a20，解得a2.(4分)(2)由题设，得(Sn1)2an(Sn1)an0，即S2Sn1anSn0.(*)当n2时，anSnSn1，代入(*)得Sn1Sn2Sn10.(*)由(1)知S1a1，S2a1a2.由(*)可得S3.由此猜想Sn，n1,2,3，(8分)下面用数学归纳法证明这个结论n1时已知结论成立假设nk时结论成立，即Sk.当nk1时，由(*)得Sk1，即Sk1，故nk1时结论也成立综上，由、可知，Sn对所有正整数n都成立于是当n2时，anSnSn1，又因为n1时，a1，所以an的通项公式为an，n1,2,3，(14分)6
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