1、第11讲数列求和及其综合应用 1. 掌握数列的求和方法：(1) 直接利用等差、等比数列求和公式；(2) 通过适当变形(构造)将未知数列转化为等差、等比数列，再用公式求和；(3) 根据数列特征，采用累加、累乘、错位相减、逆序相加等方法求和；(4) 通过分组、拆项、裂项等手段分别求和；(5) 在证明有关数列和的不等式时要能用放缩的思想来解题(如n(n1)n20，bn(nN*)，且bn是以q为公比的等比数列(1) 证明：an2anq2；(2) 若cna2n12a2n，证明：数列cn是等比数列；(3) 求和：.(解法1)(1) 证明：由q，有q, an2anq2(nN*) .(2) 证明： anan2
2、q2， a2n1a2n3q2a1q2n2，a2na2n2q2a2q2n2， cna2n12a2na1q2n22a2q2n2(a12a2)q2n25q2n2， cn是首项为5，以q2为公比的等比数列(3) 解：由(2)得q22n，q22n，于是()()(1).由题知q0，当q1时，n；当q1时，.故解法2: (1) 同解法1.(2) 证明：q2(nN*)，又c1a12a25， cn是首项为5，以q2为公比的等比数列(3) 解：由(2)的类似方法得a2n1a2n(a1a2)q2n23q2n2，. q2k2，k1，2，n, (1q2q4q2n2)(下面同解法1)题型四 数列求和的综合应用例4 将数列
3、an中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，构成的数列为bn，b1a11，Sn为数列bn的前n项和，且满足1(n2)(1) 证明：数列成等差数列，并求数列bn的通项公式；(2) 上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数，当a81时，求上表中第k(k3)行所有项的和(1) 证明：由已知，1，又bnSnSn1， 2(SnSn1)Sn(SnSn1)S，即2Sn12SnSnSn1.又S110， SnSn10， ， 数列成等差数列，且1(n1)，即Sn， bn(2)
4、解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q，且q0.因为121278，所以表中第1行至第12行共含有数列an的前78项，故a81在表中第13行第三列，因此a81b13q2.又b13，所以q2.记表中第k(k3)行所有项的和为S，则S(12k)(k3)1. (2014全国卷)等差数列an的公差为2，若a2、a4、a8成等比数列，则an的前n项和Sn_答案：n(n1)解析： 等差数列an的公差为2，且a2、a4、a8成等比数列， aa2a8，即(a16)2(a12)(a114)，解得a12，则an2n， Snn(n1)2. (2014福建卷)在等比数列an中，a23，a581. 若bnlog3an，
5、则数列bn的前n项和Sn_答案：解析：设an的公比为q，依题意得解得因为bnlog3ann1，所以数列bn的前n项和Sn.3. (2014全国卷)已知an是递增的等差数列，a2、a4是方程x25x60的根，则数列的前n项和为_答案：Sn2解析：方程x25x60的两根为2、3.由题意得a22，a43.设数列an的公差为d，则a4a22d，故d，从而得a1.所以an的通项公式为ann1.设的前n项和为Sn，由(1)知，则Sn，Sn，两式相减得Sn，所以Sn2.4. (2014安徽卷)如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC2，过点A作BC的垂线，垂足为A1；过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A
6、2作A1C的垂线，垂足为A3；依此类推，设BAa1，AA1a2，A1A2a3，A5A6a7，则a7_答案：5. (2014山东卷)在等差数列an中，已知公差d2，a2是a1与a4的等比中项(1) 求数列an的通项公式；(2) 设bna，记Tmb1b2b3b4(1)nbn，求Tn.解：(1) 由题意知，(a1d)2a1(a13d)，即(a12)2a1(a16)，解得a12.故数列an的通项公式为an2n.(2) 由题意知，bnan(n1)，所以Tn122334(1)nn(n1)因为bn1bn2(n1)，所以当n为偶数时，Tn(b1b2)(b3b4)(bn1bn)48122n，当n为奇数时，TnT
7、n1(bn)n(n1).所以Tn6. (2013江苏卷)设an是首项为a，公差为d的等差数列(d0)，Sn是其前n项和记bn，nN*，其中c为实数(1) 若c0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snkn2Sk(k，nN*)；(2) 若bn是等差数列，证明：c0.证明：由题设，Snnad.(1) 若c0，得bnad.当b1，b2，b4成等比数列，bb1b4，即a，得d22ad0.又d0，故d2a.由此Snn2a，所以Snk(nk)2an2k2an2Sk(k，nN*)(2) 设数列bn的公差是d1，则bnb1(n1)d1，即b1(n1)d1，nN*，代入Sn的表达式，整理得，对于所有的nN*，
8、有n3n2cd1nc(d1b1)令Ad1d，Bb1d1ad，Dc(d1b1)，则对所有的nN*，有An3Bn2cd1nD(*)在(*)式中分别取n1，2，3，4，得ABcd18A4B2cd127A9B3cd164A16B4cd1，从而有由、得A0，cd15B，代入方程，得B0，从而cd10，即d1d0，b1d1ad0，cd10.若d10，则由d1d0，得d0，与题设矛盾，所以d10.又cd10，所以c0.(本题模拟高考评分标准，满分16分)(2014南通二模)各项均为正数的数列an中，设Sna1a2an，Tn，且(2Sn)(1Tn)2，nN*.(1) 设bn2Sn，证明数列bn是等比数列；(2
9、) 设cnnan，求集合(m，k，r)|cmcr2ck，mkr，m，k，rN*解：(1) 当n1时，(2S1)(1T1)2，即(2a1)2，解得a11.(2分)由(2Sn)(1Tn)2，所以Tn1.当n2时，Tn11.，得(n2)，(4分)即(2Sn)(2Sn1)2(2Sn1)(2Sn)2，即bnbn12(bn1bn)2，所以.因为数列an的各项均为正数，所以数列2Sn单调递减，所以1，所以(n2)因为a11，所以b110，所以数列bn是等比数列(6分)(2) 由(1)知2Sn，所以an，即cn.由cmcr2ck，得2(*)又n2时，1，所以数列cn从第2项开始依次递减(8分)() 当m2时，
10、若km2，则2，(*)式不成立，所以km1，即km1.(10分)令rm1i(iN*)，则cr2ckcm，所以r2i1，即存在满足题设的数组(2i1i1，2i1i，2i1)(iN*)(13分)() 当m1时，若k2，则r不存在；若k3，则r4；若k4时，2，(*)式不成立综上所述，所求集合为(1，3，4)，(2i1i1，2i1i，2i1)(iN*)(16分)(注：列举出一组给2分，多于一组给3分)1. 两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且ab，则双曲线1的离心率e_答案：解析：由题有 或(舍)，e.2. 在等比数列an中，前n项和为Sn，若Sm，Sm2，Sm1成等差数列，则am，am2
11、，am1成等差数列(1) 写出这个命题的逆命题；(2) 判断逆命题是否为真，并给出证明解： (1)在等比数列an中，前n项和为Sn，若am，am2，am1成等差数列，则Sm，Sm2，Sm1成等差数列(2) 设数列an的首项为a1，公比为q.由题意知2am2amam1，即2a1qm1a1qm1a1qm. a10，q0, 2q2q10, q1或q.当q1时，有Smma1，Sm2(m2)a1，Sm1(m1)a1，显然2Sm2SmSm1，此时逆命题为假；当q时，有2Sm2a1，SmSm1a1，即2Sm2SmSm1，此时逆命题为真3. 已知等差数列an满足a3a6，a1a8，a1a8.(1) 求数列an
12、的通项公式；(2) 把数列an的第1项、第4项、第7项、第3n2项、分别作为数列bn的第1项、第2项、第3项、第n项、，求数列2bn的前n项之和；(3) 设数列cn的通项为cnn2bn，试比较(n1)(n2)cnn(n1)cn2与2n(n2)cn1的大小解： (1) 由题意知an为等差数列，a3a6a1a8.又a1a8，且a1a8，解得a11，a8，公差d， an1(n1)n(nN*)(2) b1a11，b2a40， bna3n2(3n2)n2， ， 2是首项为2，公比为的等比数列， 2的前n项之和为4.(3) cnn2， (n1)(n2)cnn(n1)cn22n(n2)cn1n(n1)(n2
13、)2n(n1)(n2)22n(n1)(n2)2n(n1)(n2)(2222)n(n1)(n2)2(1222)n(n1)(n2)2(122221)n(n1)(n2)2(11)0，其中bn2bn(n2)2(n2)2，bn1bn(n1)2(n2)1， (n1)(n2)cnn(n1)cn22n(n2)cn1.4. 已知数列an满足an2an12n1(n2)，且a481.(1) 求数列an的前三项a1，a2，a3；(2) 求证：数列为等差数列，并求an. (1) 解：由an2an12n1(n2)，得a42a324181， a333，同理a213，a15.(2) 证明：由an2an12n1(n2)，得1，
14、 1， 是等差数列. 的公差d1， (n1)1n1， an(n1)2n1.5. 已知二次函数yf(x)的图象经过坐标原点，其导函数为f(x)6x2，数列an的前n项和为Sn，点(n，Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图象上(1) 求数列an的通项公式；(2) 设bn，Tn是数列bn的前n项和，求使得Tn对所有nN*都成立的最小正整数m.解： (1) 设该二次函数f(x)ax2bx (a0)，则f(x)2axb，由于f(x)6x2，得a3，b2，所以f(x)3x22x.又点(n，Sn)(nN*)均在函数yf(x)的图象上，所以Sn3n22n.当n2时，anSnSn1(3n22n)3(n1)22(n1)6n5；当n1时，a1S13122615，所以an6n5 (nN*)(2) 由(1)得知bn，故Tnbi(1)()().因此，要使(nN*)成立的m，必须且仅须满足，即m10，所以满足要求的最小正整数m为10.- 9 -
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