1、选师无忧/达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线：400-612-5351 中考总复习：分式与二次根式中考总复习：分式与二次根式知识讲解（提高）知识讲解（提高） 【考纲要求】【考纲要求】 1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运 算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程； 2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二 次根式的运算 【知识网络】【知识网络】 选师无忧/达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线：400-612-
2、5351 【考点梳理】【考点梳理】 考点一、分式的有关概念及性质考点一、分式的有关概念及性质 1 1分式分式 设 A、B 表示两个整式如果 B 中含有字母，式子就叫做分式注意分母 B 的值不能为零，否则 分式没有意义. 2.2.分式的基本性质分式的基本性质 （M 为不等于零的整式）. 3 3最简分式最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点诠释：要点诠释： 分式的概念需注意的问题： (1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还 含有括号的作用； （2）分式中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，
3、但B中必须含有字母且不为 0； （3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断 （4）分式有无意义的条件：在分式中， 当B0 时，分式有意义；当分式有意义时，B0 当B=0 时，分式无意义；当分式无意义时，B=0 当B0 且A = 0 时，分式的值为零 考点二、分式的运算考点二、分式的运算 1 1基本运算法则基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算 = 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ； 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算. （2）乘法运算 两个分式相乘，把
4、分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 选师无忧/达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线：400-612-5351 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. （4）乘方运算 （分式乘方） 分式的乘方，把分子分母分别乘方 2 2零指数零指数 . 3 3负整数指数负整数指数 4 4分式的混合运算顺序分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的 5 5约分约分 把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分 约分需明确的问题： (1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前
5、后分式的值相等； (2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公 因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积 6 6通分通分 根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分 通分注意事项： (1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次 幂的积 (2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉 (3)确定最简公分母的方法： 最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； 最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的
6、积. 要点诠释：要点诠释： 分式运算的常用技巧 （1）顺序可加法：有些异分母式可加,最简公分母很复杂,如果采用先通分再可加的方法很繁琐. 如果先把两个分式相加减,把所得结果与第三个分式可加减,顺序运算下去,极为简便. (2)整体通分法：当整式与分式相加减时,一般情况下,常常把分母为 1 的整式看做一个整体进行通 分,依此方法计算,运算简便. (3)巧用裂项法：对于分子相同、分母是相邻两个连续整数的积的分式相加减，分式的项数是比较 多的，无法进行通分，因此，常用分式 111 (1)1n nnn 进行裂项. (4)分组运算法: 当有三个以上的异分母分式相加减时,可考虑分组,原则是使各组运算后的结果
7、能 出现分子为常数,且值相同或为倍数关系,这样才能使运算简便. 选师无忧/达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线：400-612-5351 (5)化简分式法：有些分式的分子、分母都异常时如果先通分，运算量很大.应先把每一个分别化 简，再相加减. （6）倒数法求值（取倒数法）. （7）活用分式变形求值. (8)设k求值法(参数法) (9)整体代换法. (10)消元代入法. 考点三、分式方程及其应用考点三、分式方程及其应用 1 1分式方程的概念分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程 2 2分式方程的解法分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将
8、分式方程转化为整式方程 3 3分式方程的增根问题分式方程的增根问题 (1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为 0 的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程 中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为 0，那么就会 出现不适合原方程的根-增根； (2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根验根的方法是将所得的根带 入到最简公分母中，看它是否为 0，如果为 0，即为增根，不为 0，就是原方程的解 4 4分式方程的应用分式方程的应用 列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些解题时应抓住“找 等量关系、恰当设未知数、确定
9、主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节， 从而正确列出方程，并进行求解另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释 结果的合理性 要点诠释：要点诠释： 解分式方程注意事项： （1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆； （2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为 0， 如果为 0，即为增根，不为 0，就是原方程的解 列分式方程解应用题的基本步骤： (1)审仔细审题，找出等量关系； (2)设合理设未知数； (3)列根据等量关系列出方程； (4)解解出方程； (5)验检验增根； (6)答答题 选师无忧/达分课 15 年教
10、育品牌 专业选师平台 免费咨询热线：400-612-5351 考点四、二次根式的主要性质考点四、二次根式的主要性质 1.0 (0)aa； 2. 2 (0)aa a； 3.； 2 (0) | (0) aa aa a a 4. 积的算术平方根的性质：；(00)abab ab与 5. 商的算术平方根的性质：.(00) aa ab b b 与 6.若，则.0abab 要点诠释：要点诠释： 与与的异同点： （1）不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数 a 的算术平方根的平方， 而表示一个实数 a 的平方的算术平方根；在中，而中 a 可以是正实数，0， 负实数但与都是非负数，即，因而它的运算的结果是有
11、差别 的， ，而 （2）相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义， 而. 考点五、二次根式的运算考点五、二次根式的运算 1 1二次根式的乘除运算二次根式的乘除运算 (1)运算结果应满足以下两个要求：应为最简二次根式或有理式；分母中不含根号. (2)注意知道每一步运算的算理； (3)乘法公式的推广： 123123123 (0000) nnn aaaaaaaaaaaaL LL LL L与与与与 2 2二次根式的加减运算二次根式的加减运算 先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质； 3 3二次根式的混合运算二次根式的混合运算 (1)对二次根式的混合运算首先要明确运
12、算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有 选师无忧/达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线：400-612-5351 括号，应先算括号里面的； (2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算 法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 要点诠释：要点诠释： 怎样快速准确地进行二次根式的混合运算. 1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的； 2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用； 3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的
13、解题途 径，往往能收到事半功倍的效果. (1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使 难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分， 达到化简的目的，但最后结果一定要化简. 例如，没有必要先对进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行 8 26 27 8 27 乘法运算，通过约分达到化简目的； 884 266262 3 27273 (2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用. 如：，利用了平方差公式. 22 3232321 所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化
14、. 4 4分母有理化分母有理化 把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们 的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式. 常用的二次根式的有理化因式： （1）互为有理化因式；aa与 （2）互为有理化因式；一般地互为有理化因式；abab与ac bac b与 （3）互为有理化因式；一般地互为有理化因式.abab与c ad bad b与c 【典型例题】【典型例题】 类型一、分式的意义类型一、分式的意义 1若分式 2 1 1 x x 的值为 0，则x的值等于 【答案】1； 【解析】由分式的值为零的条件得 2 x1=0，x+10， 由 2 x1=0，得x=
15、1 或x=1， 由x+10，得x1， x=1， 故答案为 1 【总结升华】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为 0；（2）分母不为 0这两个条件 选师无忧/达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线：400-612-5351 缺一不可 举一反三：举一反三： 【变式变式 1 1】如果分式 2 327 3 x x 的值为 0，则 x 的值应为 . 【答案】由分式的值为零的条件得 3x2-27=0 且 x-30， 由 3x2-27=0，得 3（x+3） （x-3）=0， x=-3 或 x=3， 由 x-30，得 x3 综上，得 x=-3，分式 2 327 3 x x 的值为 0
16、故答案为：-3 【高清课程名称：分式与二次根式 高清 ID 号：399347 关联的位置名称（播放点名称）：例 1】 【变式变式 2 2】若分式不论x取何实数总有意义，则m的取值范围是 mxx2 1 2 【答案】若分式不论x取何实数总有意义，则分母0， mxx2 1 2 2 2xxm 设，当0 即可，. 2 2yxxm440,1mm与与 答案 m1. 类型二、分式的性质类型二、分式的性质 2已知, bccaab abc 求 () abc abbcca 的值. 【答案与解析】 设 bccaab k abc , 所以,bcak cabk abck 所以,bccaabakbkck 所以2()(),(
17、)(2)0,abck abcabck 即2k 或()0,abc 当2k ,所求代数式 33 11 8 abc abckk , 当0abc,所求代数式1 . 选师无忧/达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线：400-612-5351 即所求代数式等于 1 8 或1. 【总结升华】当已知条件以此等式出现时，可用设k法求解. 举一反三：举一反三： 【变式变式】已知 111 111 111 , 6915abbcac 求 abc abbcac 的值. 【答案】 因为 111 111 111 , 6915abbcac 各式可加得 111111 2, 6915abc 所以 11131 180a
18、bc ， 所以 ()1180 . 111 ()()31 abcabcabc abbcacabbcacabc cab 类型三、分式的运算类型三、分式的运算 3已知1, xyz yzzxxy 且0 xyz,求 222 xyz yzxzxy 的值. 【答案与解析】 因为0 xyz, 所以原等式两边同时乘以xyz,得: ()() . x xyzy xyzz xyz xyz yzzxxy ） 即 222 ()()() , xx yzyy zxzz xy xyz yzyzzxzxxyxy 所以 222 (), xyz xyzxyz yzzxxy 所以 222 0. xyz yzzxxy 【总结升华】 条件
19、分式的求值，如需把已知条件或所示条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这 样才能到事半功倍的效果，条件分式的求值问题体现了整体的数学思想和转化的数学思想. 举一反三：举一反三： 选师无忧/达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线：400-612-5351 【变式变式 1 1】已知且abco,求 111 abc abc 的值., xyz abc yzxzxy 【答案】 由已知得 1 , yz ax 所以 1 11, yzxyz axx 即 1axyz ax , 所以 1 ax axyz , 同理, 11 bycz bxyz cxyz 所以1 111 abcxyzxyz abcxyzx
20、yzxyzxyz . 【高清课程名称：分式与二次根式 高清 ID 号：399347 关联的位置名称（播放点名称）：例 2】 【变式变式 2 2】已知xy=4，xy=12，求的值 1 1 x y 1 1 y x 【答案】原式= = ) 1)(1( ) 1() 1( 22 yx xy 1 1212 22 yxxy xxyy 1)( 2)(22)( 2 yxxy yxxyyx 将xy4，xy12 代入上式， 原式 15 34 1412 2)4(224)4( 2 类型四、分式方程及应用类型四、分式方程及应用 4a何值时,关于x的方程 2 23 242 ax xxx 会产生增根? 【答案与解析】 方程两
21、边都乘以(2)(2)xx,得2(2)3(2).xaxx 整理得(1)10ax . 当a = 1 时,方程无解. 当1a 时, 10 1 x a . 选师无忧/达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线：400-612-5351 如果方程有增根,那么(2)(2)0 xx,即2x 或2x . 当2x 时, 10 2 1a ,所以4a ; 当2x 时, 10 2 1a ,所以a = 6 . 所以当4a 或a = 6 原方程会产生增根. 【总结升华】 因为所给方程的增根只能是2x 或2x ，所以应先解所给的关于x的分式方程，求 出其根，然后求a的值. 5甲乙两人准备整理一批新到的实验器材若甲
22、单独整理需要 40 分钟完工：若甲乙 共同整 理 20 分钟后，乙需再单独整理 20 分钟才能完工 （1）问乙单独整理多少分钟完工？ （2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过 30 分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？ 【答案与解析】 （1）设乙单独整理x分钟完工，根据题意得： 1 2020 40 20 x 解得x80， 经检验x80 是原分式方程的解 答：乙单独整理 80 分钟完工 （2）设甲整理y分钟完工，根据题意，得 1 4080 30 y 解得：y25 答：甲至少整理 25 分钟完工 【总结升华】分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键此题等量关系比 较多，主要用到
23、公式：工作总量工作效率工作时间 （1）将总的工作量看作单位 1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可； （2）设甲整理y分钟完工，根据整理时间不超过 30 分钟，列出一次不等式解之即可 举一反三：举一反三： 【变式变式】小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是 25 千米，但交通比较拥堵， 路线二的全程是 30 千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高 80%，因此能比走路线一 少用 10 分钟到达若设走路线一时的平均速度为 x 千米/小时，根据题意，得（ ） A 00 253010 (1 8060 xx ） B 00 2530 10 (1 80 xx ） C 00
24、302510 (1 8060 xx ） D 00 3025 10 (1 80 xx ） 【答案】 设走路线一时的平均速度为x千米/小时， 选师无忧/达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线：400-612-5351 00 253010 (1 8060 xx ） 故选 A 类型五、二次根式的定义及性质类型五、二次根式的定义及性质 6要使式子 a a2 有意义，则 a 的取值范围为 【答案】a2 且 a0 【解析】根据题意得：a+20 且 寵搁怀(憭痑匀癖耀癄痑讀缁缀満嶺怀怀倀椀嬂儃儃儃鄃氀钚饞琀瑞倀挀挀戀戀搀搀搀戀搀昀最椀昀氀钚饞琀瑞倀尀尀搀戀攀挀攀攀愀昀戀攀渀焀渀猀吀椀戀堀匀欀爀渀
25、夀眀甀攀樀戀儀琀吀一愀砀攀最一吀嘀樀瀀砀唀夀昀焀吀漀猀挀倀儀氀钚饞琀瑞搀搀戀戀昀挀挀昀戀愀挀搀J栀夀寸寽寽u寽挀挀漀甀渀琀椀渀最甀搀椀琀瘀趑稀刀匀夀娀礀渀稀一稀搀琀伀砀戀樀伀圀洀欀堀樀一昀吀刀栀堀夀唀洀栀娀甀愀一甀氀钚饞澟偧沖琀瑞氀钚饞澟偧沖琀瑞氀钚饞澟偧沖琀瑞啶啶0膑膑紀退萀癀d$!a胔-倀噇h縃市刃刃刃鈃縀呶琀瑞倀攀戀攀挀搀戀挀戀戀攀攀戀挀攀昀昀愀最椀昀縀呶琀瑞倀尀尀愀愀攀攀挀戀攀挀搀一渀搀樀猀椀伀挀堀瀀瘀礀漀琀椀甀匀倀匀礀椀挀砀匀渀樀搀眀搀礀漀圀儀琀瑞敔搀挀昀昀搀攀挀昀戀挀搀愀栀寶寶一寶u甀寳挀挀漀甀渀琀椀渀最甀搀椀琀瘀趑一栀唀圀倀砀堀瘀伀氀昀椀爀稀稀瘀吀椀眀樀樀琀倀戀礀吀嘀吀伀匀刀砀堀
26、洀刀伀愀甀欀睎繭呶偧沖睎繭呶偧沖琀瑞琀瑞睎繭呶偧沖琀瑞啶啶膑鸀退萀癀d!a胔-倀嚘h縃市刃刃刃鈃膏琀瑞倀昀攀搀戀挀搀昀愀昀挀挀戀挀最椀昀膏琀瑞倀尀尀愀愀愀攀愀搀愀昀挀夀匀昀礀倀戀焀欀瘀稀猀娀稀砀昀攀樀琀堀洀洀猀焀樀甀圀唀爀挀氀樀愀欀眀膏琀瑞攀搀愀昀攀挀攀戀攀J栀猀寳琀寳伀寶u寽挀挀漀甀渀琀椀渀最甀搀椀琀瘀趑漀洀愀欀挀圀搀愀漀昀椀嘀氀爀唀堀琀稀樀栀礀瘀吀甀娀欀吀娀娀倀瘀伀嘀堀樀椀琀甀搀膏偧沖膏偧沖伀一一一伀吀伀一一一伀吀琀瑞琀瑞谀%N瑎歓豥%N瑎歓膏偧沖琀瑞唀啟艎膑氓舀甀寽頀6瀀圧瘀&萀虶艓楙橭痿衰兯灦葎罦葯剶葠葲ff荹圠葛v蝎d穎鋿色Y絵葔絔葙細酶炂喞蹿絙酶蹓炂貐葱虒荎魧葒聿聿炂傞睎蒍穦杦葡葎
27、畟罰w聿聿翿睎躁躁忿躁繛絵葔聿荧惿蕧蒉荧惿楗葭楶荧惿牗概葾葿穙瑎形葏襙罱頰葥聿岀蝏乜硎葢鉏葟蒀镥籿葮l牎瀀扒鱮蒂葞卙笀煎癜艿酙葎究饺熄牜桦虎穦罺勿鲃虎瑎腵桜魑k獎筓虗葓睶华厐蚐齓嫿襙呬巿筎鑎俿暛汞盿坱煓滿劙虢剬验忿轎皖汭癢杦坢蒄汱榚力橦葘q熖忿傁蒖W橎譞癢癢蝓豠葶鞃襟葱齢獔捘捫葫紀恱f葚籶腓媉緿恱鍦鍭腓睙緿恱f炖腓塟恏压烿絵葔迿鉥迿e葎罟p靿饟翿罏鵺葓鞉瓿蒉卝卭僿蒉蒉葓偧徐偧僿蒉葓徐蒉敓蒀譶彎偗蒉敓蒀譶彎獵僿卜华葾偳蒉幼獎葞衎繦蒐煶偟娀董嫿董嫿董齢舀鱙蒖悐葏陮苿鱙恧葎熖恎葏絵虔繎苿鱙恧葓惿恎葏繎苿鱙恧豝蹛悋葏葷芀罎恎O葙鰀汕扎g蒀鋿饢o抑覍蒀炁兜煥癓楣蒀熎膖彞楠慭癓扒蒀譥蒐健P蒖蒏剦葦橎鞋咀卷
28、公蚏葢虎葢匰_乏睗!(匀讀缁缀耀簀愂頀h鐀椀猂餃餃餃蜰鍥兞蜠捥獎当眀攀渀欀甀渀攀琀开挀漀洀砠砀鉏偧沖晒搀漀挀瀀椀挀最椀昀蜰鍥兞蜠捥獎当眀攀渀欀甀渀攀琀开挀漀洀砠砀鉏偧沖晒搀漀挀尀尀搀搀攀搀戀昀攀愀愀愀愀攀昀昀戀攀氀漀椀圀栀伀樀圀刀猀最愀儀礀娀堀伀娀礀倀眀最最攀琀漀甀伀洀圀倀眀最蜀鍥蜀捥猀开眀攀渀欀甀渀攀琀开挀漀洀砀砀鉏偧沖晒愀挀挀昀戀愀攀戀搀愀昀昀戀o栀-蝜屝X騀n=胔-剜a)棙i缀$【文库网文档分享平台_wenkunet_com】创业计划书_旧书租赁买卖.PDFpic1.gif【文库网文档分享平台_wenkunet_com】创业计划书_旧书租赁买卖.PDF2018-624228a5f64-e
29、faf-475f-84e0-5ec3246d4c8d/fgcrPXBkNzttTbDaI8FiALWCD6aNdRGzVmohiTZN66r0/EximRajw=文库,文档,分享,平台,_wenkunet_com,创业,计划书,旧书,租赁,买卖2d6f3dcf8193cac44f8336618b8007b8刘岱文0002000002工作计划20180624064005825726?0壢(鐀讀缁缀簀愂頀h鐀椀錂范范范范褃鴃蜰鍥兞蜠捥獎当眀攀渀欀甀渀攀琀开挀漀洀晒倀瀀椀挀最椀昀蜰鍥兞蜠捥獎当眀攀渀欀甀渀攀琀开挀漀洀晒倀尀尀愀攀攀戀愀搀昀愀挀挀搀昀搀搀搀昀瀀愀吀匀瘀栀攀爀昀搀砀伀焀一儀猀甀栀洀椀欀夀
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