1、第四讲数列求跟【套路秘籍】-始于足下始于足下1.分组求跟：把一个数列分成几多个可以开门见山求跟的数列；2.裂项相消：偶尔把一个数列的通项公式分成二项差的方法，相加过程消去中间项，只剩有限项再求跟；3.错位相减：有用于一个等差数列跟一个等比数列对应项相乘构成的数列求跟；4.倒序相加：如等差数列前n项跟公式的推导方法5.并项求跟法：一个数列的前n项跟中，可两两结合求解，那么称之为并项求跟【修炼套路】-为君聊赋往日诗，努力请从往日始考向一裂项相消【例1】已经清楚数列an的首项a11，Sn是数列an的前n项跟，且称心2(Sn1)(n3)an.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列bn称心bn，记数列
2、bn的前n项跟为Tn，求证：Tn3.【套路总结】解题思路：第一步定通项公式：即按照已经清楚条件求出数列的通项公式；第二步巧裂项：即按照通项公式特色准确裂项，将其表示为两项之差的方法；第三步消项求跟：即控制消项的法那么，准确求跟.使用特色：1.分式：分母可以写成两个因式相乘2.检验：检验是否可以裂项分母中两个因式：a=揣摸a是不是为常数，假设是那么可以裂项，裂成稀有方法：(1)；(2)；(3)；(4).【举一反三】1.已经清楚各项根本上正数的数列an的前n项跟为Sn，且2Snaan，数列bn称心b1，2bn1bn.(1)求数列an，bn的通项公式；(2)设数列cn称心cn，求c1c2cn的跟2.
3、设数列an的前n项跟为Sn，对任意的正整数n，都有an5Sn1成破，bn1log2|an|，数列bn的前n项跟为Tn，cn.(1)求数列an的通项公式；(2)求数列cn的前n项跟An，并求出An的最值.考向二错位相减【例2】公差不为0的等差数列an的前n项跟为Sn，已经清楚S410，且a1，a3，a9成等比数列.(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项跟Tn.【套路总结】使用条件：等差数列x等比数列或者或者一次函数x指数函数或者等差数列的通项公式为关于n的一次函数，等比数列的通项公式是指数函数解题三步伐：前n项跟Sn=-qSn=.-掉掉落：中间肯定会用到等比数列的求跟公式解题思路：第一步：
4、巧拆分：即按照通项公式分析为等差数列跟等比数列乘积的方法；第二步判定等差、等比数列的通项公式；第三步构差式：即写出的表达式，然后单方同时乘以等比数列的公比掉掉落不的一个式子，两式作差；第四步求跟：按照差式的特色准确求跟.【举一反三】1设等比数列an的前n项跟为Sn，已经清楚a1=2，且4S2,3S3,2S5成等差数列1求数列an的通项公式；2假设数列an2bn是首项为1，公差为2的等差数列，求数列bn的前n项跟Tn2已经清楚数列an是各项均为正数的等比数列，其前n项跟为Sn，点An、Bn均在函数f(x)=log2x的图象上，An的横坐标为an，Bn的横坐标为Sn+1，直线AnBn的歪率为kn.
5、假设k1=1，k2=12，那么数列anf(an)的前n项跟Tn=_考向三奇偶并项求跟【例3】已经清楚正项数列an的前n项跟为Sn，a1=1，Sn=an2-Sn-1(n2，nN*)1求证：数列an为等差数列；2记bn=2a2n-1，求数列bn的前n项跟Rn；3记cn=(-1)nan2，求数列cn的前2n项跟T2n【举一反三】1已经清楚数列中，且.1揣摸数列是否为等比数列，并说明因由；2事前，求数列的前2020项跟.4已经清楚数列an的前n项跟Sn=n2-2kn(kN*)，Sn的最小值为-91判定k的值，并求数列an的通项公式；2设bn=-1nan，求数列bn的前2n+1项跟T2n+1考向四分组求
6、跟【例4】.已经清楚数列an的前n项跟为Sn，且1，an，Sn成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)假设数列bn称心anbn12nan，求数列bn的前n项跟Tn.【套路总结】解题思路：第一步定通项公式：即按照已经清楚条件求出数列的通项公式；第二步巧拆分：即按照通项公式特色，将其分析为几多个可以开门见山求跟的数列；第三步分不求跟：即分不求出各个数列的跟；第四步组合：即把拆分后每个数列的求跟停顿组合，可求得原数列的跟.【举一反三】1.已经清楚数列an称心an1an4n3(nN*)(1)假设数列an是等差数列，求a1的值；(2)当a12时，求数列an的前n项跟Sn.2.已经清楚等差数列an的
7、前n项跟为Sn，且称心S424，S763.(1)求数列an的通项公式；(2)假设bn2an(1)nan，求数列bn的前n项跟Tn.3等差数列an的前n项跟为Sn，数列bn是等比数列，称心a13，b11，b2S210，a52b2a3.(1)求数列an跟bn的通项公式；(2)令cn设数列cn的前n项跟为Tn，求T2n.【使用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1.已经清楚数列an称心an0，a1，anan12anan1，nN*.(1)求证：是等差数列，并求出数列an的通项公式；(2)假设数列bn称心bn，求数列bn的前n项跟Tn.2.已经清楚数列an的前n项跟Sn，nN*.(1)求数列an的通项
8、公式；(2)设bn2an(1)nan，求数列bn的前2n项跟3.已经清楚等差数列an的首项为a，公差为d，nN*，且不等式ax23x20的解集为(1，d)(1)求数列an的通项公式an；(2)假设bn3anan1，nN*，求数列bn的前n项跟Tn.4已经清楚函数f(x)=log3(ax+b)的图像经过点A(2,1)跟B(5,2)，an=an+b，nN*.1求an；2设数列an的前n项跟为Sn，b=2n+2Sn，求bn的前n项跟Tn.5已经清楚等比数列的各项为正数，且，数列的前项跟为，且.1求的通项公式；2求数列的前项跟.6已经清楚正项数列an的前n项跟为Sn，且a1=1，Sn+1+Sn=an+
9、12，数列bn称心bnbn+1=2an，且b1=2I求数列an，bn的通项公式；II令cn=anb2n+-1n3n-2，求数列cn的前n项跟Tn。7已经清楚等差数列an为递增数列，且a2，a4是方程x2+2x-3=0的两根.数列bn的前n项跟为Sn，且称心2Sn+bn=1.1求an，bn的通项公式；2设数列cn的前n项跟为Tn，且cn=(-1)nan+bn，求T2n.8设等比数列ann=1,2,3,的前n项跟为Sn，假设公比q=2，且a1，a2+1，a3成等差数列.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=an2-1Sn，数列bn的前n项跟为Tn，求Tn。9已经清楚数列为等比数列，是跟的等差中
10、项.1求数列的通项公式；2设，求数列的前项跟.10在等差数列an中，a1+a3=6，a9=17.1求数列an的通项公式；2设bn=(-1)n-1an，求数列bn的前100项跟S100.11已经清楚等差数列an的前n项的跟为Sn，S9=117,a7=19.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn=1anan+1，求Tn=b1+b2+bn；(3)设cx=lgax，x表示不逾越x的最大年夜整数，求cx的前1000项的跟.12已经清楚数列an称心tSn=n2-12n，其中第3讲 函数的奇偶性【套路秘籍】-始于足下始于足下函数的奇偶性奇偶性定义图象特征偶函数一般地，假设关于函数f(x)的定义域内任意一个
11、x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，假设关于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称【修炼套路】-为君聊赋往日诗，努力请从往日始考向一奇偶性的揣摸【例1】揣摸以下函数的奇偶性：1f(x)(1x)；(2)f(x)(3)f(x).4f(x)；【答案】看法析【分析】(1)当且仅当0时函数有意思，因此1x0时，x0，f(x)x22x1f(x)，当x0，f(x)x22x1f(x)因此f(x)f(x)，即函数f(x)是奇函数(3)解法一：由于2x2且x0，因此函数的定义域关于原点对称因此f(x)，又f(x)
12、，因此f(x)f(x)，即函数f(x)是奇函数解法二：求得函数f(x)的定义域为2,0)(0,2化简函数f(x)，可得f(x)，由y1x是奇函数，y2是偶函数，可得f(x)为奇函数4由得x23，解得x，即函数f(x)的定义域为，从而f(x)0.因此f(x)f(x)且f(x)f(x)，函数f(x)既是奇函数又是偶函数.【套路总结】一、揣摸函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数存在奇偶性的需要不充分条件，因此起首考虑定义域；(2)揣摸f(x)与f(x)是否存在等量关系在揣摸奇偶性的运算中，可以转化为揣摸奇偶性的等价关系式f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)
13、0(偶函数)是否成破2、 揣摸函数奇偶性的方法1定义法：使用奇、偶函数的定义或定义的等价方法：1(f(x)0)揣摸函数的奇偶性2图象法：使用函数图象的对称性揣摸函数的奇偶性3验证法：即揣摸f(x)f(x)是否为0.4性质法：设f(x)，g(x)的定义域分不是D1，D2，那么在它们的大年夜众定义域上，有下面结论：【举一反三】1.揣摸以下函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)；(3)f(x)【答案】看法析【分析】(1)由得x236，解得x6，即函数f(x)的定义域为6,6，关于原点对称，f(x)0.f(x)f(x)且f(x)f(x)，函数f(x)既是奇函数又是偶函数(2)由得定义域为(1,0
14、)(0,1)，关于原点对称x20，|x2|2x，f(x).又f(x)f(x)，函数f(x)为奇函数(3)显然函数f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称当x0，那么f(x)(x)2xx2xf(x)；当x0时，x0时，x0时f(x)=2x-1x，那么f(-1)=_【答案】-1【分析】函数fx是奇函数，f-1=-f1=-2-1=-1，故答案为：-12.已经清楚函数f(x)是定义在(-,+)上的偶函数.当x(-,0)时，f(x)=x-x4，那么当x(0,+)时，f(x)=_.【答案】-x-x4【分析】设x0，+，那么x，0，当x，0时，fxxx4，fxxx4，又fx是定义在，+上的偶函数，f
15、xfxxx4，故答案为：-x-x43已经清楚fx是偶函数，当x0时，fx=。【答案】x(x-1)【分析】设x0，那么-x0时，f(x)x2ax1a，假设函数f(x)为R上的减函数，那么a的取值范围是_4已经清楚函数fx=x3+ax2+x是定义在-1+b,2b+7上的奇函数，那么a+b=_.【答案】122131,04-2【分析】1解法一：函数的定义域为x|x0，f(x)xa2.因函数f(x)是奇函数，那么f(x)f(x)，即xa2x(a2)，那么a2(a2)，即a20，那么a2.解法二：由题意知f(1)f(1)，即3(a1)a1，得a2，将a2代入f(x)的分析式，得f(x)，经检验，对任意x(
16、，0)(0，)，都称心f(x)f(x)，故a2.2f(x)f(x)，xln(x)xln(x)，ln()2x20.lna0，a1.(3)由于函数f(x)是R上的奇函数，因此f(0)0，假设函数f(x)为R上的减函数，那么称心当x0时，函数为减函数，且1a0，现在即即1a0.4由题意得，a=0-1+b+2b+7=0，解得a=0b=-2，a+b=-2.故答案为：-2【举一反三】1.假设f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，那么a_.【答案】【分析】函数f(x)ln(e3x1)ax是偶函数，故f(x)f(x)，即ln(e3x1)axln(e3x1)ax，化简得ln2axlne2ax，即e2ax，拾掇得
17、e3x1e2ax3x(e3x1)，因此2ax3x0恒成破，因此a.2假设函数f(x)=log3(9x+1)+kxkR为偶函数，那么k的值为_【答案】-1【分析】按照题意，函数f(x)=log3(9x+1)+kxkR为偶函数，那么有fxfx，即log39x+1+kxlog39x+1+kx，变形可得：2kxlog39x+1log39x+12x，那么有k1；故答案为：13已经清楚fx=a-1x3+bx2是定义在b，2+b上的偶函数，那么a+b等于_【答案】0【分析】按照题意，已经清楚fx=a-1x3+bx2是定义在b，2+b上的偶函数，有b+2+b=0，解可得b=-1，那么fx=a-1x3-x2，假
18、设fx为-1，1上的偶函数，那么有f-x=fx，即a-1-x3-x2=a-1x3-x2，分析可得：a=1，那么a+b=0；故答案为：0考向五单调性与奇偶性综合使用【例4】(1)已经清楚定义在R上的偶函数f(x)在0，)上单调递增，假设f(lnx)f(2x1)成破的x的取值范围为_3已经清楚函数f(x)=ax2+(a+2)x+a2为偶函数，那么不等式(x-2)f(x)0的解集为。【答案】1(e2，e2)23(-2,2)(2,+)【分析】1按照题意知，f(x)为偶函数且在0，)上单调递增，那么f(lnx)f(2)|lnx|2，即2lnx2，解得e2xf(2x1)，可得f(|x|)f(|2x1|)当
19、x0时，f(x)ln(1x)，由于yln(1x)与y在(0，)上都单调递增，因此函数f(x)在(0，)上单调递增由f(|x|)f(|2x1|)，可得|x|2x1|，单方平方可得x2(2x1)2，拾掇得3x24x10，解得x1.因此符合题意的x的取值范围为.3函数f(x)=ax2+(a+2)x+a2为偶函数，a+2=0，得a=-2，f(x)=-2x2+4，不等式(x-2)f(x)0可转化为x-20或x-20f(x)0，即x0或x2-2x2+40，解得-2x2.综上，原不等式的解集为(-2,2)(2,+).【套路总结】函数奇偶性的五个要紧结论(1)假设一个奇函数f(x)在x0处有定义，即f(0)有
20、意思，那么肯定有f(0)0.(2)假设函数f(x)是偶函数，那么f(x)f(|x|)(3)既是奇函数又是偶函数的函数只需一种类型，即f(x)0，xD，其中定义域D是关于原点对称的非空数集(4)奇函数在两个对称的区间上存在一样的单调性；偶函数在两个对称的区间上存在相反的单调性(5)偶函数在关于原点对称的区间上有一样的最大年夜(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数【举一反三】1已经清楚定义域为R的偶函数f(x)在(，0上是减函数，且f(1)2，那么不等式f(log2x)2的解集为_【答案】(2，)【分析】f(x)是R上的偶函
21、数，且在(，0上是减函数，因此f(x)在0，)上是增函数，因此f(log2x)2f(1)f(|log2x|)f(1)|log2x|1log2x1或log2x2或0x.2已经清楚函数f(x)sinxx，对任意的m2,2，f(mx2)f(x)0恒成破，那么x的取值范围为_【答案】【分析】易知f(x)在R上为单调递增函数，且f(x)为奇函数，故f(mx2)f(x)0等价于f(mx2)f(x)f(x)，那么mx2x，即mxx20对所有m2,2恒成破，令h(m)mxx2，m2,2，现在，只需即可，解得2x.3函数f(x)是奇函数，且在（0，+）内是增函数，f(-3)=0，那么不等式xf(x)0的解集为。
22、【答案】（-3,0）（0,3）【分析】fx在R上是奇函数，且fx在0，+上是增函数，fx在，0上也是增函数，由f-30，得f3f30，即f30，作出fx的草图，如以下列图：由图象，得xfx0fx0或x0解得0x3或3x0，xfx0的解集为：3，00，3.【使用套路】-纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1以下函数中，既是偶函数又在区间(1,2)内单调递减的是()Af(x)Bf(x)Cf(x)2x2xDf(x)cosx【答案】B【分析】函数f(x)是偶函数，且在(1,2)内单调递减，符合题意2已经清楚f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2xm，那么f(2)等于()A3BC.D3【答案】A【
23、分析】由f(x)为R上的奇函数，知f(0)0，即f(0)20m0，解得m1，那么f(2)f(2)(221)3.3.以下函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()AyByxCy2xDyxex【答案】D【分析】易知y与y2x是偶函数，yx是奇函数应选D.4已经清楚函数f(x)是奇函数，当x0时，f(x)lnx，那么f的值为_【答案】ln2【分析】由已经清楚可得fln2，因此ff(2)又由于f(x)是奇函数，因此ff(2)f(2)ln2.5已经清楚yf(x)是定义在R上的奇函数，那么以下函数中为奇函数的是_(填序号)yf(|x|)；yf(x)；yxf(x)；yf(x)x.【答案】【分析】由奇函数的定
24、义f(x)f(x)验证，f(|x|)f(|x|)，为偶函数；f(x)f(x)f(x)，为奇函数；xf(x)xf(x)xf(x)，为偶函数；f(x)(x)f(x)x，为奇函数可知精确6已经清楚f(x)为定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)2xm，那么f(2)_.【答案】3【分析】由f(x)为R上的奇函数，知f(0)0，即f(0)20m0，解得m1，那么f(2)f(2)(221)3.7函数f(x)为_函数(填“奇或“偶)【答案】奇【分析】f(x)的定义域为R(关于原点对称)(1)当x0时，x0，f(x)f(0)0，f(x)f(0)0，f(x)f(x)；(2)当x0时，x0，f(x)(x)22(x
25、)3(x22x3)f(x)；(3)当x0，f(x)(x)22(x)3(x22x3)f(x)由(1)(2)(3)可知，当xR时，都有f(x)f(x)，f(x)为奇函数8已经清楚fx是R上的偶函数，且当x0时fx=x1-x，那么当x0时fx的分析式是fx=。【答案】-x(x+1)【分析】fx是R上的偶函数；f-x=fx；设x0，-x0，那么：f-x=-x1+x=fx；x0时fx的分析式是fx=-x1+x9已经清楚f(x+1)为定义在R上的奇函数，且当x1时，f(x)=lnx+m，那么实数m=。【答案】0【分析】由于f(x+1)为定义在R上的奇函数，因此f(-x+1)=-f(x+1)，令x=0，f(
26、1)=-f(1),即f(1)=0,又当x1时，f(x)=lnx+m，因此ln1+m=0，m=0.10假设函数f(x)=x22x-2a-x是奇函数，那么f(a-1)=。【答案】-23【分析】由f(-x)=-f(x)得2a(2x+2-x)=2x+2-x，a=0，f(a-1)=f(-1)=-23，11已经清楚函数f(x)=ex,令a=f(sin34),b=f(2-3),c=f(log123)，那么a,b,c的大小关系为。【答案】bac【分析】fx定义域为R且f-x=e-x=ex=fxfx为R上的偶函数当x0时，fx=ex，那么fx在0,+上单调递增a=fsin34=f22=f428；b=f2-3=f
27、18；c=flog123=f-log23=flog230184281f428f18，即cab12已经清楚函数fx=1-22x+1，当x0时，不等式fax2+x+f1-ex0恒成破，那么实数a的取值范围是。【答案】(-,12【分析】易知fx=1-22x+1单调递增，fx=1-22x+1=2x-12x+1，那么f-x=2-x-12-x+1=1-2x2x+1=- fx，故fx为奇函数，当x0时，不等式fax2+x+f1-ex0恒成破等价为fax2+x-f1-ex即fax2+xfex-1恒成破，故ax2+xex-1在x0时恒成破当x=0时，00恒成破，aR当x0时，aex-1-xx2,设gx=ex-1
28、-xx2,那么gx=x+2+exx-2x3设hx= x+2+exx-2,hx=exx-1+1,hx=xex0,那么hx单增，又h1=0，那么当0x1,hx1,hx0,故hxh1=0，即gx0，故gx单调递增，当x0,gx12,故a12，综上a1213已经清楚f(x)是定义在2b,1-b上的偶函数，且在2b,0上为增函数，那么f(x-1)f(2x)的解集为。【答案】-1,13【分析】fx是定义在2b，1-b上的偶函数，2b+1-b=0，b=-1，fx在2b，0上为增函数，函数fx在-2，0上为增函数，故函数fx在0，2上为减函数，那么由fx-1f2x，可得x-12x，即x-124x2，求得-1x
29、13由于定义域为-2,2，因此-2x-12-22x2，解得-1x3-1x1综上，-1x1314已经清楚函数fx是定义在R上的奇函数，当x0时，不等式fx0时，f(x)log2x.(1)求f(x)的分析式；(2)解关于x的不等式f(x)12.【答案】1f(x)=log2x(x0)0(x=0)-log2(-x)(x0)0x=0-log2-x(x0)2由1得不等式f(x)12可化为x0时，log2x12，解得0x2x0时，012，称心条件，x0时，-log2-x12，解得x-22，综上所述原不等式的解集为-,-220,2.20.已经清楚函数f(x)ax2，其中aR.讨论函数f(x)的奇偶性，并证明你
30、的结论【答案】看法析【分析】方法一f(x)的定义域为(，0)(0，)假设f(x)为奇函数，那么f(x)f(x)恒成破，即ax2ax2，得2ax20恒成破，因此a0；假设f(x)为偶函数，那么f(x)f(x)恒成破，即ax2ax2，得0，这是不可以的综上所述，当a0时，f(x)为奇函数；当a0时，f(x)为非奇非偶函数方法二f(x)的定义域为(，0)(0，)当a0时，f(x)，f(x)f(x)，现在f(x)为奇函数；当a0时，f(1)a1，f(1)a1，那么f(1)f(1)且f(1)f(1)，因此f(x)是非奇非偶函数21.已经清楚函数f(x).(1)当ab1时，求称心f(x)3x的x的取值聚拢；(2)假设函数f(x)是定义在R上的奇函数，存在tR，
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