1、理学院应用物理系专业实验指导书实验二 由X射线衍射谱计算陶瓷材料的晶格常数1895年，德国医生兼教授伦琴（R. W. C. Roentgen）发现X射线（X-rays）。1901年，伦琴因X射线的发现获得了第一届诺贝尔物理学奖。1912年德国物理学家劳厄（M.von Laue）提出一个重要的科学预见：晶体可以作为X射线的空间衍射光栅，即当一束 X射线通过晶体时将发生衍射，衍射波叠加的结果使射线的强度在某些方向上加强，在其他方向上减弱。分析在照相底片上得到的衍射花样，便可确定晶体结构。这一预见随即为实验所验证。1913年英国物理学家布拉格父子（W. H. Bragg and W. L. Brag
2、g）在劳厄发现的基础上，不仅成功地测定了NaCl、KCl等的晶体结构，并提出了作为晶体衍射基础的著名公式 布拉格定律。1913年后，X射线衍射现象在晶体学领域得到迅速发展。它很快被应用于研究金属、合金和无机化合物的晶体结构，出现了许多具有重大意义的结果。被广泛地应用于物相分析、结构分析、精密测定点阵参数、单晶和多晶的取向分析、晶粒大小和微观应力的测定、宏观应力的测定、以及对晶体结构的不完整性分析等。一、实验目的 （1）了解单晶和多晶粉末的X射线衍射技术的原理和方法。 （2）学会用Materials Studio软件处理粉末X射线衍射谱，并计算钙钛矿型陶瓷材料的晶格点阵常数、晶面所对应的Mill
3、er指数、及晶面间距。对结构进行鉴定。二、实验原理 1单晶体的X射线衍射（XRD）和布拉格公式 （1）X射线衍射德国物理学家劳厄首先提出，晶体通过它的三维点阵结构可以使X射线产生衍射。晶体由原子组成，当X射线射入晶体时，由于X射线是电磁波，在晶体中产生周期性变化的电磁波，迫使原子中的电子和原子核随其周期性振动。一般原子核的核质比要比电子小的多，在讨论这种振动时，可将原子核的振动略去。振动着的电子就成了一个发射新的电磁波的波源，以球面波的方式往四面八方散发出频率相同的电磁波，入射X射线虽按一定的方向射入晶体，但和晶体中的电子发生作用后，就由电子向各个方向发射射线，因此X射线进入晶体后的一部分改变
4、了方向，往四面八方散发，这种现象叫散射。在原子系统中，所有电子的散射波都可以近似看成由原子中心发出，所以原子是散射波的中心。原子散射X射线的能力和原子中所含电子数目成正比，电子越多，散射能力越强。由于晶体中原子排列的周期性，周期排列使散射波中心发出的相干散射波将互相干涉、互相叠加，因而在某一方向得到加强的现象称为衍射。而最大程度加强的方向称为衍射方向。X射线照到晶体上产生的衍射花样除与X射线有关外，主要是受晶体结构的影响，晶体结构与衍射花样之间有一定的内在联系，通过衍射花样的分析就能测定晶体结构、并研究与结构相关的一系列问题，衍射线束的方向由晶胞的形状、大小决定，衍射线束的强度由晶胞中原子的位
5、置和种类决定。衍射线束的方向可以用布拉格定律来描述。在引入倒易点阵后，还能用衍射矢量方程来进行描述。 （2）布拉格公式1912年英国物理学家布拉格父子从X射线被原子反射的观点出发，提出了非常重要和实用的布拉格定律。首先考虑一层原子面上散射X射线的干涉。如图1.1（a）所示，当X射线以角入射到原子面并以角散射时，相距为a的两原子散射X射线的光程差为 （1.1）根据光的干涉原理，当光程差等于波长的整数倍（n）时，在角散射方向干涉加强。假定原子面上所有原子的散射线同相位，即光程差 = 0，从式（1.1）可得 = 。也就是说，当入射角与散射角相等时，一层原子面上所有的散射波干涉将会加强。与可见光的反射
6、定律相似，X射线从一层原子面呈镜面反射的方向，就是散射线干涉加强的方向。因此，常将这种散射称为晶面反射。入射线反射线a(a)入射线反射线aDACBd(b)图1.1 布拉格定律的推证。 （a）一个原子的反射；（2）多层原子面的反射。X射线有强的穿透能力，在X射线的作用下晶体的散射线来自若干层原子面，除同一层原子面的散射线相互干涉外，各原子面的散射线之间还要相互干涉。假定原子面之间的间距为d，现用图1.1（b）讨论原子面间散射波的干涉加强条件。这里需要讨论两相邻原子面的散射波的干涉即可。过D点分别向入射线和反射线作垂线，则AD之前和CD之后两束射线的光程相同，它们的光程差为 = AB + BC =
7、 2dsin。当光程差等于波长的整数倍时，相邻原子面散射波加强，既干涉加强条件为 (1.2)上式称为布拉格定律或布拉格方程。式中d为晶面间距；为入射线、反射线与反射晶面之间的交角，称掠射角或布拉格角，而2为入射线与反射线之间的夹角，称衍射角；n为整数，称反射级数；为入射线波长。这个公式把衍射方向、平面点阵族的间距d和X射线的波长联系起来了。当波长一定时，对指定的某一族平面点阵（hkl）来说，n数值不同，衍射的方向也不同，n = 1，2，3，相应的衍射角为1，2，3，而n = 1，2，3等衍射分别为一级、二级、三级衍射。为了区分不同的衍射方向，可将式（1.2）改写为 (1.3)由于带有公因子n的
8、平面指标（nh nk nl）是一组和（hkl）平行的平面，相邻的两个平面的间距dnh nk nl）和相邻两个晶面的间距dhkl）的关系为 （1.4）将此式代入上式，得 （1.5）这样由（hkl）晶面的n级反射，可以看成由面间距为dhkl/n的（nh nk nl）晶面的1级反射，（hkl）与（nh nk nl）面互相平行。面间距为dnh nk nl）的晶面不一定是晶体中的原子面，而是为了简化布拉格公式而引入的反射面，常将它称为干涉面。为了简化起见，我们将平面族指标（nh nk nl）改用衍射指标hkl，衍射指标hkl不加括号，晶面指标（hkl）带有括号；衍射指标不要求互质，可以有公因子，晶面指标
9、要互质，不可以有公因子；在数值上衍射指标为晶面指标的n倍。例如晶面（110）由于它和入射X射线的取向不同，可以产生衍射指标为110，220，330，等衍射。在X射线晶体学中，现在通用的布拉格定律的表达式为 （1.6）式中：hkl为衍射指标。X射线在晶体中的衍射，实质上是晶体中各原子相干散射波之间相互干涉的结果。但因衍射线的方向恰好相当于原子面对入射线的反射，故可用布拉格定律代表反射规律来描述衍射线束的方向。在许多有关X射线衍射的讨论中，常用“反射”这个术语来描述衍射问题，或者将“反射”和“衍射”作为同义词混合使用但应强调指出，X射线从原子面的反射和可见光的镜面反射不同，前者是选择的反射，其选择
10、条件为布拉格定律；而一束可见光以任意角度投射到镜面上时都可以产生反射，反射不受条件限制。因此，将X射线的晶面反射称为选择反射，反射之所以有选择性，是晶体内若干原子面反射线干涉的结果。布拉格定律是X射线在晶体中产生衍射所必须满足的基本条件，它反映了衍射方向与晶体结构的关系。该定律巧妙的将便于测量的宏观量与微观量d，联系起来。通过的测定，在已知的情况下可以得到d，反之亦然。因此，布拉格定律是X射线衍射分析中非常重要的定律。由布拉格定律2dsin = n可知，sin = n/2d，因sin 1，故 (n) / 2d 1。为使物理意义更清楚，先考虑n = 1（即1级反射）的情况，此时/2 d，这就是能
11、产生衍射的限制条件。它说明用波长为的X射线照射晶体时，晶体中只有面间距d /2的晶体才能产生衍射。从布拉格定律2dsin = n可以看出，波长选定后，衍射线束的方向是晶面间距d的函数。如将立方、正方、斜方晶系的面间距公式代入布拉格公式，并进行平方后得到立方系 （1.7）正方系 （1.8）斜方晶 （1.9）由此可以看出，波长选定后，不同晶系或同一晶系但晶胞大小不同的晶体，其衍射线束的方向不同。因此研究衍射线束的方向，可以确定晶胞的形状大小。从上述三式还能看出，衍射线束的方向与原子在晶胞中的位置和种类有关，也就是说，仅测定射线束的方向是无法确定原子种类和在晶胞中的位置的，只有通过衍射线束强度的研究
12、，才能解决问题。 （3）衍射线强度由晶体中各个晶面所产生的衍射强度常有很大的差异。各条衍射线的强度不仅确定晶体中原子排列所必须的依据，而且在X射线物相分析时也是不可缺少的数据。衍射线的强度可以由其绝对值或相对值来表示。衍射线的绝对强度即是它的能量，但测量绝对值不仅困难，而且通常没有必要。相对衍射强度通常系指同一衍射图样中各衍射线强度之比。由于入射的X射线不是严格平行的光束，而是有一定发散度的光束；晶体也非严整的格子，而常是由不严整的平行的镶嵌晶块构成的。因此，某一组晶面“反射”X射线不是沿严格角方向，而是在与角相接近的一个小的角度范围内。衍射线的强度分布如图1.2所示，“反射”的总能量即积分强
13、度，与曲线下的面积成比例。21B222强 度图1.2 衍射线强度的分布曲线。前已指出，晶胞的大小和形状，决定晶体的衍射方向；而原子在晶胞中的位置，则决定衍射线的强度，为了求一个晶体的衍射强度，必须求属于这个晶体的所有电子相干散射波的组合。一个晶体可以看成若干个晶胞周期排列而成，而一个晶胞又由一些原子组成，原子则由原子核和绕核运动的电子组成。因此，可以从一个电子、一个原子和一个晶胞的散射强度入手，然后将所有晶胞的散射波合成起来，就能求出一个具体的衍射强度。可以证明，在衍射hkl中，通过晶胞原点的衍射波与通过第j个原子的衍射波的周相差为 。 若晶胞中有n个原子，每一个原子散射波的振幅分别为f1,
14、f2, fi,fn，各原子的散射波与入射波的相位差分别为1，2，,i, ,n.这n个原子的散射波相互叠加形成复合波，若用指数形式可得： （1.10）即 （1.11）Fhkl称为衍射hkl的结构因子，其模量Fhkl称为结构振幅。Fhkl数值的物理意义可用下式表达：Fhkl=一个晶胞内全部原子散射波的振幅一个电子散射波的振幅结构因子包含两方面数据：结构振幅Fhkl和相角hkl，其关系为 （1.12）结构因子的这一关系在复数平面上的表示如图1.3（a）所示。由晶胞中各个原子散射波叠加成结构因子的图示如图1.3（b）所示。图1.3 结构因子在复数平面上的表示法。（a）结构因子的复数表示；（2）晶胞中各
15、原子散射波的叠加。实轴O(a)hklFsin虚轴FcosFhklFhklhklF4iB4F3iB3F2iB2f2A2f1A1f4A4f3A31=0234(b)由于，因此 （1.13） （1.14） （1.15） （1.16）衍射hkl的衍射强度Ihkl正比于|Fhkl|2，若结构因子用复数表示，衍射强度Ihkl正比于Fhkl（=+i）和它的共轭复数（=i）的乘积， （1.17）从上述公式可知，结构因子Fhkl是由晶体结构决定的，即由晶胞中原子的种类和原子的位置决定，原子的种类由i 表示，原子的位置由xj、yj、zj表示。 （4）结构因子的计算与点阵消光规律利用式（1.11），以下计算四种基本类
16、型点阵的结构因子，并从中总结出点阵消光规律。A. 简单点阵每个单位晶胞中只有一个原子，其坐标为000，原子的散射因数为，由式（1.11）可得结果表明，对简单点阵无论hkl取什么值，F都等于，即不等于零，故所有晶面都能产生衍射。B. 底心点阵每个晶胞中有2个同类原子，其坐标分别为000， 0，原子散射因数为，其结构因数为 = 当偶数时，=1，故F=2；当奇数时，= -1，故F=0 。所得结果说明，底心点阵能否产生衍射，取决于h、k是奇数还是偶数。如h和k全为奇或全为偶，则偶数，这种晶面有衍射鼾声。如h和k为一奇一偶，奇数，则这种晶面无衍射产生。是否有衍射不受影响。C. 体心点阵每个警报有2个同类
17、原子，其坐标为000，原子散射因数为，其结构因数为=当偶数时，F=2；当奇数时，F=0 。所得结果说明，对体心点阵来说，只有为偶数的晶面才能产生衍射。D. 面心点阵每个晶胞中有四个同类原子，其坐标为000，0，0，0，原子散射因数为，其结构因数为 =当为同性指数时，、和全为偶数，；当为异性指数时，则、和中总有两项为奇数，一项为偶数，F = 0 。以上计算说明，在面心点阵中，只有为全奇或全偶数的晶面才能产生衍射。 2多晶粉末的X射线衍射在上述一个小晶体衍射强度的基础上，再讨论以下粉末法衍射线的积分强度。衍射强度理论证明，多晶体衍射环单位弧长上的积分强度由下式决定： （1.18）式中，为入射X射线
18、强度；为入射X射线波长（0.1mm）；R为由试样到照相底片上衍射环间的距离（cm）；e，m分别为电子的电荷与质量；c为光速；V为试样被入射X射线所照射的体积，对于多晶物质，它相当于产生衍射线的相分（）；v为单位晶胞的体积（）；为结构因子；为多重性因子；为角因子，它由偏振因子和考虑衍射几何特征而引入的洛伦兹因子相乘而得，故又称洛伦兹偏振因子；为温度因子；为吸收因子。下面简述一下影响多晶衍射强度的几种因子。（1）多重性因子晶体中面间距相等的晶面称为等同晶面。根据布拉格方程，在多晶体衍射中，等同晶面的衍射线将分布在同一个圆锥面上，因为这些晶面对应的衍射角都相等。多晶体某衍射环的强度与参与衍射的晶粒数
19、成正比，因此，在其他条件相同的情况下，多晶体中某种晶面的等同晶面数目愈多，这种晶面获得衍射的概率就愈大，对应的衍射线也必然愈强。这一影响在强度公式（1.18）中是以多重性因子的形式出现的。显然，在其他条件相同的情况下，多丛性因子越大，则参与衍射的晶粒数越多，或者说，每一晶粒参与衍射的概率越多。例如立方晶系的100反射，它可能由粉末试样中某些晶粒的（100）面反射产生，也可能由另一些取向的经理的（010）、（001）、（00）、（00）、（00）面反射产生，因它们的面间距相同，故衍射线形成同一衍射圆锥。同样对111反射，因111有八组面间距相同的晶面组，部分晶粒的取向使（111）处于反射位置，而
20、另一些晶粒的取向使其他七组晶面处于反射位置，这些反射也构成同一衍射圆锥。因此，111面族中的晶面，其取向处于反射位置的概率为100面族的3/4，故在其他条件相同的情况，111反射的强度为100反射强度的4/3倍。表1.1中列出了各晶系各面族的多重性因子表1.1 各晶系各晶面族的多重性因子 指数P晶系立方6812642412848菱方和六方642224正方16斜方2224842单斜42三斜2（2）温度因子在前面的讨论中，认为原子位置固定，实际上由于热振动原子在其平衡位置不断地振动，这种振动在绝对零度也存在；温度越高时振动越大。由于原子偏离理想位置，以致在满足布拉格条件下由相邻原子面散射的X射线程
21、差并不刚好等于，使衍射线强度减弱。根据计算，如果有热振动时X射线衍射强度为，无热振动时为I，则 （1.19）即 （1.20）式中：为绝对零度时的原子散射因子，温度越高，越小；为校正原子散射因子的温度因数，它由德拜提出后经沃勒校正，故称德拜因子或德拜沃勒（DebyeWaller）因子。为校正衍射线强度的温度因子。2M与其他物理量间存在以下关系： （1.21）式中：为普朗克常量；为相对原子质量；为玻尔兹曼常量；问特征温度的平均值（为固体弹性振动的最大频率）；，T为绝对温度；为德拜函数，且，其中（为固体弹性振动频率）。各种金属的特征温度和不同值时的德拜函数可查得，故2M可以计算。如果为原子中心对其平
22、衡位置在垂直于反射晶面方向位移平方的平均值（均方偏离），则 （1.22）而 （1.23）由上式看出，当反射晶面的面间距越小或衍射级数越大时，温度因子的影响也越大。也就是说，在一定温度下当掠射角越大时，由于热振动使衍射强度的降低也越大。（3）吸收因子在多晶衍射时，哟于试样本身对X射线的吸收作用会造成衍射线强度的衰减。如果用和分别代表试样有吸收和无吸收时的衍射强度，则 （1.24）式中：称吸收因子。图1.4 圆柱试样吸收示意图。入射线背射衍射线r透射衍射线图1.4表示X射线穿过吸收系数大的圆柱状试样时，入射线和衍射线被吸收的情况。因试样的吸收系数大，则入射线透过试样时大部分被吸收，只有表面绘有阴影
23、的那一小部分参与衍射，同时衍射线也经过比较强烈的吸收。因透射衍射线束在试样中经过的路程长，故强度衰减很厉害，而背衍射射线束在试样中经过的路程短，强度衰减比较小。由疤(芏匀讀缁蜰H缀窢鐀刀椀霂椃漐猀蹑罢玕葒搀漀挀搀挀搀昀愀昀愀挀戀最椀昀猀蹑罢玕葒搀漀挀尀尀搀愀昀攀挀愀戀戀攀昀攀愀戀攀琀儀倀夀氀樀刀瀀倀琀最洀焀匀瀀嘀琀唀甀昀氀挀甀砀最瀀栀爀搀愀伀儀猀蹑罢猀捷攀攀昀攀攀搀昀攀搀挀戀挀挀猀蹑罢玕葒啔輀汷葓啓諿斍詧葙剶璗塞罝睢沍獓汎貏啓葜魎魒塥汾啓敞鱥豭魒葒忿罢扥敞虧葥颋擿蚖塎葝聶墏葏驺筽当靦膑虎玐猰Q剠璗塞罢蒕蝶豓豒剛璗塞驺攰罢沏啓氰魎邍熕噔0啟罢玕獧譑鱎艷氀豙魎邍熕噔豒罢玕撏祫屝摜祫屝屏汎剓璗塞筗罢
24、蒕罶屝NR啟劏璗塞敝驺罢劚璗塞葏驺豠剔幟罢玕葒豒鉞墏斏靑g蕞豭屝扥衾獎豬罢玕顎呛汼鹓絒厏豛鹑蕒撏祫屝鹬谀鉞葥慶蕞萠慧琀屝豾襱啧潧綂葙屝鮀捎叿鞃N瑎汞霰畨豓捔覃蒊塶筟羘鉞蕞鑎鉦葟鉞鐠靔屝蕞g鈠鈠萠慧琀蕞斏汑葓塶聾鞀襏灎荥葙铿獰獬鞕塏蕞萠扥衾豒獔Q癛钐荳癒扥蒗貖屝扥癛捵湫葸挰湫葸蕷豟颕捵湫葸S啟屝钐屝荳皏聑叿鈠潎屭补捣豫鈠萠腹豧婔蕞映恛屝扥顣蕞鼠葒v啟汔魎邍琀蕞斏汑葓塶琀腔葬蕞谠鈠盿虒鼰蒐驢鉞猠汢魎邍汵啟聜啻虓蒑鉞鉞繥驻罢玕佲暋滿驸捛鉞獟盿杣佱憋杫鉞獟|琀鉞捫R殗饘罢玕鹒桥瘰汎煥N捎葞晶恛盿N捎葞晶恛琀鉞葥奶昰婑晑扎璗骒撁祫R啟睥啔墏青捫啟鉞滿驸鉞猠蕞屝豏扥衾塥獝豟氀灞貋蛿喏顓硣譑譗譎盿汗蕓氀魎邍瑫罢玕
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