1、 (C) s必可由b，g，a 线性表示. (D) g必可由b，a，s 线性表示.设3阶方阵A有特征值0，1，1，其对应的特征向量为P1，P2，P3，令P(P1，P2，P3)，则P1AP B .(A)； (B) ； (C) ；(D) 设1，2，3线性无关，则下列向量组线性相关的是 D （A）1，2，3 - 1； （B）1，1+2，1+3；（C）1+2，2+3，3+1； （D）1-2，2-3，3-1.若矩阵有一个3阶子式不为0，则 C . （A）()=1； （B） ()=2； （C） ()=3；（D） ()=4 实二次型fxAx为正定的充分必要条件是 A (A) A的特征值全大于零； (B) A的
2、负惯性指数为零； (C) |A| 0 ； (D) R(A) = n. 三、解答题（共5小题，每道题8分，满分40分）1.求的值解：. 求向量组,的一个极大无关组，并把其余的向量用该极大无关组线性表出.解：极大无关组， ，.设A、P均为3阶矩阵，且若P=(1,2,3),Q=(1+2,2,3),求QTAQ解：由于Q=(1+2,2,3)= (1,2,3) 于是QTAQ=4设是阶实对称矩阵，若，求.解: 由知, 的特征值-2或0,又,且是阶实对称矩阵,则(k个-2)，故5.设矩阵相似于对角矩阵L，求a.解： 由|A-E|=0，得A的三个特征值1=2=6，3= -2.由于A相似于对角矩阵，R（A-6E）
3、=1，即，显然，当a=0时，R（A-6E）=1，A的二重特征值6对应两个线性无关的特征向量 四、（本题满分10分）对线性方程组(1) 若两两不等，问方程组是否有解，为什么？(2)若, (b0)，且已知方程的两个解, ，试给出方程组的通解解：（1）因为，故，无解（2），故通解五、（本题满分8分）设二次曲面的方程）经正交变换，化成，求、的值及正交矩阵Q.解：设，由知当时，当时，故正交阵.六、（本题满分6分）设A为n阶实矩阵，为A的对应于实特征值的特征向量，为AT的对应于实特征值的特征向量，且，证明与正交证 ：依题意得A=， AT=，将A=的两边转置得，TAT =T，在上式的两边右乘得，TAT =T
4、，即T=T，亦即（-）T=0，由于，所以T=0，故与正交线性代数考试练习题带答案说明：本卷中，AT表示方阵A的转置钜阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1设，则=（）A-49B-7C7D492设A为3阶方阵，且，则（）A-32B-8C8D323设A，B为n阶方阵，且AT=-A，BT=B，则下列命题正确的是（）A（A+B）T=A+BB（AB）T=-ABCA2是对称矩阵DB2+A是对称阵4设A，B，X，Y都是n阶方阵，则下面等式正确的是（）A若A2=0，则A=0B（AB）2=A2B2C若AX=AY，则X=Y
5、D若A+X=B，则X=B-A5设矩阵A=，则秩（A）=（）A1B2C3D46若方程组仅有零解，则k=（）A-2B-1C0D27实数向量空间V=（x1，x2，x3）|x1 +x3=0的维数是（）A0B1C2D38若方程组有无穷多解，则=（）A1B2C3D49设A=，则下列矩阵中与A相似的是（）ABCD10设实二次型，则f（）A正定B不定C负定D半正定二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11设A=(-1,1,2)T，B=(0,2,3)T,则|ABT|=_.12设三阶矩阵，其中为A的列向量，且|A|=2，则_.13设，且秩(A)=3，
6、则a,b,c应满足_.14矩阵的逆矩阵是_.15三元方程x1+x3=1的通解是_.16已知A相似于，则|A-E|=_.17矩阵的特征值是_.18与矩阵相似的对角矩阵是_.19设A相似于，则A4_.20二次型f(x1,x2,x3)=x1x2-x1x3+x2x3的矩阵是_.三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）21计算4阶行列式D=.22设A=，而X满足AX+E=A2+X，求X.23求向量组：的秩，并给出该向量组的一个极大无关组，同时将其余的向量表示成该极大无关组的线性组合.24当为何值时，齐次方程组有非零解？并求其全部非零解.25已知1,1,-1是三阶实对称矩阵A的三个特征值，向量、
7、是A的对应于的特征向量，求A的属于的特征向量.26求正交变换Y=PX，化二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-2x2x3为标准形.四、证明题（本大题6分）27设线性无关，证明也线性无关.线性代数考试练习题带答案说明：在本卷中，AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E表示单位矩阵。 表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设3阶方阵A的行列式为2，则( )A.-1 B. C.D.12.设则方程的根的个数为（ ）A.0 B.1 C.2D.33.设A为n阶方阵，将A的第1列与第2列交换得到方阵B，若则必有（
8、 ）A.B. C. D. 4.设A,B是任意的n阶方阵，下列命题中正确的是（ ）A.B.C.D.5.设其中则矩阵A的秩为（ ）A.0B.1C.2D.36.设6阶方阵A的秩为4，则A的伴随矩阵A*的秩为（ ）A.0B.2C.3D.47.设向量=（1，-2，3）与=（2，k，6）正交，则数k为（ ）A.-10B.-4C.3D.108.已知线性方程组无解，则数a=( )A.B.0C.D.19.设3阶方阵A的特征多项式为则( )A.-18B.-6C.6D.1810.若3阶实对称矩阵是正定矩阵，则A的3个特征值可能为（ ）A.-1，-2，-3B.-1，-2，3C.-1，2，3D.1，2，3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）11.设行列式其第3行各元素的代数余子式之和为_.12.设则_.13.设A是43矩阵且则_.14.向量组（1，2）,（2，3）（3，4）的秩为_.15.设线性无关的向量组1，
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