1、第 一 章 3 理解教材新知 把握热 点考向 应用创新演练 考点一 考点二 考点三 1问题：在今天商品大战中，广告成了电视节目中 的一道美丽的风景线，几乎所有的广告商都熟谙这样的 命题变换艺术如宣传某种食品，其广告词为：“拥有的 人们都幸福，幸福的人们都拥有”该广告词实际说明了 什么？ 提示：说的是“不拥有的人们不幸福” 2已知正整数a，b，c满足a2b2c2.求证：a，b， c不可能都是奇数 问题1：你能利用综合法和分析法给出证明吗？ 提示：不能 问题2：a，b，c不可能都是奇数的反面是什么？此时 ，还满足条件a2b2c2吗？ 提示：a，b，c都是奇数此时不满足条件a2b2c2. 1反证法的
2、定义 在证明数学命题时，先假定 成立， 在这个前提下，若推出的结果与 、 、 相 矛盾，或与命题中的 相矛盾，或与 相矛 盾，从而断定 不可能成立，由此断定 成立，这种证明方法叫作反证法 命题结论的反面 定义公理定理 已知条件 假定 命题的反面 命题 的结论 2反证法的证题步骤 (1)作出 的假设； (2)进行推理， ； (3) ，肯定结论 否定结论 导出矛盾 否定假设 1反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达 到肯定命题结论的目的 2可能出现矛盾的四种情况：(1)与题设矛盾；(2)与 假定矛盾；(3)与公理、定理或已被证明了的结论矛盾； (4)在证明过程中，推出自相矛盾的结论 思路点拨
3、此题为否定形式的命题，可选用反证法 ，证题关键是利用等差中项、等比中项 一点通 (1)对于这类“否定”型命题，显然从正面证明需要证明 的情况太多，不但过程繁琐，而且容易遗漏，故可以考虑 采用反证法一般地，当题目中含有“不可能”“都不”“没 有”等否定性词语时，宜采用反证法证明 (2)反证法证明“肯定”型命题适宜于结论的反面比原结 论更具体更容易研究和掌握的命题 2已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数 证明：假设a不是偶数，则a为奇数 设a2m1(m为整数)，则a24m24m1. 4(m2m)是偶数， 4m24m1为奇数，即a2为奇数，与已知矛盾 a一定是偶数. 例2 求证函数f(x)2x
4、1有且只有一个零点 思路点拨 一般先证存在性，再用反证法证唯一性 一点通 (1)结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形 式出现的“唯一”型命题，由于反设结论易于导出矛盾，所 以用反证法证明简单而又明了 (2)“有且只有”的含义有两层存在性：本题中只需 找到函数f(x)2x1的一个零点即可唯一性：正面直 接证明较为困难，故可采用反证法寻求矛盾，从而证明原 命题的正确性 3过平面上一点A，作直线a，求证：a是唯一的 证明：假设a不是唯一的，则过点A至少还有一条直线b满 足b. a，b是相交直线，a，b可以确定一个平面. 设和相交于过点A的直线c. a，b，ac，bc，又abA，c. 这
5、与c 矛盾 故过点A垂直于平面的直线有且只有一条，即a是唯 一的 4用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直线b 与已知直线a平行 证明：假设过点A还有一条直线b与已知直线a平行， 即bbA，ba. 因为ba，由平行公理知bb. 这与假设bbA矛盾，所以过直线外一点只有一条直 线与已知直线平行. 精解详析 假设a，b，c都不大于0，即a0，b0， c0. 所以abc0. 而abc 一点通 (1)对于否定性命题或结论中出现“至多”“至少”“不可能” 等字样时，常用反证法 (2)常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表： 原结论词至少有一个至多有 一个 至少有 n个 至多有n个 反设词一个也没
6、有 (不存在) 至少有 两个 至多有 n1个 至少有n1个 6用反证法证明：若函数f(x)在区间a，b上是增函数， 则方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实根 证明：假设方程f(x)0在区间a，b上至少有两个实根， 不妨设，为其两个实根，且，则f()f()0. 因为函数f(x)在区间a，b上是增函数，又， 所以f()f()，这与假设f()f()0相矛盾 所以方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实根 用反证法证题要把握三点： (1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能， 要逐一论证，缺少任何一种可能，证明都是不完全的 (2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条 件进行论证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行 论证，就不是反证法 (3)推导出来的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有 的与假设矛盾，有的与定理、公理相矛盾，但推导出的矛盾 必须是明显的
个人主页
