1、自主探究是方程建模解决实际问题的有效途径-实际问题与一元一次方程（商品销售）的教学尝试武汉初级中学 刘 欣【课例背景提出】2010年11月24日-26日到保康县进行交流，授课内容：新人教版义务教育课程标准实验教科书数学七年级上册第三章3.4节，实际问题与一元一次方程（商品销售）：探究1：某商店在某一时间内以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25，另一件亏损25，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？本节课是在学生已学习了由实际问题抽象出一元一次方程模型和解一元一次方程的一般步骤的基础上,进一步以“探究”的形式讨论如何用一元一次方程解决实际问题。方程的建模思想学生还是初步接触，寻
2、找相等关系建立方程对学生来说仍很困难。【课例描述】活动1 多媒体展示节假日商场商品促销的场景，然后提问：师：我按每件40元的批发价购进一种服装,按标价是60元出售，那么我可以赚多少元?生：20元.师：这里40元叫进价，60元叫售价，20元叫利润，那么利润、进价、售价之间有怎样的关系？生：利润=售价进价.师：(板书：利润=售价进价)如果为了促销，我打8折卖出这件服装,那么我可以赚多少元?生：8元.师：你是怎么算的？生：60乘以80%等于48，再减去40就得8.师：很好，打八折销售就是标价乘以80%后出售.(板书：打八折销售：标价80%=售价)另一种服装批发价每件100元,可按108元卖出,你认为
3、我应该卖那种服装?为什么?生1：卖哪种都一样，因为卖一件都赚8元.生2：应该卖前一种，因为虽然卖一件都赚8元，但是前一种进价便宜，一样的钱可以多进几件，就可以多赚点钱.师：答得非常好。其实我们把利润与进价的比叫利润率(板书：利润率=(售价进价)/进价)，那么卖这两种服装的利润率分别是多少？生：卖前一种服装的利润率是20%，卖后一种服装的利润率是8%.师：回答得非常好。这节课我们就来探究如何利用一元一次方程解决商品销售问题。 通过上面的问题让学生归纳销售问题中进价、标价、利润、利润率之间的几个重要关系式，为探究1的学习作铺垫，突破难点。活动2 多媒体显示探究1： 某商店在某一时间内以每件60元的
4、价格卖出两件衣服，其中一件盈利25，另一件亏损25，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？师：“盈利”、“亏损” 的含义是什么？生：“盈利”就是赚钱， “亏损”就是赔钱。师：对！要知道究竟是盈利还是亏损，那么必须先知道什么？生：必需计算出每件衣服的进价。师：很好，我们能不能估算一下？（思考片刻）生1：亏了。生2：不亏不盈。师：你们估算得对不对，要通过具体的数学计算才能判断,下面我们分组算一算。学生分组讨论，寻找等量关系，建立方程模型，解决实际问题：(1) 学生自主探索，寻找已知量与未知量之间的关系，确定相等关系。(2) 学生分组，根据找出的相等关系列出方程，其中一组计算盈利25%的衣服
5、的进价，另一组计算亏损25%的衣服的进价。(3) 师生互动：两件衣服的进价和为_；两件衣服的售价和为_；由于进价_售价，由此可知两件衣服的盈亏情况。这里采用讨论交流，自主探究的教学方法；让学生讨论盈利和亏损的含义，理解其概念，建立感性认识；让学生估算，乍一看，大多数学生可能在大体估算后得到不亏不盈，直觉上也是如此，但要解决实际问题，还要知其进价（未知量），从这一分析引入未知量，建立方程模型，解决问题。学生分组、计算盈亏；教师参与、适当提示；师生互动、得到决策。这样设计，让学生体会到合作交流、互相评价、互相尊重的学习方式，有利于学生知识的形成与发展，也有利于学生健康人格的养成。这样设计易于突出重
6、点，突破难点，巩固应用一元一次方程作工具来解决实际问题的方法，让学生从已有的经验中、活动中，有意识地构建自己的知识结构，获得富有成效的学习体验。活动3 练一练武汉某琴行同时卖出两台钢琴，每台售价为960元。其中一台盈利20%，另一台亏损20%。这次琴行是盈利还是亏损，或是不盈不亏？学生演板，巩固已学知识，提出问题：这类问题是否都一定是亏损的呢？让学生思考，探索，形成规律。活动4 多媒体显示探究2 某种商品零售价为每件900元，为了适应市场竞争，商店决定按售价9折降价并让利48元销售，仍可获利20%，则这种商品进货价是每件多少元？让学生自主探究，寻找已知量与未知量之间的关系，确定相等关系建立方程
7、模型，运用一元一次方程分析和解决问题。学生板演，说出列方程依据的等量关系,评价板演，交流解法，训练学生审题能力和找等量关系列方程的能力，体会运用方程解决实际问题的一般过程.培养学生分析、探究、解决问题的能力，增强学生一元一次方程的应用意识，进一步体现一元一次方程的应用价值。活动5 巩固与拓展 1、某商场将某种DVD产品按进价提高35%, 然后打出“九折酬宾，外送50元打的费”的广告，结果每台DVD仍获利208元，则每台DVD的进价是多少元？2、商店为了促销某品牌空调机，承诺2010年元旦那天购买该机可分两期付款，即在购买时先付一笔款，余下部分及它的利息在2011年元旦付清（年利率5.6%），该
8、空调机售价为每台8224元。若两次付款数相同，那么每次应付款多少元？给学生充分思考的时间，学生演板，学生利用刚刚掌握的方法列方程解决实际问题，进一步体验在销售问题中建立方程模型的过程，对所学知识巩固和拓展。活动6 课堂小结:师：通过本节课的学习你有哪些收获？生1：通过本节课学习我知道了销售问题中常用的等量关系有利润=售价进价，利润率=(售价进价)/进价等。生2：通过本节课学习我知道了做买卖要考虑利润率。生3：通过本节课学习我知道了商家打折销售是一种促销手段，打折销售商家也赚钱，将来我做买卖也可用这种手段。知识的小结以教师提问、学生自由讨论的形式进行，为学生搭建共同交流的平台。活动7 布置作业：
9、必做题：1.、教材 108页 第4题2、某商品的进价是1000元，售价是1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润率不低于5%,那么商店最多可降多少元出售此商品？选做题：1、某种商品因换季打折出售，如果按定价的七五折出售将赔25元；而按定价的九折出售将赚20元问这种商品的定价为多少元？2、某件商品先涨价20%，再降价20%，最后以60元的价格卖出。问这次买卖是盈利还是亏损？盈亏多少？设计分层作业，必做题旨在加深学生对知识的巩固，选做题满足不同层次学生的需要,是课堂教学内容的延伸，让不同层次的学生获得不同的收获。【课例分析】整个教学过程的设计，充分以学生已有的生活经验和数学知
10、识为前提，以培养学生利用方程解决实际问题为目标，以新课程标准为指导思想，从问题情境建立数学模型自主探究合作交流应用拓展总结归纳，都没有离开生活实际，充分体现了生活中处处有数学，生活离不开数学。教学中很注意激发学生学习数学的兴趣，培养学生主动探究、合作交流的意识和数学语言表达能力。（一）充分尊重学生的主体地位教育家波利亚认为，“学东西最好的途径是亲自去发现它”。这就要求我们创设一种环境，有意识地让学生在实践中感知、感悟和体验，进而上升为智慧，形成思维的张力，逐步养成解决问题的思想、方法和能力。基于这些认识，设计本课时始终坚持让学生自主探索、合作交流，展示学生的思维过程，发挥学生的主体作用。让学生
11、自己通过讨论和交流得到答案，激发学习兴趣，培养应用意识和发散思维。“学生是数学学习的主人。亲自实践、自主探究与合作交流是学生学习数学的重要方式。” （二）树立方程建模思想通过本节课的学习，使学生深深体会到数学建模思想是解决生活当中的实际问题的重要数学模型，让学生进一步体会生活中处处有数学，平时要养成用数学的视角来观察生活的意识。在应用方程建模思想解决问题的同时，提高学生应用数学的能力，让学生感觉到数学在人们生活中的作用，进而对数学产生更大的兴趣。（三）注重对学习过程与方法的评价关注学生参与数学活动的热情，与他人合作的态度，以及独立地分析问题、解决问题的能力，教师在学生充分交流、讨论的基础上进行
12、拓展、延伸，力争让不同的人在数学上得到不同的发展通过本节课的学习还培养学生主动探索、敢于实践、善于发现的精神及合作交流和创新意识。通过课堂小结，增强学生学习过程中的反思意识，梳理知识脉络，同时培养学生利用方程建模思想解决问题的思维习惯。5 饮酒（其五）作者：陶渊明（ 365427），一名潜，字元亮，浮阳柴桑（今江西龙江）人。青壮年时，有过建功立业的抱负，先后任江州家酒、镇军参军、彭泽县令等小官。因不满政治腐败、官场黑暗，又不肯降志辱身迎合权责，于是在405年四十一岁时弃官归田，此后一直过着“躬耕自资”的隐居生活。陶渊明现存的作品，大都写于归隐之后。作者写农耕劳动，与农民的交往，农村恬静优美的自
13、然景色，着力表现了自己田园生活的怡然自得之乐。情意真切，格调清新，简洁含蓄，富有韵味，称为“田园诗”。此外，有部分诗文，抒发了对污浊现实的不满，表现出愤世嫉俗之情。有陶渊明集。结庐在人境，而无车马喧。 （1）结庐：构室。人境：人世间。而：却。车马喧：喻世俗交往的打扰。诗人身居尘世，却不受尘俗的烦扰。 （2）首句即佳。清代著名诗人黄遵宪，名其居室为“人境庐”诗集为人境庐诗草，即取陶渊明诗意为名。问君何能尔？心远地自偏。（1）君：诗人自称。尔：这样。（2）二句承上两句设问设答。因为“心”能远远摆脱世俗的束缚，所以虽身处闹境，也如同居于偏僻地区。诗人摆脱尘俗烦扰后的感受。采菊东篱下，悠然见南山。（1
14、）悠然：悠闲自在的样子。南山：庐山。（2）以美丽的自然景物烘托悠闲自得的情趣。 “见”，有作“望”。苏轼说“因采菊而见山，境与意会，此句最有妙处。近岁俗本皆作望南山，则一篇神气都索然矣。” “一语天然万古新，豪华落尽见真淳。”金 元好问论诗绝句。山气日夕佳，飞鸟相与还。（1）山气：南山的气象。日夕：傍晚。相与：结伴。还：飞回巢。（2）写南山美妙的晚景。归去来辞“鸟倦飞而知还”意思是天色晚了，鸟尚且会“知还”，人当然更应该“迷途知返”。飞鸟晨出夕还，眷恋山林，是出于生物的本性；人既是自然的产物，也应顺应自然之理，生与大自然同生，死与大自然同体。此中有真意，欲辨已忘言。（1）此中：此地此时的情景，
15、总指隐逸的田园生活。真意：包括自然情趣和人生真谛。辨：辨别，说明。忘言：不知怎样用言语表达。（2）诗人在大自然启迪下，已领悟到人生的真意，又何须用语言表达。总结： 这首诗是作者自叙安贫乐道悠然自得的心境。“通章意在心远二字，真意在此，忘言亦在此。从古高人只是心无凝滞，空洞无涯，故所见高远，非一切名象之可障隔，又岂俗物之所妄干。”(王士祯古学千金谱) 这首诗中，景、情、理三者巧妙结合，达到水乳交融的境地，具有很强的艺术魅力已亥杂诗作者： 龚自珍（17921841），号字庵，仁和（今浙江杭州）人，清代杰出的思想家和诗人。官至礼部主事，辞官南归主讲于书院。诗气势纵横，有龚自珍全集。他且开一代新诗风的
16、大诗人，作品内容丰富，具有鲜明突出的社会现实内涵。在艺术表现上，纵横恣肆，狂放不羁，体现出崭新的独创精神，代表了清诗的成熟个性面貌，被誉为古代的最后一位和近代的最初一位杰出诗人，在中国诗歌史上占有里程碑式的地位。这首诗是作者最著名的代表作之一。其含义主要体现在两个方面，一是抒发离京南返的愁绪，二是表示自己虽已辞官，但仍决心为国效力，流露了作者深沉丰富的思想感情。背景： 已亥杂诗这是龚自珍在已亥年48岁写的大型七绝组诗，共315首。内容涉及范围极广。本诗是其中的第五首，写作者辞官回乡离别京城的复杂矛盾的心情，诗中作者以落红化作春泥自喻，抒发了不忘报国的崇高胸怀。“浩荡离愁白日斜，吟鞭东指即天涯”
17、是说满怀无限的离愁别绪，在白日西斜时与久居的北京城告别。“浩荡离愁白日斜！” “浩荡”意为广大无边在此形容离愁，说明愁绪之深。这愁不是指个人私怨，而是对国事石变法强国，但不为当朝权贵所容，屡遭 压抑和排挤，政治理想无法实现，48岁终辞官回 归杭州故里。可见这时作者心情是十分苦闷的。译文：浩荡离愁白日斜，吟鞭东指即天涯。惨白的太阳渐渐西沉，那胸中的离愁就像一江春水浩荡汹涌；骑马驶向东方，就是要驶向那遥远的天涯海角。落红不是无情无，化作春泥更护花。正是暮春时节，落花满地，然而这落花并不是无情无义的东西，它们会变成肥沃的泥土，培育护养着自己的生身之木，使它更加欣欣向荣。“落红不是无情物，化作春泥更护
18、花”。 “落红”是作者自比脱离官场，“落红”“红”喻理想与信念，是历来传颂的经典名句，他们一方面是诗人言志抒怀的心声，另一方面也可以为广泛意义上的崇高人格道德境界的出色写照。诗的开拓为表现自己离愁别绪的丰富感情，诗人用了“浩荡”一词来形容“离愁”，既强化“愁”意。又体现出诗人狂放深沉的内心思绪和个性特点，这里典型的诗人本色。紧接着的“吟鞭”句，对前人诗局的化用也恰倒好处，并形成了两句相连呼应的艺术效果，仿佛能感受到诗人此时此刻此情此景中的心情。最后则笔锋一转，用形象生动的比喻抒发胸臆，使全诗浑然一体动人肺腑。 茅屋为秋风所破歌作者：杜甫（712770），字子美，因居少陵，自称少陵布衣、少陵野老
19、，因其做左拾遗、检校工部员外郎，称杜拾遗、杜工部，唐代伟大的现实主义诗人，被誉为诗圣。有杜工部集，与李白并称“李杜”，又因有别于杜牧，亦称“老杜”。杜甫生活在唐王朝由盛转衰之时，其诗反映社会动乱和人民疾苦，被称为“诗史”。 杜甫生于士大夫家庭，怀有“致君尧舜上”的理想，却因奸臣李林甫当道，屡试不第，756年才得一小官，“安史之乱”时被俘，757年逃出虎口，投奔肃宗，任左拾遗。759年，关内大饥，遂弃官西行至成都，在西郊浣花溪盖一间茅屋栖身。后遇大风吹破此屋，乃作此歌。译文： 八月秋深，狂风怒号，（风）卷走了我屋顶上好几层茅草。茅草乱飞，渡过浣花溪，散落在对岸江边。飞得高的茅草悬挂在高高的树梢上
20、，飞得低的飘飘洒洒沉落到低洼的水塘里。南村的一群儿童欺负我年老没力气，（居然）忍心这样当面作贼抢东西，毫无顾忌地抱着茅草跑进竹林去了。（我喊得）唇焦口燥也没有用处，只好回来，拄着拐杖，自己叹息。一会儿风停了，天空中乌云黑得象墨，深秋天色灰濛濛的，渐渐黑下来。布被盖了多年，又冷又硬，象铁板似的。孩子睡相不好，把被里蹬跛了。一下雨屋顶就漏雨，连床头都没有一点干的地方。象线条一样的雨点下个没完。自从战乱以来，睡眠的时间很少，长夜漫漫，屋漏床湿，怎能捱到天亮。怎么才能得到千万间宽敞高大的房子，普遍地遮盖天下间贫寒的读书人，让他们个个都开颜欢笑，（房子）不为风雨中所动摇，安稳得象山一样？唉！什么时候眼前
21、出现这样高耸的房屋，（即使）唯独我的茅屋被吹破，自己受冻而死也甘心！安得广厦千万间，大庇天下寒士俱欢颜，风雨不动安如山。呜呼！何时眼前突兀见此屋，吾庐独破受冻死亦足！诗人推己及人，希冀“广厦千万间”，使“天下寒士俱欢颜”，表达了诗人关心民生疾苦、忧国忧民的深沉情感。白雪歌送武判官归京作者：岑参（715770），南阳人，他是唐代“边塞诗派”的著名诗人，与高适齐名，并称“高岑”。岑参早年的诗以风华绮丽见长。由于后来历参戎幕，往来边塞，其诗多写过塞风光和军旅生活，风格为之大变，其诗洋溢着积极乐观的思想。解题：唐玄宗天宝十三年（ 754 ），岑参再度出塞，充任安西北庭节度使封常清的判官。同任判官的武某
22、归京， 岑参便写下了这首咏雪送别之作。“白雪歌”即“白雪之歌”，“送武判官归京”点明本诗是一首雪中送别诗。作者岑参（715770），江陵（今湖北荆州）人，唐代著名“边塞诗人”，与高适并称为“高岑”。 北风卷地白草折，胡天八月即飞雪。第一句写风，一个“卷”字，一个“折”字分别从正面和侧面写出了风势之猛。第二句写雪，“八月”说明胡天下雪的时间早。“飞”，勾画出了一幅雪花漫天飘舞的形象。“即”字表现了诗人的惊奇之情。这两句极写边塞的风狂雪早。 忽如一夜春风来，千树万树梨花开。这两句是诗人由眼前的景色而展开的联想：望着披上银妆的树木，诗人忽然觉得自己好象已置身于大好春光之中，那强劲的春风，一夜之间竟吹
23、开了这千树万树的梨花，一个“忽”字，不仅表现了边塞气象变化的神奇，而且传达出诗人赏雪时的惊喜心情。比喻辞格的运用，既清新而贴切写出了边塞特有的奇异风光，又表现了诗人开阔的胸襟。 散入珠帘湿罗幕，狐裘不暖锦衾薄。一个“散”字，写出了风吹雪花点点飘入帐内的情景，一个“入”字，将读者的视线从广漠无垠的空中转移到中军将领们的住所上来，“湿”字写雪花融化，沾湿了罗幕。“狐裘”写白天，“锦衾”写夜晚，“不暖”和“薄”，均可见出雪天的奇寒。 将军角弓不得控，都护铁衣冷难着。“角弓不得控”和“铁衣冷难着”，生动地表现了胡天的奇寒叫人难以忍受，“将军”与“都护”尚且如此，一般士兵就可想而知了。这两句与前两句既表
24、现了边地军营中将士的苦寒生活，又从侧面烘托出了大雪的寒威。 瀚海阑干百丈冰，愁云惨淡万里凝。这两句转写野外雪景。“瀚海阑干”绘出了非常开阔的画面；“百丈冰”是夸张的说法，极言奇寒。一个“愁”字，一个“惨”字，具有浓烈的感情色彩，为饯别场面酝酿了气氛。这一图景与前面形成了鲜明的对照，表现出诗人思想感情上的矛盾：一方面他热爱边地的特有风光，另一方面武判官的“归京”又牵动了诗的乡土之思。 中军置酒饮归客，胡琴琵琶与羌笛。 写送别宴会，点明地点是在中军营帐。“饮归客”说明举行这次宴会是为了送武判官归京。此句紧扣诗题，连举三种乐器，以借代的方式，写出了送别宴会上的热闹情景。 纷纷暮雪下辕门，风掣红旗冻不翻。酒宴散后，送客出辕门。一个“暮”字
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