1、初中数学竞赛精品标准教程及练习（35）两种对称一、内容提要1. 轴对称和中心对称定义把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够和另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称。这条直线叫做对称轴把一个图形绕着某一点旋转180，如果它能够和另一个图形重合，那么这两个图形关于这点对称，这点叫做对称中心2. 轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形中叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴一个图形绕着某一点旋转180，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。3. 性质：成轴对称或中心对
2、称的两个图形是全等形对称轴是对称点连线的中垂线；对称中心是对称点连线的中点两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上4. 常见的轴对称图形有：线段，角，等腰三角形，等腰梯形，矩形，菱形，正多边形，圆等；中心对称图形有：线段，平行四边形，边数为偶数的正多边形，圆等二、例题例1. 求证：若等腰梯形的两条对角线互相垂直，则它的中位线与高相等证明：等腰梯形是轴对称图形，底边的中垂线MN是它的对称轴，对应线段AC和BD的交点O，在对称轴MN上ACBDDNCAOB和COD都是等腰直角三角形，OM和ON是它们的斜边中线OOMAB，ONCDMN（ABCD）AMB梯形中位线与高
3、相等例2. 已知矩形ABCD的边AB6，BC8，将矩形折叠，使点C和点A重合，求折痕EF的长解：折痕EF是对称点连线AC的中垂线连结AE，AECE，设AEx,则BE8x在RABE中，x2=(8-x)2+62 解得x=，即AE在RtAOE中，OEEF2OE7.5例3. 已知：ABC中，ABAC,过点A的直线MNBC，点P是MN上的任意点求证：PBPC2AB 证明：当点P在MN上与点A重合时，PBPCABAC，即PBPC2AB当P不与A重合时作点C关于直线MN的对称点C，则PC，PC，AC，ACABPAC，PACACBPAC，PACBAC180B，A，C，三点在同一直线上PBPC，BC，即PBPC
4、2ABPBPC2AB例4. 已知：平行四边形ABCD外一点P0，点P0关于点A的对称点P1，P1关于点B的对称点P2，P2关于点C的对称点P3，P3关于点D的对称点P4求证：P4与P0重合证明：（用同一法）顺次连结P0，P1，P2，P3，P4，根据中心对称图形性质，点A，B，C，D分别为P0P1，P1P2，P2P3，P3P4的中点ABP0P2CD连结P0P3，取P0P3的中点D，连结D，C，则D，CP0P2CD，和CD重合，P4和P0重合正方形ABCD的边长为a 求内接正三角形AEF的边长解：正方形ABCD和等边三角形AEF都是轴对称图形，直线AC是它的公共对称轴， 可知ABEADFBEDF，
5、CECF设等边三角形AEF边长为x ，根据勾股定理得CE2CF2x2,CE=,BE=a 在RtABE中，x2=( a)2+a2x2+2ax4a2=0由根公式舍去负根，得x=() a答：等边AEF的边长是()a三、练习351. 下列图形属轴对称而不是中心对称图形的有属中心对称而不是轴对称图形的有既是轴对称又是中心对称的图形有线段角等腰三角形等腰梯形矩形菱形平行四边形正三角形正方形圆2. 坐标平面内，点A的坐标是（xa，yb）那么点A关于横轴的对称点B的坐标是（）点A关于纵轴的对称点C的坐标是（）点A关于原点的对称点D的坐标是（）3. 坐标平面内，点M（a,b）与点N（a,b）是关于的对称点点P（
6、m3,n）与点Q（3m,n）是关于的对称点4. 已知：直线m的同一侧有两个点A和B求作：在m上一点P，使PAPB为最小5. 已知：等边ABC求作：点P，使PAB，PBC，PAC都是等腰三角形（本题有10个解，至少作出4个点P） 6.求证：等腰梯形两腰的延长线的交点，对角线的交点，两底中点，这四点在同一直线上（用轴对称性质）7.已知：ABC中，BCAC，从点A作C平分线的垂线段AD，点E是AB的中点求证：DE（BCAC）8.已知：ABC中，ABAC，BD是角平分线，BCABAD求：C的度数（90年泉州市双基赛题）9.已知：正方形ABCD中，AB12，P在BC上，且BP5，把正方形折叠使点A和点P
7、重合，求：折痕EF的长10.平行四边形ABCD的周长是18cm,A和B的平分线相交于M，点O是对称中心，OM1cm，求各边长11. ABC中，B2C，AD是角平分线，E是BC的中点，EFAD和AB的延长线交于点F求证BD2BF（创建轴对称图形，过点C作CGBC交AB延长线于G）12. 正方形ABCD的边长为a,形内一点P，P到AB两端及边BC的距离都相等，求这个距离。13. 求证一组对角相等且这组对角顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形（1988年全国初中联赛题）提示：用反证法，作ABD关于点O（对角线交点）的对称三角形14矩形ABCD中，边AB，对角线AC=2，在矩形内O1
8、和BC、AC分别切于点E，F，O2与AD，AC分别切于M，N 求：ACB与O2AN的度数 如果折叠 矩形后(折痕为AC)，点O2落在AB边上的点K处：在图上画出点K确切位置，并说明理由；设O1，O2的半径都等于R，试求折叠矩形后，两圆外离时的圆心距与R的取值范围。15.已知：AD是ABC的外角平分线，点这P在射线AD上 求证：PB+PCAB+AC16.已知：坐标平面内，点A关于横轴的对称点为B，点A关于原点的对称点为C 求证： 点B和点C是关于纵轴的对称点17.已知：AD是等腰直角三角形ABC斜边上的高，BM，BN三等分ABC并和AD顺次交于M，N，连结并延长CN交AB于E，求证：EMBN练习
9、35参考答案：1. ；2. （x+a,-y+b）（-x-a,y-b）（-x-a,-y+b）3. 原点；纵轴。4. 作点A关于直线m 的对称点5. 作AB和BC的中垂线，其交点P1；以A为圆心，AC为半径作弧交BC的中垂线于P2，P3；以C为圆心，CA为半径作弧交BC的中垂线于P4，其余的6个点可用类似方法作出6. 等腰梯形的对称轴是底边的中垂线，对应线段的交点在对称轴上7. 延长AD交BC于F，DE是ABF的中位线8. 延长BA到E使AEAD，则EBD和CBD关于BD对称9. EF是AP中垂线，作EGCD于G，可证明EFGAPB10.延长AM和BC相交于N，则BNAB11.以AD为轴作ADC的
10、对称ADG12.a13. ABD绕点O旋转180，点A落在射线OC上的某点A，设点A，不是点C，哰最瀀栀琀洀氀爀堀拃/Mk前台访问/d-2918408.html220.181.108.1130s勈跰最瀀栀琀洀氀琀堀拃/Mg前台访问/p-1361368.html116.179.32.320u勈輜椀瀀栀琀洀氀瘀堀堃/Mi前台访问/d-2918979.html220.181.108.880w勈遈劰最搀栀琀洀氀砀堀禒/Mg前台访问/d-2901562.html116.179.32.950y勈酴劰欀搀栀琀洀氀稀琀堀5Smwap前台访问/d-2902245.html116.179.32.320酴%儀漀眀愀
11、瀀搀栀琀洀氀簀堀5Qmwap前台访问/d-643615.html220.181.108.920銠猀贀挀栀琀洀氀縀鴁堀鲔/Mg前台访问/p-2547817.html52.250.19.1680鏌%椀搀栀琀洀氀耀堀5Smwap前台访问/d-2944565.html203.208.60.950鏌开氀漀最椀渀愀猀瀀砀舀堀/Mg前台访问/p-2945137.html182.91.127.880鏌欀瀀栀琀洀氀萀堀/Mg前台访问/p-1157576.html157.55.39.2140勈铸攍欀瀀栀琀洀氀蘀堀/w前台访问/c-00002-246-7347-0-0-0-0-1-0-0.html114.239.6
12、2.2140铸愀紀漀漀欀刀攀愀搀愀猀瀀砀椀搀蠀堀拃/Mi前台访问/p-2820245.html116.179.32.2040勈阤劰愀笀漀漀欀刀攀愀搀愀猀瀀砀椀搀言堀禒/Mi前台访问/d-2933305.html116.179.32.1570霰靐曒最搀栀琀洀氀谀倓堀恒/Ie前台访问/p-13348.html58.250.125.1120勈靐銰椀瀀栀琀洀氀踀簀堀拃/Mk前台访问/p-2939669.html220.181.108.1520勈顼銰最瀀栀琀洀氀退簀堀5Qkwap前台访问/d-642147.html116.179.32.890顼最瀀栀琀洀氀鈀簀堀/Kg前台访问/p-153354.html
13、58.250.125.1490埿馨最脀眀愀瀀漀漀欀刀攀愀搀愀猀瀀砀椀搀鐀堀/Mk前台访问/p-2929883.html220.181.108.1470馨攀瀀栀琀洀氀阀堀/Sm前台访问/c-0001500001.html120.219.9.1590勈馨攍最瀀栀琀洀氀頀堀拃/Ki前台访问/d-739347.html220.181.108.1760勈體蓘欀瀀栀琀洀氀騀堀拃/Mi前台访问/d-2637818.html116.179.32.1700鰀%攀瀀栀琀洀氀鰀堀/a前台访问/BookRead.aspx?id=2961446213.183.41.1990鰀%儀漀眀愀瀀搀栀琀洀氀鸀堀/Ga前台访问/p
14、-3273.html124.12.209.390鴬欀搀栀琀洀氀堀/Ke前台访问/p-184183.html157.55.39.2020鴬%桄匀焀眀愀瀀搀栀琀洀氀堀堀5Smwap前台访问/p-2198298.html116.179.32.510龄最瀀栀琀洀氀堀/Mi前台访问/p-2810307.html116.179.32.2280嬀甀漀漀欀刀攀愀搀愀猀瀀砀椀搀堀/Mk前台访问/p-2476387.html220.181.108.1420椀瀀栀琀洀氀堀5Smwap前台访问/d-1890583.html116.179.32.680勈劰梘匀焀眀愀瀀瀀栀琀洀氀堀/Mg前台访问/p-2939561.html116.179.32.270埿最茀眀愀瀀漀漀欀刀攀愀搀愀猀瀀砀椀搀堀5Sqwap前台访问/d-1712493.html220.181.108.1520哿弿崀栀栀琀洀氀堀/Mg前台访问/d-2873692.html116.179.32.880埿最茀眀愀瀀漀漀欀刀攀愀搀愀猀瀀砀椀搀堀拃/Mk前台访问/p-2888931.html220.181.108.1720匀漀眀愀瀀瀀栀琀洀氀怃恗堀5gwap前台访问/BookRead.aspx?id=2957807220.181.108.1620欀搀栀琀洀氀
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