1、高等代数专题研究作业参考答案高等代数专题研究作业1一、单项选择题：1-5：BCBDB二、填空题1、交换。2、不等价、等价。3、，且是A到B的双射。4、具有下面性质的自然数的任何集合M满足：如果，则。则M含有一切自然数，即。5、对于一个与自然数有关的命题T，若i：若n=1时命题T正确；ii：假设命题T对nk正确，就能推出命题T对n=k正确。则命题T对一切自然数正确。三、计算题1、解：到的映射一共有个，它们是：，2、解：，3、解：1）在G中，并且，可表为两个不相交的轮换的乘积：。2），3）四、证明题1、证明：2、证明：则于是由a与b惟一确定的（即不会得出以上不同的结果），且为实数，所以“”是一个代
2、数运算。，所以，即“”满足结合律。3、证明：当n=2时，因此命题对n=2正确。当n=4时，因此命题对n=4正确。同理可推出命题对，都正确（s为任意自然数），所以命题对无穷多个自然数成立。设命题对n=k正确，令，则，由归纳假设命题对n=k正确，所以，所发，即，命题对n=k-1也正确，由反归纳法原理知，命题对一切自然数成立。4、当n=2时，上述不等式成立，假设，则于是对一切的自然数n来说，。五、简述题1、答：，给予证明如下：任取，且，则是单射。任取，若为奇数，则有，使与之对应；若为偶数，则有，使与之对应，所以有是满射。所以是从Z到N的双射。2、答：空集合的幂集不是空集合。应为。高等代数专题研究作业
3、2一、单项选择题：1-5：DACCB二、填空题：1、 2、 3、4、 5、三、计算题1、解：所以原不等式的解集为。2、解：，即。其中当且仅当，且成立，解得，所以当时，取极大值，。3、解：这是一个求具有约束条件的极值问题，由于它有三个变量，因而不能用消元法来解，但，只有当时等式成立。所以只有当时，取最小值。四、证明题1、证明：，因都是正数，上式变为，得证。2、证明：令，再令，得的一元二次方程：，由于，所以，所以，即。3、证明：因为是等差数列，则，则均值不等式，得，又：，所以，所以，故结论得证。五、简述题1、答：设函数在某区间上定义，对于区间上的任意两点，都有，其中，则称在该区间上是下凸函数。2、
4、答：比较法、综合法、分析法、数学归纳法、反证法、换元法、放缩法。高等代数专题研究作业3一、单项选择题：1-5：BDDAC二、填空题1、1，3，5，7 2、如果d是a与b的公因式，且有，均有。 3、代数4、1 5、-4，2（重根）三、计算题1、证：1）若，则，且，故是有单位元素1的数环，因而是整环。2）为中全部可逆元素。为奇素）为中全部不可约元素。2、解：是的可逆元素。，是的可逆元素。因此，是的全部可逆元素。四、证明题1、证明：首先是整环，零理想是主理想，设是的任一非零理想，是中次数最低的多项式，则对任意有，使，其中或的次数的次数，由知，若则的次数的次数，这与是中次数最低的多项式矛盾，故必有，从
5、而，这就证明了是由生成的主理想。2、证：若之中有零或单位，易见结论成立。不妨设都既非零也非单位，因为，所以有，将都分解为不可约元素的乘积，若非单位也将其分解：，则，由因式分解的惟一性，每个都与等式左边的一个因子相伴，因为，所以不与任何一个相伴，适当调整因子的次序，不妨设分别与相伴，于是可知。3、证：由可知，因是本原多项式，所以，由上第2题结论知：。4、证：设，若从代数观点出发，则它们相应系数有以下关系：，显然它们在任意点的函数值也相同，即从函数论观点出发。反之，若从函数论观点出发，则，这时域中所有元素都是的根。但是是一个次数不超过的多项式，在中至多有个根，而前述有无限多个根，这个矛盾证明必有，
6、即从代数观点有。五、简述题1、答：定义：设是一个整环，如果中每一个不等于的非单位元素均可写成：，其中是不可约元素，并且如果还有，其中也是不可约元素，则必有，且适当调整的顺序后，有，则称是因式分解惟一环。2、答：定理：任何实系数次多项式至少有一个复数根。高等代数专题研究作业4一、单项选择题：1-5：BDCAA二、填空题1、 2、 3、4、， 5、三、计算题1、解：把辆小轿车视为一辆，与辆大卡车排队有种方法，而小轿车又有种停放方法，所以一共有种停放方法。2、解：用相同元素的重复排列公式：，不同的摆法有：种。3、解：展开合并同类项后共有：展开后每一项都是5次多项式，它的不同项实际上是从6个元素中取5
7、个元素的方法数项，而的系数为：从3元素中取2个a，2个b，1个c，即为，所以的系数为30。4、解：设表示能被整除而不大于2000的自然数集合，这时，根据定理：5、解：用递推公式：，对楼梯作归纳：当，只有一个台阶，只有一种走法；当，可以一步一阶，也可一步两阶，；当，可一步一阶，也可一步两阶一阶或一阶两阶，；，。6、解：设，1）至少参加一项比赛的人数：2）只参加四百米比赛的人数：。四、证明题1、证明：因，所以，所以。令，上式化为，所以，当时，有。2、证明：因，两边对求导一次，得到，上式两边乘以，再对求导，得，令，整理得。五、简述题答：抽屉原理：如果把件东西装入个抽屉，则至少有1个抽屉里的东西不少于2件。抽屉原理：设都是正整数；和进有件东西放进个抽屉，则第1个抽屉至少有件东西，或第2个抽屉至少有件东西，或第个抽屉至少有件东西，其中至少有一条必成立。
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