1、5.6 平面向量的数量积及运算律5.6 平面向量的数量积及运算律5.6 平面向量的数量积及运算律5.6 平面向量的数量积及运算律5.6 平面向量的数量积及运算律2.4 平面向量的数量积及运算律 1 复习思考: 向量的加法 向量的减法 实数与向量的乘法 两个向量的数量积 运算结果 向量 向量 向量 ？ 2 平面向量的数量积及运算律 物理意义下的“功” s F 一个物体在力F 的作用下产生的位移s, 那么力F 所做的功应当怎样计算？ 其中力F 和位移s 是向量， 是F 与s 的夹角，而功是数量. 3 平面向量的数量积及运算律 两 个 非 零 向 量 的 夹 角 两个非零向量a a 和b b ，作
2、， ，则 叫做向量a a 和b b 的夹角 O A B a b OA B b a 若 ，a 与b 同 向 OAB ba 若 ，a 与b 反向 O A B a b 若 ，a 与b 垂直， 记作 4 平面向量的数量积及运算律 平面向量的数量积的定义 已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，我们把数量 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a b ，即 规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 0 5 平面向量的数量积及运算律 （1）两向量的数量积结果是一个数量，符号由夹角决定. （3） a b不能写成ab ，ab 表示向量的另一种运算 与以往运算法则的区别及注意点 （2）前面所提到的力所做的功,
3、就是力F与其作用下物体 产生的位移S的数量积F S. 而向量的加法和减法的结果还是一个向量. 6 平面向量的数量积及运算律 例题讲解 例1已知|a a |=5, |b b |=|=4，a a与b b 的夹 角 ，求a ba b. 解： a b =|a | |b |cos 7 平面向量的数量积及运算律 练习1. 已知 | p | =8, | q |=6, 向量p 和 q 的夹角是 60, 求 p q. 练习2. 设| a |=12,| b |=9, a b = 54 , 求向量a和b的夹角 . 8 | b | cos的几何图形及其表示的几何意义 , | b | cos叫向量b 在a 方向上的投影
4、 为锐角时， | b | cos0 为钝角时， | b | cos0 为直角时， | b | cos=0 9 平面向量数量积 a b的几何意义 向量 a 与b 的数量积等于a a 的长度的长度 | |a| a| 与 b b 在在a a 的方向上的投影的方向上的投影| b | | b | coscos的积. 10 数 量 积 的 性 质 平面向量的数量积及运算律 设a ,b都是非零向量, e是与b方向相同的单位向量, 是a与e的夹角,则 （1）e a=a e=| a | cos （2）ab a b=0 (判断两向量垂直的依据) （3）当a 与b 同向时，a b =| a | | b |， 当a
5、与b 反向时, a b = | a | | b |. 特别地 (用于计算向量的模) （5）| a b| | a | | b | （4）(用于计算向量的夹角) 11 5.数量积的运算律： 平面向量的数量积及运算律 数 量 积 运 算 律 ？ 12 练 习 . 判 断 正 误 1若a =0，则对任一向量b ，有 a b = 0 2若a 0，则对任一非零向量b ,有 a b0 3若a 0，a b =0，则 b = 0. 4若a b=0，则a 、 b中至少有一 个 为 0 5若b 0，a b= b c，则 a= c. 6若a b = a c ,则bc,当且仅当a =0 时成 立 7对任意向量 a ,有
6、 平面向量的数量积及运算律 13 例3 求证： (1) (ab)2 a22abb2； (2) (ab)(ab)a2b2 例4 已知|a|6，|b|4，a与b的夹角为 60，求(a2b)(a3b) 14 例5 已知|a|=3，|b|=4(且a与b不共线)，当 且仅当k为何值时，向量akb与 akb互相垂直？ 例6 设x，y轴正方向上的单位向量分别为i 和j，若ab=2i8j，ab=8i16j， 求ab 15 例7 设 和 是夹角为 的两个单位向量，且 ， ，试求的值 16 2.4 平面向量的数量积及运算律 小结: (1)向量的数量积的物理模型是力的做功. (2) a b 的结果是个数量. (3)利用数量积可以求两向量的夹角,特别是可以判定垂直. (4)二向量的夹角范围 0,. (5)五条性质要掌握. 17 2.4 平面向量的数量积及运算律 作业: 1.课本P121 习题5.6 第2题,第3题,第6题 18 19
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