1、目录上页下页结束概率统计教研室 第一节 大数定律 一、问题的引入 二、基本定理 三、典型例题 四、小结 目录上页下页结束概率统计教研室 例2 测量一个长度a,一次测量的结果不见得就等于 a,量了若干次,其算术平均值仍不见得等于a,但当测 量的次数很多时,算术平均值接近于a几乎是必然的. 例1 掷一颗均匀的正六面体的骰子,出现一点的概率 是1/6,在掷的次数比较少时,出现一点的频率可能与 1/6相差得很大.但是在掷的次数很多时,出现一点的频 率接近1/6几乎是必然的. 一、问题的引入 目录上页下页结束概率统计教研室 这两个例子说明 ： 在大量随机现象中,不仅看到了随机事件的频 率具有稳定性,而且
2、还看到大量测量值的平均结果 也具有稳定性。这种稳定性就是本章所要讨论的大 数定律的客观背景。 大数定律以确切的数学形式表达了这种规律性,并 论证了它成立的条件,即从理论上阐述了这种大量的、 在一定条件下的、重复的随机现象呈现的规律性即稳 定性. 目录上页下页结束概率统计教研室 定理5.1 契比雪夫不等式 证明取连续型随机变量的情况来证明. 切比雪夫不等式 目录上页下页结束概率统计教研室 得 目录上页下页结束概率统计教研室 切比雪夫不等式只利用随机变量的数学期望及方差就 可对的概率分布进行估计。 从切比雪夫不等式还可以看出, 对于给定的 0, 当方 差越小时，事件|X-E(X)|发生的概率也越小
3、，即X的 取值越集中在E(X)附近这进一步说明方差确实是一个 描述随机变量与其期望值离散程度的一个变量 当D(X)已知时，切比雪夫不等式给出了X与E(X)的偏 差小于 的概率的估计值 切比雪夫不等式的用途： （1）证明大数定律； （2）估计事件的概率或区间内取值的下界。 目录上页下页结束概率统计教研室 例1 已知正常男性成人血液中 ，每一毫升白细胞 数平均是7300，均方差是700 . 利用切比雪夫不等 式估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率 . 解：设每毫升白细胞数为X 依题意，E(X)=7300,D(X)=7002 所求为 P(5200 X 9400) 做题时如何选取？ 目录上页
4、下页结束概率统计教研室 由切比雪夫不等式 P |X-E(X)| 2100 即估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率不 小于8/9 . P(5200 X 9400) = P(-2100 X-E(X) 2100) = P |X-E(X)| 2100 目录上页下页结束概率统计教研室 【例5-2】已知n重伯努利试验中参数p = 0.75，问 至少应做多少次试验，才能使试验成功的频率 在0.74和0.76之间的概率不低于0.90？ 解： 设需做n次试验，其中成功的次数为X， 则XB(n，p)，E(X) = np，D(X) = np(1 p)。 因为 根据契比谢夫不等式应有 目录上页下页结束概率统计教研室 令 解得 所以至少应做18750次试验 目录上页下页结束概率统计教研室 例3:在供暖的季节,住房的平均温度为20度, 标准差为2度,试估计住房温度与平均温度的 偏差的绝对值小于4度的概率的下界. 解 目录上页下页结束概率统计教研室 【练习】若某班某次考试的平均分为80分，标 准差为10，试估计及格率至少为多少？ 解：用随机变量X表示学生成绩，则数学期 望E(X) = 80，方差D(X) = 100，所以 P60 X 100 P60 X 100 = P|X 80| 1）,则 证：因为X1，X2，Xn独立同分布， 所以 独立同分布。 又 =k存在，由辛钦大数定律：
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