1、2.3 2.3 公平的席位分配公平的席位分配 某校有200名学生，甲系100名，乙系60 名，丙系40名，若学生代表会议设20个席位 ，问三系各有多少个席位？ 按惯例分配席位方案，即按人数比例分配原则 表示某单位的席位数 表示某单位的人数 表示总人数 表示总席位数 1 问题的提出（美国宪法 1788 ） 1 20个席位的分配结果 系别系别人数人数所占比例所占比例分配方案分配方案席位数席位数 甲甲100 100100/200100/200(50/100)(50/100) 20=1020=10 乙乙60 6060/20060/200(30/100)(30/100) 20=620=6 丙丙40 40
2、 40/20040/200(20/100)(20/100) 20=420=4 现丙系有6名学生分别转到甲、乙系各3名。 系别系别人数人数所占比例所占比例分配方案分配方案席位数席位数 甲甲103 103103/200=51.5%103/200=51.5% 51.5 %51.5 % 20 20 =10.3=10.3 乙乙63 6363/200=31.5%63/200=31.5%31.5%31.5% 20=6.320=6.3 丙丙34 34 34/200=17.0%34/200=17.0%17.0%17.0% 20=3.420=3.4 10 6 4 10 6 4 现象1 丙系少了6人，但席位仍为4个
3、。(不公平！） Halmiton(1790) 先按整数分配 再按余数较大者 分配 2 由于在表决提案时可能出现10：10的平局，再设一 个席位。 21个席位的分配结果（Halmiton方法） 系别系别人数人数所占比例所占比例分配方案分配方案席位数席位数 甲甲103 103103/200=51.5%103/200=51.5% 51.5 %51.5 % 21 21 =10.815=10.815 乙乙63 6363/200=31.5%63/200=31.5%31.5%31.5% 21=6.61521=6.615 丙丙34 34 34/200=17.0%34/200=17.0%17.0%17.0% 2
4、1=3.21=3.570570 11 7 3 现象2 总席位增加一席，丙系反而减少一席。（不公平！） 惯例分配方法（Halmiton方法） ：按比例分配完取整数 的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。 存在不公平现象（Alabama悖论），能否给出更公平 的分配席位的方案？ 3 2 建模分析 目标：建立公平的分配方案。 反映公平分配的数量指标可用每席位代表的人数来衡量 。 系别系别 人数人数 席位数席位数每席位代表的人数每席位代表的人数公平程度公平程度 甲甲103 1031010103/10=10.3103/10=10.3 中中 乙乙63 63 6 6 63/6=10.563/6=10
5、.5差差 丙丙34 34 4 4 34/4=8.534/4=8.5好好 系别系别人数人数席位数席位数每席位代表的人数每席位代表的人数 甲甲100 1001010100/10=10100/10=10 乙乙60 60 6 6 60/6=1060/6=10 丙丙40 40 4 4 40/4=1040/4=10 4 系别系别人数人数席位数席位数每席位代表的人数每席位代表的人数公平程度公平程度 甲甲103 1031111103/11=9.36103/11=9.36 中中 乙乙63 63 7 7 63/7=963/7=9好好 丙丙34 34 3 3 34/3=11.3334/3=11.33差差 一般地，
6、单位单位人数人数席位数席位数每席位代表的人数每席位代表的人数 A A B B 当 席位分配公平 5 但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以 下标准来判断。 此值越小分配越趋于公平，但这并不是一个好的衡量标准。 单位单位人数 人数p p席位数席位数n n每席位代每席位代 表的人数表的人数 绝对不公绝对不公 平标准平标准 A A 1201201010121212-10=212-10=2 B B 10010010101010 C C 102010201010102102102-100=2102-100=2 D D 100010001010100100 C,D的不公平程度大为改善！ 6 2） 相对
7、不公平 表示每个席位代表的人数，总人数一定时， 此值越大，代表的人数就越多，分配的席位 就越少。 则A吃亏,或对A是不公平的。 定义“相对不公平度 ” 对A的相对不公平值； 对B的相对不公平值； 7 建立了衡量分配不公平程度的数量指标 制定席位分配方案的原则是使它们的尽可能的小 。 3 模型构成 若A、B两方已占有席位数为 用相对不公平值讨论当席位增加1个时 ，应该给A还是B方。 不失一般性， 有下面三种情形 。 8 情形1 说明即使给A单位增加1席，仍对A 不公平，所增这一席必须给A单位。 情形2 说明当对A不公平时，给A单 位增加1席，对B又不公平。 计算对B的相对不公平值 情形3 说明当
8、对A不公平时，给B单 位增加1席，对A不公平。 计算对A的相对不公平值 9 则这一席位给A单位，否则给B单位 。 结论：当（*）成立时，增加的一个席位应分配给A 单位，反之，应分配给B单位。 10 记 则增加的一个席位应分配给Q值较大的一方 。 这样的分配席位的方法称为Q值法。 若A、B两方已占有席位数为 11 4 推广 有m方分配席位的情况 设方人数为，已占有个席位， 当总席位增加1席时，计算 则1席应分给Q值最大的一方。 开始，即每方至少应得到1席， （如果有一方1席也分不到，则把它排除在外。 ） 从 12 5 举例 甲、乙、丙三系各有人数103，63，34，有21个席 位，如何分配？ 按
9、Q值法： 13 甲甲 1 1 乙乙 1 1 丙丙 1 1 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 1920 21 甲：11，乙：6，丙：4 14 模型分析模型分析 存在公平的分配方法么？存在公平的分配方法么？ 1 1）比例加惯例法（）比例加惯例法（HH法）法）悖论悖论 2 2）QQ值法值法存在不合理存在不合理 3 3）其它方法：）其它方法：D D hondthondt方法方法 理想化原则理想化原则不存在完全不存在完全“ “合理合理” ”的分配方的分配方 法法 15 练习练习 系系人数人数P P i i 比例分配比例分配参照惯例分配参照惯例分配QQ值法值法 A
10、 A 9215921592.1592.1592929292 B B 1591591.591.59 2 2 2 2 C C 1581581.581.58 2 2 2 2 D D 1571571.571.57 2 2 2 2 E E 1561561.561.56 1 1 1 1 F F 1551551.551.55 1 1 1 1 总和总和 1000010000 100100100100100100 16 dHondt方法 有k个单位，每单位的人数为 pi ，总席位数为n 。 做法： 用自然数1,2,3,分别除以每单位的人数 ，从所得的数中由大到小取前 n 个，（ 这n 个数来自各个单位人数用自然
11、数相 除的结果），这n 个数中哪个单位有几 个所分席位就为几个。 17 /1/1/2/2/3/3/4/4/5/5/6/6/7/7/8/8/9/9/10/10 A A 103103 61.561.5 34.334.325.7525.7520.620.617.217.2 14.714.7 12.87512.875 11.411.4 10.310.3 B B 636331.531.5 212115.7515.7512.612.610.510.5 9 9 C C 3434171711.311.38.58.56.86.82121席席 位位 18 构造分析方法建模构造分析方法建模 进行量化处理，需要构造度
12、量进行量化处理，需要构造度量 构造度量遵循原则：构造度量遵循原则： 1 1）严谨，公平，有公信力；）严谨，公平，有公信力； 2 2）尽量简单，便于操作；）尽量简单，便于操作； 3 3）能准确反映各方差异。）能准确反映各方差异。 扎实的数学功底及开创性思维扎实的数学功底及开创性思维 19 勒 内 笛卡儿 Le nei Di ka er 1 01生平简介 CONTENT 02思想成就 03具体内容 2 01 生 平 简 介 勒 内 笛卡儿 PART ONE 3 勒 内 笛卡儿 勒内笛卡儿，1596年3月31日生 于法国安德尔-卢瓦尔省的图赖讷 拉海，1650年2月11日逝世于瑞典 斯德哥尔摩，是法
13、国著名的哲学 家、数学家、物理学家。他是西方 近代哲学奠基人之一。 他对现代数学的发展做出了重要 的贡献，因将几何坐标体系公式 化而被认为是解析几何之父。他 还是西方现代哲学思想的奠基人 ，是近代唯物论的开拓者且提出 了普遍怀疑的主张。 4 02 PART TWO 思 想 成 就 勒 内 笛卡儿 5 主 要 思 想 成 就 主要 思想成就 数学 解析几何 哲学命题 我思故我在 物理 动量守恒定律 哲学 二元论者 6 具 体 内 容 勒 内 笛卡儿 03 PART THREE 7 方 法 论 1637年，笛卡尔发表了巨作方法论。这本 专门研究与讨论西方治学方法的书，提供了许多正 确的见解与良好的
14、建议，对于后来的西方学术发展 ，有很大的贡献。为了显示新方法的优点与果效， 以及对他个人在科学研究方面的帮助，在方法论 的附录中，他增添了另外一本书几何。有关 笛卡儿坐标系的研究，就是出现于几何这本书 内。笛卡儿在坐标系这方面的研究结合了代数与欧 几里得几何，对于后来解析几何、微积分、与地图 学的建树，具有关键的开导力。 8 笛卡尔符号法则 笛卡儿符号法则首先由笛卡儿在他的作品La Gomtrie中描述，是一个用于确定多项式的正根或 负根的个数的方法。如果把一元实系数多项式按降幂方式 排列，则多项式的正根的个数要么等于相邻的非零系数的 符号的变化次数，要么比它小2的倍数。如5,3,1或4,2,
15、0 。而负根的个数则是把所有奇数次项的系数变号以后，所 得到的多项式的符号的变化次数，或者比它小2的倍数。 特殊情况：注意如果知道了多项式只有实数根，则利用这 个方法可以完全确定正根的个数。由于零根的重复度很容 易计算，因此也可以求出负根的个数。于是所有根的符号 都可以确定。 9 笛卡尔坐标系 笛卡尔坐标系就是直角坐标系和斜角坐标系的 统称。二维的直角坐标系是由两条相互垂直、0 点 重合的数轴构成的。在平面内，任何一点的坐标 是根据数轴上 对应的点的坐标设定的。在平面内 ，任何一点与坐标的对应关系，类似于数轴上点与 坐标的对应关系。采用直角坐标，几何形状可以用 代数公式明确的表达出来。几何形状
16、的每一个点的 直角坐标必须遵守这代数公式。 直角坐标系也可以推广至三维空间与高维空间 。 10 笛卡尔坐标系 11 解析几何 笛卡尔对数学最重要的贡 献是创立了解析几何。 在笛卡儿时代，代数还是一个比较 新的学科，几何学的思维还在数学家 的头脑中占有统治地位。笛卡儿致力 于代数和几何相联系的研究，并成功 地将当时完全分开的代数和几何学联 系到了一起。于1637年，笛卡尔在创 立了坐标系后，成功地创立了解析几 何学。他的这一成就为微积分的创立 奠定了基础，而微积分又是现代数学 的重要基石。解析几何直到现在仍是 重要的数学方法之一。 12 解析几何 在几何学卷一中，他用平面上的一点到两条 固定直线
17、的距离来确定点的距离，用坐标来描述空间 上的点。他进而创立了解析几何学，表明了几何问题 不仅可以归结成为代数形式，而且可以通过代数变换 来实现发现几何性质，证明几何性质。笛卡尔把几何 问题化成代数问题，提出了几何问题的统一作图法。 为此，他引入了单位线段，以及线段的加、减、乘、 除、开方等概念，从而把线段与数量联系起来，通过 线段之间的关系，“找出两种方式表达同一个量，这 将构成一个方程”，然后根据方程的解所表示的线段 间的关系作图。 13 解析几何 在卷二中，笛卡儿用这种新方法解决帕普斯问 题时，在平面上以一条直线为基线，为它规定一个 起点，又选定与之相交的另一条直线，它们分别相 当于x轴、
18、原点、y轴，构成一个斜坐标系。那么该 平面上任一点的位置都可以用（x,y）惟一地确定。 帕普斯问题就化成了一个含两个未知数的二次不定 方程。笛卡儿指出，方程的次数与坐标系的选择无 关，因此可以根据方程的次数将曲线分类。几何 学一书提出了解析几何学的主要思想和方法，标 志着解析几何学的诞生。此后，人类进入变量数学 阶段。 14 解析几何 在卷三中，笛卡尔指出，方程可能有和它的次 数一样多的根，还提出了著名的笛卡尔符号法则： 方程正根的最多个数等于其系数变号的次数；其负 根的最多个数（他称为假根）等于符号不变的次 数。笛卡尔还改进了韦达创造的符号系统，用 a,b,c, 表示已知量，用x,y,z,表
19、示未知量。 15 解析几何 解析几何的出现，改变了自古希腊以来代数和 几何分离的趋向，把相互对立着的“数”与“形” 统一了起来，使几何曲线与代数方程相结合。笛卡 儿的这一天才创见，更为微积分的创立奠定了基础 ，从而开拓了变量数学的广阔领域。正如恩格斯所 说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数。有了变数 ，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学 ，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要了。” 16 轶事：蛛织网和平面直角坐标系的创立 据说有一天，笛卡尔生病卧床，病情很重，尽管如此他还反复 思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能 不能把几何图形和代数方程结合起来，也就是说能不能用
20、几何图形 来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点 和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，通过 什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来。 突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来。一会功 夫，蜘蛛又顺这丝爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”使笛 卡尔的思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看作一个点。他在屋子里 可以上，下，左，右运动，能不能把蜘蛛的每一个位置用一组数确 定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如 果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那 么空间中任意一点的位置就可以在这三根数轴上找到有顺序的三个 数。反过
21、来，任意给一组三个有顺序的数也可以在空间中找到一点 P与之对应，同样道理，用一组数（X，Y）可以表示平面上的一个 点，平面上的一个点也可以用一组两个有顺序的数来表示，这就是 坐标系的雏形。17 欧拉-笛卡尔公式 欧拉-笛卡儿公式，是几何学中的一个公式。该公 式的内容为：在任意凸多面体，设V为顶点数，E为 棱数，F是面数，则VE+F=2。 该公式最早由法国数学家笛卡儿于1635年左右 证明，但不为人知。后瑞士数学家莱昂哈德欧拉于 1750年独立证明了这个公式。1860年，笛卡儿的工 作被发现，此后该公式遂被称为欧拉-笛卡儿公式。 18 其实，名字叫做欧拉公式的公式有很多。不过在几何学中，欧拉公式
22、指的是简单多面体的顶点 数V、面数F及棱数E间有关系：V+F-E=2。我们所学的几何体，如棱柱、棱锥等都是简单多面体。欧 拉公式的证明方法很多。证法一：逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E以简单的四面体ABCD为例分 析证法。去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数V与剩下的面数F1变形后都没有 变。因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1。（1）去掉一条棱， 就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。（2）从剩下的树枝形中，每 去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。 以上过程V+F1-E不变，V+F1- E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E=2。对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条 线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。证法二：计算多面体各面内角和设多面体顶点数V ，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（展开图）,求所有面内角总和（1）在原图 中利用各面求内角总和。 设有F个面，各面的边数为n1,n2，nF，各面内角总和为： = (n1-2
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