1、 下 回 停 一、问题的提出 二、随机变量序列的收敛性 第一节 大数定律 三、常用的三种大数定律 一、问题的提出 在第一章有关概率的统计定义中讲到, 随 机现象在大量重复试验中呈现明显的统计规律 性, 即事件发生的频率具有稳定性. 伯努利于1713年首先提出关于频率稳定性的 定理, 被称为伯努利大数定律. 大量抛掷硬币 正面出现频率 生产过程中的 废品率 字母使用频率 在实践中, 人们认识到，在随机事件的大量 重复出现中，往往呈现出几乎必然的规律，这 个规律就是大数定律。大量测量值的算术平均 值也具有稳定性. 大数定律就是用于研究大量随 机现象中平均结果的稳定性的理论. 大数定律的客观背景 二
2、、随机变量序列的收敛性 定义4.1 的分布函数分别为 和若在 的所有连续点 上都有 则称随机变量序列 依分布收敛于随机变量Y， 简记为 和随机变量Y 设随机变量 依分布收敛表示：当n充分大时， 的分布函数 收敛于Y 的分布函数 它是概率论中 较弱的一种收敛性. 定义4.2 任意实数有 或 和随机变量Y，若对设随机变量序列 则称随机变量序列 依概率收敛于随机变量Y， 简记为 依概率收敛表示：与 Y 的绝对误差小于任意小 大，直至趋于1. 定理4.1 为一随机变量序列，且 (常数)，又函数 在点C处连续，则有 的可能性(即概率)将随着n增大而愈来愈的正数 设 证 由 在C处连续可知，对任意实数 存
3、在实数 使当 时，总有 从而 这就表明： 解 设X1, X2, Xn 是独立同分布的随机变量例1 从而对任意给定的 0, 由切比谢夫不等式得 定义 4.3和随机变量 对 时，有 和 ，若 则称随机变量序列阶收敛于随机变量Y 简记为 设随机变量序列 特别的有 1-阶收敛又称为平均收敛， 2-阶收敛又称为均方收敛。 可以证明：均方收敛则平均收敛。 定义 4.4 设随机变量序列和随机变量 ，若 或简记为 收敛于随机变量 简记为 。 则称随机变量序列以概率1（或几乎处处） almost - everywhere 下面定理揭示了四种收敛之间的关系。 和随机变量定理 4.2 设随机变量序列 (1)若，则
4、(2) 若，则 。 (3) 若，则 定义4.5 三、常用的三种大数定律 令 定理4.3 切比谢夫大数定律 证 于是，当时，结论成立，即定理4.3得证。 注1 这种接近是概率 意义下的！ 通俗地说, 在定理条件下, n 个随机变 量的算术平均值, 当 n无限增加时, 几乎变 成一个常数. 2 切比谢夫大数定律的另一种叙述 解 设随机变量相互独立 , 具有如下分布律: 问是否满足切比谢夫大数定律? 由题意可知独立性 . 可见, 每个随机变量的数学期望都存在. 检验是否有 数学期望 例2 检验是否 有有限方 差 故满足切比谢夫大数定律的条件. 定理4.4 伯努利大数定律 证 由定理4.3对任意的 0
5、, 有 证毕. 注1 用严格的数学形式 表达频率的稳定性 ! 当 n 很大时, 事件发生的频率与概率 有较大偏差的可能性很小.在实际应用中, 当试验次数很大时, 便可以用事件发生的频 率来代替事件的概率. 注1 与切比谢夫大数定律相比, 不要求方差存在 且有界. 2 伯努利大数定律是辛钦大数定律的特例. 定理4.5 辛钦大数定律 设随机变量独立同分布, 证明对任意 解 例3 由辛钦大数定律知, 设 f(x) (a x b) 是连续函数, 试用概率论 方法近似计算积分. 解 设 |f(x)| 的上界 为M (M0), f(x)的最小值 为h, 则 故不妨假定 0 f(x) 1, 引进新变量 z:
6、 x (ba)za后, 可将 x 轴上的区间a, b变为 z 轴上0, 1, 故不妨设a 0, b 1. 例4 O y x y f(x) A 1 1 考虑几何型随机试验E:向矩形 0 x 1, 0 y 1 中 均匀分布地掷点, 将E独立地重复做下去, 以 A表示 此矩形中曲线 y f (x)下的区域, 即 A=(x, y):0 y f (x); x0, 1 并定义随机变量序列 则Xk: k1独立同分布, 而且 E(Xk) P(Xk 1) |A| |A|表示A的面积, 由伯努利大数定律知 这表示当n充分大时, 前n次试验中落于A中的点数 除以n后, 以任意接近于1的概率与 近似. 这种近似计算法
7、叫蒙特卡洛(Monte-Carlo)方法. 四个大数定律 内容小结 频率的稳定性是概率定义的客观基础, 而贝努里大数定理以严密的数学形式论证 了频率的稳定性. 设Xn为独立同分布的随机变量序列, 其共同分布为 例3-1 试问Xn是否服从大数定律? 即EXn存在, 由辛钦大数定律知服从大数定律. 解 备用题 辛钦(Aleksandr Yakovlevich Khinchin) 1894-1959 苏联数学家, 现代概率论的 奠基人之一. 辛钦在函数的度量理论、 数论、概率论、数学分析 、信息论等方面都有重要 的研究成果.共发表150多 种关于数学和数学史论著. 他最早的概率论成果是伯 努利试验序列的重对数律.
个人主页
