1、第一讲 协方差传播律及权 侧方交会中，A、B两点的坐标以及两点之间的距离已知， 坐标 方位角为 ，由交会的观测角 ，求交会点的坐标。 问题：观测值的函数的中误差与观测值的中误差 之间，存在着怎样的关系？ side1 一、协方差传播律 1、观测值线性函数的方差 已知： 那么： 证明：设： 那么： side2 side3 设 ， 已知 ， 求 的方差 。 解： 由协方差传播律可知： 例： side4 在测站A上， ，无误差，观测 角 的中误差 ， 协方差 ，求角x的中误差。 解： 令 所以，角X的中误差为 例2： side5 2、多个观测值线性函数的协方差阵 已知： side6 在一个三角形中，同
2、精度独立观测得到 三个内角L1、L2、L3，其中误差为，将闭合差 平均分配后各角的协方差阵。 说明： 解： 相关相等精度提高 例3： side7 设有函数， 已知 求 例5：已知函数， 求 解： 例4： side8 设有观测值X的非线性函数： 已知： 3、非线性函数的情况 side9 将Z按台劳级数在X0处展开： side10 side11 例6：设有观测向量L，已知其协方差阵 试求下列函数的方差； 解：） 2）将F2取全微分后得 side12 已知例7： side13 略解： side14 协方差传播应用步骤: 根据实际情况确定观测值与函数,写出具体表达式 运用协方差传播律，写出观测量的协方
3、差阵 对函数式进行线性化，求全微分 将微分关系写成矩阵形式 side15 a1 b1 a2 b2 a b aNbN 1（s) 2(s) N(s) A B TP1TP2 TPN-1 1、水准测量的精度 二、 协方差的应用 精度降低了 倍 说明：当各测站的距离大致相等时，水准测量高差的中误差与距离的 平方根成正比。 side16 精度提高了 倍 设对某量以同精度独立观测了N次，得到观测值N 个，每次测量的中误差均等于 2、同精度独立观测值的算术平均值的精度 side17 解： 例1：Sab=100m，丈量4次平均值的中误差为2cm ，若以同样精度丈量CD16次，Scd=900m，求两段 距离的相对
4、中误差。 side18 4、交会定点的精度 6、时间观测序列平滑平均值的方差 5、GIS线元要素的方差 3、若干独立误差的联合影响 side19 1、权的定义 称为观测值Li的权。权与方差成反比。 二、 权与定权的常用方法 side20 若则 若则 例： side21 3）权是衡量精度的相对指标，为了使权起到比较精 度的作用，一个问题只选一个0。 5）权可能有量纲，也可能无量纲，视0和的单位而定。 4）只要事先给定一定的条件，就可以定权。 6）方差之间比例关系的数字特征。 说明： side22 3、常用的定权方法 1）、水准测量的权 或 2、单位权中误差 side23 2）、边角定权 side
5、24 例1：甲、乙、丙三人在A、B两水准点间作水准 测量，甲路线观测高差为a,单位权中误差为正负3 毫米（以2km为单位权）。乙路线观测高差为b, 单位权中误差为正负2毫米（以1km为单位权） 。丙路线观测高差为c,单位权中误差为正负4毫米 （以4km为单位权）。现欲根据a,b,c三值求A、B 间高差的带权平均值，试求三者的权之比。 side25 解：先求甲、乙、丙三人每公里观测高差的中误差 side26 例2：设对丈量10公里的距离，同精度丈量10次，令其平 均值的权为5，现以同样等级的精度丈量2.5公里的距离 。问丈量此距离一次的权是多少？在本题演算中是以几 公里的丈量中误差作为单位权中误
6、差的？ 解：由同精度观测值的算术平均值的基本公式得，一次 观测的权倒数 所以每次丈量10km的距离的权为： 长度为的距离的权为： 则故 即丈量2.5km的距离一次的 2。所以本演算中是 以5km距离一次丈量中差作 位中差的。 side27 X角为L1，L2两角之和， ，是 由20次观测结果平均而得，每次观测中误差为 ，是由16次观测结果平均而得，每次观测中误差 为 若以 作为单位权中误差，求X角的权 。 例3： side28 1、协因数与协因数阵 三、 协因数与协因数传播律 side29 不难得出： QXX为协因数阵 变换形式为： side30 I 对称，对角元素为权倒数 II 正定 III
7、各观测量互不相关时，为对角矩阵。当 为等精度观测，单位阵。 特点： side31 2、权阵 a、当L相互独立时； b、当L不相互独立时 注：权、权阵、协因数阵的概念 1、引入协因数的意义 权阵P与权P是两个不同的概念： 1、当P为对角阵时，P中对角线元素恰为权P； 2、当P不是对角阵时，P中对角线元素不等于权P side32 例1： side33 2、协因数传播律 已知： side34 已知： 设有观测值X的非线性函数： side35 解： 例3： side36 三个方向观测值L1，L2，L3为同精度独立观测 值，求 的权 解： 例4： side37 求协因数阵 例5：对某量进行三次同精度观测，得独立观测 值L1，L2，L3，由此求得平差值和改正数向量 side38 四、 由真误差计算中误差及其实际应用 1、由三角闭合差求测角中误差 2、由双观测值之差求中误差 side39 经检验，各闭合差包含有系统性的常误差 1、求这组闭合差的中误差； 2、各角观测值的中误差； 3、每测回观测值的中误差 例6：对一三角形的三个角进行了九组同精度的 观测，各组观测值是对各角分别观测四回的平均 值，得到三角形闭合差为： side40 ）由于包含系统误差，故偶然误差 为： 则这组闭合差的中误差为： ） 3） 解： side41
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