1、秒杀高考题型之特殊几何体的性质【秒杀题型一】：长方体、正方体。秒杀策略：性质：长方体的体对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和； 正方体的体对角线与其异面的面对角线垂直； 用一个平面去截正方体，截面边数最多的正多边形为正六边形(取各棱的中点)。1.(2009年新课标全国卷8)如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，且 ，则下列结论中错误的是 ( ) A. B.平面 C.三棱锥的体积为定值 D.异面直线所成的角为定值【解析】：由平面，知，A正确；，平面，知平面，B正确；到平面的距离即为到平面的距离为，且，VABEF为定值，C正确；选D。 2.(2018年新课标全国卷I12)已知正方体的棱
2、长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为 ( )A. B. C. D.【解析】：与一个顶点引出的三条棱所成的角相同即可,最大截面为正六边形,最大面积为。 3.(高考题)正方体的棱长为1，过点作平面的垂线，垂足为点，则以下命题中，错误的命题是 ( )A.点是的垂心 B.垂直平面C.的延长线经过点 D.直线和所成角为【解析】：是等边三角形，是中心,也是垂心，A正确；平面与平行，B正确；体对角线与平面与垂直，C正确；D错误。4.(高考题)正方体中，下面结论错误的是 ( )A.平面 B.C.平面 D.异面直线与角为【解析】：选D。5.(高考题)在正方体中，为对角线
3、的三等分点，则到各顶点的距离的不同取值有 () A.个 B.个 C.个 D.【解析】：选B。【秒杀题型二】：正四面体。秒杀策略：性质：设正四面体的棱长为，高为，全面积为，体积为，内切球的半径为，外接球的半径为，则有：；。正四面体内接于一正方体，且它们内接于同一球，球的直径等于正方体的体对角线；正四面体对棱异面垂直(正三棱锥对棱异面垂直)；与四个顶点距离相等的截面有7个：三个顶点在截面的同一侧有4个，截面两侧各两个有3个。 1.(高考题)如图，正四面体的顶点分别在两两垂直的三条射线上，则在下列命题 中，错误的为 ( )A.是正三棱锥 B.直线平面C.直线与所成的角是 D.二面角为 . 【解析】：
4、选B。2.(2017年新课标全国卷I16)如图，圆形纸片的圆心为，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形的 中心为.、为圆上的点，分别是以，为底边的等 腰三角形，沿虚线剪开后，分别以，为折痕折起，使得、 重合，得到三棱锥.当的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为 。 【解析】：设的边长为，则，求导得当时体积最大，。【秒杀题型三】：直角三棱锥。秒杀策略：性质：三条直角棱中任意一条垂直于另两条所确定的平面；三条直角棱两两确定的平面互相垂直； ;(以为直角棱);直角三棱锥可以还原为一个长方体(以为直角棱);【秒杀题型四】：正八面体。秒杀策略：每个面均为全等的等边三角形的八面体(如明矾晶体)，可看成由两个共底面(正方形)的正四 棱锥对成的。 1.(高考题)若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 ( )A. B. C. D. 【解析】：选B。2.(2018年天津卷)已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点(如图)，则四棱锥的体积为 。 【解析】：。3.(2018年江苏卷)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 。 【解析】：。
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