1、返回返回后页后页前页前页2 数集 确界原理 一、有界集二、确界三、确界的存在性定理四、非正常确界 确界原理本质上体现了实数的完备性，是本章学习的重点与难点.返回返回返回返回后页后页前页前页记号与术语返回返回后页后页前页前页一、有界集定义1 返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页因此 S 无上界.证 故 S 有下界.取 L = 1,例1例2证返回返回后页后页前页前页二、确界定义2若数集 S 有上界, 则必有无穷多个上界, 而其中最小的一个具有重要的作用. 最小的上界称为上确界. 同样, 若S 有下界, 则最大的下界称为下确界.返回返回后页后页前页前页点击上图动画演示注2注1 条件(i)
2、 说明 是 的一个上界, 条件(ii)说明比 小的数都不是 的上界,从而 是最小的上界,即上确界是最小的上界.返回返回后页后页前页前页定义3注2注1 由定义,下确界是最大的下界.返回返回后页后页前页前页证 先证 sup S=1.例2 返回返回后页后页前页前页以下确界原理也可作公理,不予证明.虽然我们定义了上确界, 但并没有证明上确界的存在性, 这是由于上界集是无限集, 而无限数集不一定有最小值, 例如 (0, ) 无最小值.返回返回后页后页前页前页三、确界存在性定理证法一 设 S 是有上界的非空集合.为叙述方便起见,不妨设 S 含有非负数.定理1.1 (确界原理)返回返回后页后页前页前页证明分
3、以下四步:返回返回后页后页前页前页1.S 是有上界的集合,从而 S+ 也是有上界的集合,返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页是正规小数表示.返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页证法二 不妨设返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页事实上,返回返回后页后页前页前页返回返回后页后页前页前页例3证明：数集 A 有上确界，数集 B 有下确界，由定义, 上确界 sup A 是最小的上界, 因此, 任意证 由假设,B 中任一数 y 都是 A 的上界,A 中的任一数 x 都是 B 的下界. 因此由确界原理, A 有上确界, B 有下确界.返回返回后页后页前页前页例4yB; sup A y. 这样, sup A 又是 B 的一个下界, 而 inf B 是最大的下界, 因此 sup A inf B.返回返回后页后页前页前页证必有于是使从而且因此返回返回后页后页前页前页其中必有于是则存在使因此这就证明了返回返回后页后页前页前页四、非正常确界2. 推广的确界原理: 非空数集必有上、下确界.例2 设数集 求证:返回返回后页后页前页前页证 设于是因此反之,若返回返回后页后页前页前页2. 1. 数集 S 有上界，则 S 的所有上界组成的集合是否复习思考题3. 在上确界的定义中，能否改为或改为
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