1、第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学* *第第1 1页页2.1 2.1 随机变量及其分布2.2 2.2 随机变量的数学期望2.3 2.3 随机变量的方差与标准差2.4 2.4 常用离散分布2.5 2.5 常用连续分布2.6 2.6 随机变量函数的分布2.7 2.7 分布的其他特征数第二章 随机变量及其分布第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学* *第第2 2页页2.1.1 随机变量的定义定义2.1.1 设 =为某随机现象的样本空间， 称定义在上的实值函数X=X()为随机变量.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华
2、东师范大学华东师范大学* *第第3 3页页注 意 点 (1)(1) 随机变量X()是样本点的函数， 其定义域为 ，其值域为R=(，) 若 X 表示掷一颗骰子出现的点数， 则 X=1.5 是不可能事件. (2) 若 X 为随机变量，则 X = k 、 a X b 、 均为随机事件.即 a X b =；a 0, 令则有 E(Y)=0, Var(Y)=1.称 Y 为 X 的标准化.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学* *第第3232页页2.4 常用离散分布 2.4.1 二项分布 记为 X b(n, p).X为n重伯努里试验中“成功”的次数,当n=1时，称 b(1
3、, p) 为 0-1分布.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学* *第第3333页页 试验次数为 n=4, “成功”即取得合格品的概率为 p=0.8, 所以, X b(4, 0.8)思考： 若 Y 为不合格品件数，Y ？Y b(4, 0.2) 一批产品的合格率为0.8, 有放回地抽取4次, 每次一件, 则取得合格品件数 X 服从二项分布.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学* *第第3434页页若随机变量 X 的概率分布为则称 X 服从参数为 的泊松分布, 记为 X P().2.4.2 泊松分布第二章第二章 随机变量及其分
4、布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学* *第第3535页页记为 X h(n, N, M).超几何分布对应于不返回抽样模型 ： N 个产品中有 M 个不合格品， 从中抽取n个，不合格品的个数为X .2.4.3 超几何分布第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学* *第第3636页页记为 X Ge(p) X 为独立重复的伯努里试验中， “首次成功”时的试验次数. 几何分布具有无记忆性，即： P( X m+n | X m ) = P( X n )2.4.4 几何分布第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学* *第第3737页页注
5、 意 点 (1) 二项随机变量是独立 0-1 随机变量之和. (2) 负二项随机变量是独立几何随机变量之和.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学* *第第3838页页常用离散分布的数学期望 几何分布Ge(p) 的数学期望 = 1/p 0-1 分布的数学期望 = p 二项分布 b(n, p)的数学期望 = np 泊松分布 P() 的数学期望 = 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学* *第第3939页页常用离散分布的方差 0-1 分布的方差 = p(1p) 二项分布 b(n, p)的方差 = np(1p) 泊松分布 P()
6、的方差= 几何分布Ge(p) 的方差 = (1p)/p2第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学* *第第4040页页2.5 常用连续分布正态分布、均匀分布、指数分布、伽玛分布、贝塔分布。第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学* *第第4141页页记为X N(, 2),其中 0， 是任意实数. 是位置参数. 是尺度参数.2.5.1 正态分布第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学* *第第4242页页yxO第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学* *第第4343页
7、页正态分布的性质(1) p(x) 关于 是对称的.p(x)x0在 点 p(x) 取得最大值.(2) 若 固定, 改变, (3) 若 固定, 改变,小大p(x)左右移动, 形状保持不变. 越大曲线越平坦; 越小曲线越陡峭.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学* *第第4444页页p(x)x0 xx标准正态分布N(0, 1)密度函数记为 (x),分布函数记为 (x).第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学* *第第4545页页一般正态分布的标准化定理2.5.1 设 X N(, 2),则 Y N(0, 1).推论: 若 X N(,
8、 2), 则第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学* *第第4646页页若 X N(, 2), 则 P(Xa) = 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学* *第第4747页页 设 X N(10, 4), 求 P(10X13), P(|X10|2).解: P(10X13) = (1.5)(0)= 0.9332 0.5P(|X10|2) = P(8X12)= 2(1)1= 0.6826= 0.4332例2.5.3第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学* *第第4848页页正态分布的 3 原则设
9、X N(, 2), 则 P( | X | ) = 0.6828. P( | X | 2 ) = 0.9545. P( | X | 3 , 则 P(A) = P( X 3) = 2/3设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数,则 Y b(3, 2/3)，所求概率为 P(Y2) = P(Y=2)+P(Y=3)=20/27例2.5.5第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学* *第第5151页页2.5.3 指数分布记为 X Exp(), 其中 0.特别：指数分布具有无忆性，即：P( X s+t | X s )=P( X t )第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及
10、其分布 华东师范大学华东师范大学* *第第5252页页常用连续分布的数学期望 均匀分布 U(a, b) : E(X) = (a+b)/2 指数分布 Exp() : E(X) = 1/ 正态分布 N(, 2) : E(X) = 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学* *第第5353页页常用连续分布的方差 均匀分布 U(a, b) 的方差 = (b a)2/12 指数分布 Exp() 的方差= 1/2 正态分布 N(, 2) 的方差= 2第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学* *第第5454页页例2.5.6 已知随机变量 X
11、服从二项分布，且 E(X)= 2.4, Var(X)=1.44, 则参数 n, p 的值为多少？例2.5.7 设 X 表示 10 次独立重复射击命中目标 的次数,每 次射中目标的概率为0.4, 则 E(X2)的值为多少？解：从 2.4= np, 1.44 = np(1p) 中解得解：因为 E(X) = np = 4, Var(X)= 2.4, 所以n=6, p=0.4. E(X2) = Var(X)+(E(X)2= 2.4+16=18.4第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学* *第第5555页页2.7 分布的其它特征数矩、变异系数、分位数、中位数第二章第二章
12、 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学* *第第5656页页2.7.1 k 阶原点矩和中心矩 k 阶原点矩：k = E(Xk) ， k = 1, 2, . 注意: 1 = E(X). k 阶中心矩：k = EXE(X)k ， k = 1, 2, . 注意: 2 = Var(X). 定义2.7.1第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学* *第第5757页页2.7.2 变异系数定义2.7.2 为 X 的变异系数.作用：称CV 是无量纲的量, 用于比较量纲不同的两个随机变量的波动大小.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学
13、华东师范大学* *第第5858页页2.7.3 分位数P( X xp ) = F(xp) = p定义2.7.3 设 0 p 1， 若 xp 满足则称 xp 为此分布 p - 分位数，亦称 xp 为下侧 p - 分位数.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学* *第第5959页页注 意 点(1) 因为 X 小于等于 xp 的可能性为 p ， 所以 X 大于 xp 的可能性为 1 p .(2) 对离散分布不一定存在 p - 分位数.(3) 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学* *第第6060页页上侧 p - 分位数若记 xp 为
14、上侧 p - 分位数，即则P(X xp) = p 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学* *第第6161页页2.7.4 中位数定义2.7.4 称 p = 0.5 时的p 分位数 x0.5 为中位数.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学* *第第6262页页中位数与均值 相同点：都是反映随机变量的位置特征. 不同点：含义不同.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 华东师范大学华东师范大学* *第第6363页页统计中常用的 p - 分位数 (1) N(0, 1)： Z , U (2) 2(n)： (3) t (n)： (4) F (n, m)：
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