NIM（2）“拈”游戏分析.pdf

1、题目 1-12 NIM“拈”游戏分析 1 NIM“拈”游戏分析 问题 有 N块石头和两个玩家 A和 B， 玩家 A先将石头分成若干堆， 然后按照 BABA 的顺序不断轮流取石头，能将剩下的石头一次取光的玩家获胜。每次取石头时，每个玩 家只能从若干堆石头中任选一堆，取这一堆石头中任意数目（大于 1）个石头。 请问：玩家 A有必胜策略吗？要怎么分配和取石头才能保证自己有把握取胜？ 解法与分析 据说，该游戏起源于中国，英文名字叫做“NIM”，是由广东话“拈”（取物之意） 音译而来，经由当年到美洲打工的华人流传出去，这个游戏一个常见的变种是将十二枚 硬币分三列排成 3，4，5 再开始玩 。我们这里讨论

2、的是一般意义上的“拈”游戏。 言归正传，在面试者咄咄逼人的目光下，你要如何着手解决这个问题？ 在面试中，面试者考察的重点不是“what”能否记住某道题目的解法，某件历 史事件发生的确切年代，C+语言中关于类的继承的某个规则的分支等。面试者很想知 道的是“how”应聘者是如何思考和学习的。 所以，应聘者得展现自己的思路。解答这类问题应从最基本的特例开始分析。我们 用 N表示石头的堆数，M 表示总的石头数目。 当 N=1 时， 即只有一堆石头显然无论你放多少石头， 你的对手都能一次全拿光， 你不能这样摆。 当 N=2 时，即有两堆石头，最简单的情况是每堆石头中各有一个石子（1，1） 先让对手拿，无

3、论怎样你都可以获胜。我们把这种在双方理性走法下，你一定能够赢的编程之美微软技术面试心得 第1章 游戏之美 2 局面叫作安全局面。 当 N = 2，M 2 时，既然（1, 1）是安全局面，那么（1, X）都不是安全局面，因 为对手只要经过一次转换，就能把（1, X）变成（1, 1），然后该你走，你就输了。既然 （1, X）不安全，那么（2, 2）如何？经过分析，（2，2）是安全的，因为它不能一步变 成（1，1）这样的安全局面。这样我们似乎可以推理（3, 3）、（4, 4），一直到（X, X） 都是安全局面。 于是我们初步总结，如果石头的数目是偶数，就把它们分为两堆，每堆有同样多的 数目。这样无论

4、对手如何取，你只要保证你取之后是安全局面（X, X），你就能赢。 好，如果石头数目是奇数个呢？ 当 M=3 的时候，有两种情况，（2, 1）、（1, 1, 1），这两种情况都会是先拿者赢。 当 M=5 的时候，和 M=3类似。无论你怎么摆，都会是先拿者赢。 若 M=7 呢？情况多起来了，头有些晕了，好像也是先拿者赢。 我们在这里得到一个很重要的阶段性结论： 当摆放方法为（1, 1, 1）的时候，如果 1 的个数是奇数个，则先拿者赢；如果 1 的个数是偶数个，则先拿者必输。 当摆放方法为（1, 1, 1, X）（多个 1，加上一个大于 1 的 X）的时候，先拿者必 赢。因为： 如果 1 有奇数个

5、，先拿者可以从（X）这一堆中一次拿走 X-1 个，剩下偶数个 1 接下来动手的人必输。 如果有偶数个 1，加上一个 X，先拿者可以一次把 X 都拿光，剩下偶数个 1 接下来动手的人也必输。 当然，游戏是两个人玩的，还有其他的各种摆法，例如当 M = 9 的时候，我们可以 摆为（2, 3, 4）、（1, 4, 4）、（1, 2, 6），等等，这么多堆石头，它们既互相独立，又 互相牵制，那如何分析得出致胜策略呢？关键是找到在这一系列变化过程中有没有一个 特性始终决定着输赢。这个时候，就得考验一下真功夫了，我们要想想大学一年级数理 逻辑课上学的异或（XOR）运算。异或运算规则如下： 编程之美微软技术

6、面试心得 题目 1-12 NIM“拈”游戏分析 3 XOR（0, 0）= 0 XOR（1, 0）= 1 XOR（1, 1）= 0 首先我们看整个游戏过程，我们从N堆石头（M 1 , M 2 , , M n ）开始，双方斗智斗勇， 石头一直递减到全部为零（0, 0, 0）。 当 M 为偶数的时候，我们的取胜策略是把 M 分成相同的两份，这样就能取胜。 开始：（M 1 , M 1 ） 它们异或的结果是XOR（M 1 , M 1 ）= 0 中途：（M 1 , M 2 ） 对手无论怎样从这堆石头中取，XOR（M 1 , M 2 ）!= 0 我方：（M 2 , M 2 ） 我方还是把两堆变相等。XOR（

7、M 2 , M 2 ）= 0 最后：（M 2 , M 2 ） 我方取胜 类似的，若M为奇数，我们把石头分成（1, 1, ,1）奇数堆的时候， XOR（1, 1,1） 奇数个 !=0。而这时候，对方可以取走一整堆，XOR（1, 1, 1） 偶数个 =0，如此下去，我 方必输。 我们推广到 M 为奇数， 但是每堆石头的数目不限于 1 的情况， 看看 XOR 值的规律： 开始：（M 1 , M 2 , , M n ） XOR（M 1 , M 2 , M n ）=？ 中途：（M 1 , M 2 , M n ） XOR（M 1 , M 2 , M n ）=？ 最后：（0, 0, , 0） XOR（0，0

8、， 0）=0 不幸的是，可以看出，当有奇数个石头时，无论你如何分堆， XOR（M 1 , M 2 , M n ） 总是不等于 0！因为必然会有奇数堆有奇数个石头（二进制表示最低位为 1），异或的 结果最低位肯定为 1。 结论 1 再不幸的是，还可以证明，当XOR（M 1 , M 2 , M n ）!= 0 时，我们总是只需要改变 一个M i 的值，就可以让XOR（M 1 , M 2 , M i ， M n ）= 0。 结论 2 更不幸的是，又可以证明，当XOR（M 1 , M 2 , M n ）= 0 时，对任何一个M值的改 变（取走石头），都会让XOR（M 1 , M 2 , M i ， M

9、 n ）! = 0。 结论 3 编程之美微软技术面试心得 第1章 游戏之美 4 有了这三个“不幸”的结论，我们不得不承认，当 M 为奇数时，无论怎样分堆， 总是先动手的人赢。 还不信？那我们试试看：当 M=9，随机分堆为（1，2，6） 开始：（1，2，6） 1=0 0 1 2=0 1 0 6=1 1 0 X O R=1 0 1 即 XOR（1，2，6）!=0 B 先手：（1, 2, 3），即从第三堆取走三个，得到（1，2，3） 1=0 0 1 2=0 1 0 3=0 1 1 X O R=0 0 0 所以，XOR（1，2，3）=0 A方：（1, 2, 2）XOR（1, 2, 2）!=0。 B 方

10、：（0, 2, 2）XOR （0, 2, 2）=0 A方继续顽抗 B 方最后：（0, 0, 0），XOR（0, 0, 0）= 0 好了，通过以上的分析，我们不但知道了这类问题的答案，还知道了游戏的规律， 以及如何才能赢。XOR，这个我们很早就学过的运算，在这里帮了大忙 1 。我们应该对 XOR说Orz才对！ 有兴趣的读者可以写一个程序，返回当输入为（M 1 , M 2 , , M n ）的时候，到底如 何取石头，才能有赢的可能。比如，当输入为（3, 4, 5）的时候 2 ，程序返回（1, 4, 5） 这样就转败为胜了！ 扩展问题 1如果规定相反，取光所有石头的人输，又该如何控制局面？ 1温 馨 提示： 你还记 得教我 们XOR 运 算的老 师么？这 门课一 定比较枯 燥吧， 如果当时 能玩NIM这 个游 戏就好 了。 2提 一 句，这 是一个 不明智 的分堆办 法，不 如分为（6, 6），这 样必赢 无疑。 编程之美微软技术面试心得 题目 1-12 NIM“拈”游戏分析 5 2如果每次可以挑选任意K堆，并从中任意取石头，又该如何找到必胜策略呢？ 编程之美微软技术面试心得