1、第十六章 坐标变换、参数方程和极坐标方程161 坐标轴的平移基础练习1已知双曲线的两条渐近线方程分别是，实轴在平行于轴的直线上，且实轴长为，求双曲线方程，并写出顶点坐标和焦点坐标解：，顶点坐标,，焦点坐标为，2证明：二次函数的图形是一条抛物线解：（提示：把原方程化简，如果能化成抛物线的标准方程，就可以证明它是抛物线）设，得3已知抛物线的对称轴平行于轴，顶点是（1，2），且过点（3，6），求抛物线方程解：设由顶点的定义知=，再将点的坐标代入可得4已知双曲线两顶点坐标是，虚轴长为，求双曲线方程解：两个顶点的中点坐标，所以双曲线的中心为，从而可以设双曲线为继而可得双曲线方程为5已知两个定圆和，一动圆
2、和它们都相外切，求动圆的圆心的轨迹方程解：由题，动圆的圆心到两圆圆心，的距离之差等于两圆的半径之差，所以其轨迹为一双曲线的右支，其中心为，两焦点为，从而可得轨迹方程为，6椭圆的中心在直线上滑动，对称轴作平行移动，（1）求滑动时椭圆的方程（2）中心滑到何位置时，椭圆与直线相交所得的弦长为解：（1）（2），即中心为或7已知的两个顶点，是椭圆的两个焦点，顶点在抛物线上移动求的重心轨迹方程解：由题可得，设，由重心坐标公式，重心，所以的重心轨迹方程为8已知抛物线的焦点和准线分别是椭圆的一个焦点和对应的准线，求这个椭圆的短轴端点的轨迹方程解：通过坐标变换分析，易知焦点为，准线为设椭圆短轴的一个端点为，则，
3、由点到焦点的距离与到准线的距离之比是知：，化简得，即162 坐标轴的旋转变换基础练习1设旋转解，求新坐标系中的两点，在原坐标系中的坐标解：由坐标轴的旋转公式，2设旋转角，求原坐标系中的两点，在新坐标系中的坐标解：由坐标轴的旋转公式可得，3按所给的角臼旋转坐标轴，变换下列各方程：（1），（2），（3），（4），解：直接利用坐标旋转公式：（1）将代入得（2）将代入得（3）将代入得（3）将代入得4利用坐标轴的旋转，化简下列方程，使其不含项（1）（2）（3）（4）解：为使其不含项，对二次曲线，旋转角满足（1），将代入得（2），将代入得（3），将代入得（4），将代入得163 直线与圆锥曲线的参数方程基础
4、练习1若参数方程（为参数）表示的抛物线焦点总在一条定直线上，这条直线的方程是_解：消去，可得，从而其焦点所在定直线为2给定椭圆，如果存在过左焦点的直线交椭圆于，两点，且，则离心率的取值范围是_解：直接联立直线与椭圆方程求解，的取值范围为3设一椭圆中心为原点，长轴在轴上，离心率为，若圆上点与这个椭圆上点的最大距离为，试求这个椭圆的方程解：等价于圆心到椭圆上的点最大距离为，设椭圆方程为，则任取椭圆上一点，则，若，则当时，取最大值，即，故矛盾若，则当时，取最大值，即，则椭圆的方程为4已知抛物线及定点，是抛物线上的点，设直线，与抛物线的另一个交点分别为，当变动时，直线恒过一个定点，此定点坐标为_解：设
5、，由，共线得，同理，共线得，设是直线上的点，则，将以上三式中消去，得：当，时上式恒成立，即定点为5已知：设，为正实数，为参变量，则满足且的点的轨迹方程是_解：由辅助角公式，知，所以点的轨迹方程为6实数，满足，设，则的值为_解：易知，设，代入，得于是，得，故，故7已知，求的值域解：设，则，由此可知能力提高8过椭圆中心作互相垂直的两条弦，设点，的离心角分别为和（这里的离心角是，等于说的坐标为），求的取值范围解：当，恰与坐标轴重合时，；当，与坐标轴不重合时，令，则，故由题意知，则，故；取等号条件是，即的倾斜角为或时，故9设动点在椭圆的内部，过作椭圆的弦，证明：，中必有一个不超过证明：弦所在直线的参数
6、方程是，代入椭圆方程得，由韦达定理，上面方程两根满足：，所以，中必有一个不超过164 极坐标系基础练习1在极坐标系中，作出下列各点的点：（1），（2），并说明这五个点有什么关系（3），并说明这五个点有什么关系解：（1）略（2）五个点在以极点为圆心半径为的圆上（3）五个点在倾斜角且过极点的直线上2若，请判断极坐标方程和方程的关系解：这两个方程是等价的，均表示同一点3已知，为极点，求的面积解：，易得4从极点作直线与直线相交于，在上取点，使得，求点的轨迹方程解：能力提高5求圆心为，半径为的圆的极坐标方程解：6如图，求经过点，且与极轴垂直的直线的极坐标方程解：7已知直线上三点的极坐标分别为，且，均为正
7、数求证：证：若过极点，则，结论成立若不过极点，不妨设，则由三解形面积公式得，移项，两边除以即得165 圆锥曲线的极坐标方程基础练习1求双曲线的实轴长解：对照圆锥曲线的统一极坐标方程，知实轴长为2在极坐标系下，和圆相切的一条直线方程为（ ）（A）（B）（C）（D）解：由题，该圆的直角坐标方程为，所以与该圆相切，故选B3请判断极坐标方程所确定的曲线解：，故曲线的离心率大于，所以为双曲线4曲线与曲线关于直线对称，求曲线的方程解：为极角，由极坐标的对称可得，5求双曲线的直角坐标方程解：对照圆锥曲线的统一极坐标方程：，同时注意到其右焦点位于原点处，故为能力提高6过抛物线的焦点作弦，求的值解：由统一方程，
8、设，故，得7已知椭圆，为其左焦点，过作两直线，分别交椭圆于、和，且，求四边形面积最大值和最小值解：由得，以为极点、为极轴建立极坐标系，则椭圆方程为依题意，不忍妨设，则，其中所以，又由得：当时，取最大值；当时，取最小值8已知椭圆，直线，是上的一点，射线交椭圆于点，又在上且满足，当点在上移动时，求的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线解：以原点为极点，轴正方向为极轴建立极坐标系，则椭圆和直线的极坐标方程分别是，设，则由得，即变形整理将其转换成直角坐标系即所以所求点轨迹是中心为，长轴长为，短轴长为的椭圆（除去原点）166 解析几何的综合运用能力提高1已知两曲线与关于轴对称，试判断它们是什么曲线解：，所以是
9、椭圆2一抛物经的顶点和焦点分别是椭圆的左右焦点，求此抛物线的方程解：椭圆方程为，所以其左右焦点为，所以抛物线方程为3将曲线先向右平移一个单位，再向下平移两个单位，得曲线在直线上取一点，过作与曲线共焦点的椭圆，则所作的椭圆长轴最短时，求点的坐标解：曲线为，焦点为，点的选取为到两点距离之和最小的点，作关于直线的对称点，连接，交直线于，故点的坐标为4如果双曲线经过平移坐标轴后得新方程，求新坐标系下的坐标原点在原坐标系下的坐标解：原双曲线为，经平移后双曲线中心变为，故新坐标下的坐标原点在原坐标系下的坐标为5已知圆和直线，求圆关于直线对称的圆方程解：考虑圆心的对称，6抛物线沿轴平移_个单位（正方向为正）
10、，沿轴平移_个单位（正方向为正）后，与直线相切于解：的判别式等于零，又过点，所以7设抛物线向右平移一个单位，向上平移两个单位后与直线相切，求切点坐标解：的判别式等于零，解得8已知椭圆，试求对称中心到准线的距离解：中心，准线，可得距离为9将椭圆在坐标平面上平行移动，使它的中心保持在上，当椭圆在截得弦长为时，求中心的坐标解：椭圆，联立与椭圆方程，可以解得中心坐标为或10已知两个定圆和，一动圆与它们都相外切，求圆心的轨迹解：由题意，动圆的圆心到两圆圆心的距离之差等于两圆的半径之差，所以其轨迹为一双曲线的右支，其中心为，两点为，从而可得轨迹为双曲线的右支11直线到直线的角为且和圆相切，求的方程解：利用
11、直线之间的到角公式可得：设直线方程为：则，所以的方程为或12将曲线先向左平移个单位，再向上平移个单位，得曲线在直线上任取点，以曲线的焦点为焦点，过作椭圆，问：点何处时，所作椭圆的长轴最短，并求出具有最短长轴的椭圆方程解：平移后曲线的方程为两焦点为，点到以上两点距离和最小，且在直线上，故，13设圆与双曲线有四个交点，依顺时针方向排列为，若直线、的倾角分别为，求理：解：设圆的圆心为，设直红的参数方程为：，与双曲线的方程联立，可得：，化简得：，则同理，设直线的参数方程为，与双曲线的方程联立，可得化简，得，则由相交线定理可知，得，得14用旋转的方法证明曲线为抛物线解：提示：得用从标旋转公式即可 代入方程，可得，其中， ，为了使，则得，只要取满足，即可则取，则，则方程为：，此方程显然为抛物线方程，得证
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