1、原函数：F（x）=f（x），xI，则称 F（x）是 f（x）的一个“原函数”。若 F（x）是 f（x）在区间上的一个原函数，则 f（x）在区间上的全体函数为 F（x）+c（其中 c 为常数）基本积分表cxdxx111（1， 为常数）零函数的所有原函数都是 cC 代表所有的常数函数运算法则dxxgdxxfdxxgxfdxxfadxxfa)()()()()()(cxFdxxxf)()( )(复合函数的积分：cbxFdxbxfcbaxFabaxdbaxfadxbaxf)()()(1)()(1)(一般地，连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的函数一定不连续。不定积分的计算方法
2、凑微分法凑微分法（第一换元法），利用复合函数的求导法则变量代换法变量代换法（第二换元法），利用一阶微分形式不变性分部积分法分部积分法：【解释：一阶微分形式不变性】释义：函数对应：y=f(u)说明：数乘运算加减运算线性运算cxdxaxax22ln122分段函数的积分例题说明：dxx2, 1max在做不定积分问题时， 若遇到求三角函数奇次方的积分，最好的方法是将其中的一隐函数求不定积分例题说明：三角有理函数积分的万能变换公式某些无理函数的不定积分欧拉变换其他形式的不定积分1、不定积分的定义及一般积分方法2、特殊类型不定积分求解方法汇总1、不定积分的定义及一般积分方法定义：若函数若函数 f(x)f(
3、x)在区间在区间 I I 上连续，则上连续，则 f(x)f(x)在区间在区间 I I 上存在原函数。其中上存在原函数。其中(x)=F(x)+c(x)=F(x)+c0 0,(c,(c0 0为某个常数），则为某个常数），则(x)=F(x)+c(x)=F(x)+c0 0属于函数族属于函数族 F(x)+cF(x)+c一般积分方法值得注意的问题：第一，一般积分方法并不一定是最简便的方法，要注意综合使用各种积分方法，简便计算；第二，初等函数的原函数并不一定是初等函数，因此不一定都能够积出。不能用普通方法积出的积分：2、特殊类型不定积分求解方法汇总多次分部积分的规律简单无理函数的积分被积函数为简单式的有理式
4、，可以通过根式代换化为有理函数的积分小结：几分钟含有根号，应当考虑采用合适的方法去掉根号再进行计算。几种简化定积分的计算方法关于原点对称区间上的函数的定积分aaadxxfdxxfaaxf0)(20)(,)(1上连续，则：在区间、若函数设 f(x)是周期为 T 的周期函数，且连续。则：132.231221.231cossin)2(2, 0cos,sin2020nnnnnnnndxxdxxnnxxnnnn，有：对于任意的自然数上的积分在分的值无关，依然可以正常去求。极坐标与直角坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。设 M 是平面内任意一点，
5、它的直角坐标是(x,y)，它的极坐标是(,0).则：0tansincos222xxyyxyxy定积分中容易混淆的 x 与 t 的关系的问题当 f(x)为奇函数当 f(x)为偶函数（n 为偶数）（n 为奇数）x对于定积分，被积表达式中的无所谓对于定积分，被积表达式中的无所谓 t t 还是还是 x x，最后都会被积分上下限所替代。，最后都会被积分上下限所替代。所以在变限函数积分的上下限中含所以在变限函数积分的上下限中含 x x 的时候，被积表达式用的时候，被积表达式用 t t 表示以示区别。表示以示区别。当然如果此时被积表达式中含当然如果此时被积表达式中含 x x 和和 t t，在二者都有的情况下
6、，则把，在二者都有的情况下，则把 x x 看成常数提看成常数提到外面或者换元换走到外面或者换元换走 x x。例证：定积分证明问题中关于 x 与 t 化简后的计算方法：积分中值定理是积分学的一个重要性质。它建立了定积分与被积函数之间的关系， 从而使我们可以通过被积函数的性质研究积分的性质，有较高的理论价值以及广泛的应用。一、积分中值定理的内容一、积分中值定理的内容定理：积分第一中值定理定理：推广的积分第一中值定理二、积分中值定理的应用二、积分中值定理的应用由于该定理可以使积分符号去掉，从而使问题简化，对于证明包含函数积分和某个函数之间的等式或不等式，常可以考虑使用积分中值定理在应用积分中值定理时
7、应注意以下几点：在应用中应注意被积函数在区间a,b上这一连续条件，否则结论不一定会成立在定理中的 g(x)在a,b上面不能变号，这个条件也不能去掉。定理中所指出的并不一定是唯一的，也不一定必须是a,b内的点下面就其应用进行讨论估计定积分的值估计定积分的值求含有定积分的极限求含有定积分的极限说明：解决此类问题的关键是用积分中值定理去掉积分符号。在应用该定理说明：解决此类问题的关键是用积分中值定理去掉积分符号。在应用该定理时，要注意中值不仅依赖于积分区间，而且依赖于限式中时，要注意中值不仅依赖于积分区间，而且依赖于限式中 n n 的趋近方式。的趋近方式。证明中值的存在性命题证明中值的存在性命题说明
8、：在证明有关题设中含有抽象函数的定积分等式时，一般应用积分中值定说明：在证明有关题设中含有抽象函数的定积分等式时，一般应用积分中值定理。理。证明积分不等式证明积分不等式说明：由于积分有许多特殊的运算性质，故积分不等式的证明往往具有很强说明：由于积分有许多特殊的运算性质，故积分不等式的证明往往具有很强的技巧性。在证明含有定积分的不等式时，也常考虑使用积分中值定理，以便的技巧性。在证明含有定积分的不等式时，也常考虑使用积分中值定理，以便去掉积分符号。 若被积函数是两个函数之积时， 可考虑使用广义积分中值定理。去掉积分符号。 若被积函数是两个函数之积时， 可考虑使用广义积分中值定理。证明函数的单调性
9、证明函数的单调性积分中值定理的拓展积分中值定理的拓展第二积分中值定理第二积分中值定理如果函数f(x)在闭区间a,b上可积， 而g(x)在区间(a,b)上单调， 则在a,b上至少存在一点，使得：特别地，g(x)在a,b上单调递增，则：特殊积分中值定理特殊积分中值定理若函数 f(x)在区间a,b上连续，g(x)在a,b上可积且不变号，则在a,b上必存在一点，使得：第二积分中值定理和特殊积分中值定理统称为“广义积分中值定理”。第二积分中值定理和特殊积分中值定理统称为“广义积分中值定理”。函数 y=f(x)与其反函数 y=f-1(x)的图形对称于直线 y=x无穷小量是以零为极限的一个变量连续点无穷多个无穷小量之和，则是无穷小，或是无穷大，或有可能是有界量设函数，则级数收敛，其和为 1已知与均收敛,则函数在原点间断，是由于在原点二重极限不存在12p设收敛，则函数不定函数f(x)在点x0极限存在是函数在该点连续的必要条件对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数函数的变量是在一个变化过程中可以取不同数值的量一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像。变换二重积分的积分次序后 I=微分方程的通解是已知,则f(x,y)= 例题例题 若
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