1、S H U X U E普通高中教科书上 海 教 育 出 版 社必修第一册易文网：w w w .e w e n.co定 价： 11.90元 声明 按照中华人民共和国著作权法第二十五条有关规定，我们已尽量寻找著作权人支付报酬. 著作权人如有关于支付报酬事宜可及时与出版社联系.主 编 李大潜 王建磐副 主 编 应坚刚 鲍建生本册编写人员 王伟叶 傅吉祥 王春明 王志强 潘 奋 吴泉水 高卫国 邱维元责任编辑 张莹莹装帧设计 陆 弦 王 捷 周 吉本册教材图片提供 全景网（封面一幅图， P1一幅图，封底一幅图）；图虫网（P23一幅图，P98一幅图，P105一幅图，P128一幅图）；壹图网（P75一幅图
2、）； 上海教育出版社有限公司（P70一幅图）插图绘制 肖征波 周 吉 朱泽宇版权所有未经许可不得采用任何方式擅自复制或使用本产品任何部分违者必究如发现内容质量问题，请拨打 021-64319241如发现印、装质量问题，影响阅读，请与上海教育出版社有限公司联系. 电话021-64377165全国物价举报电话：12315普通高中教科书 数学 必修 第一册上海市中小学（幼儿园）课程改革委员会组织编写出版上海教育出版社有限公司（上海市永福路123号）发行上海新华书店印刷上海中华印刷有限公司版次2020年7月第1版印次2021年7月第3次开本8901240 1/16印张9.5字数164 千字书号978-
3、7-5720-0183-3/G0140定价11.90 元书 书 书前言 前言数学应该是绝大多数人一生中学得最多的一门功课认真学习数学，努力学好数学，不仅可以牢固地打好数学的知识基础，掌握一种科学的语言，为走进科学的大门提供有力的工具和坚实的后盾；更重要地，通过认真而严格的数学学习和训练，可以领会到数学的思想方法和精神实质，造就一些特有而重要的素质和能力，形成自己的数学素养，让人变得更加聪明，更有智慧，更有竞争力，终身受用不尽从这个意义上，可以毫不夸张地说，数学教育看起来似乎只是一种知识教育，但本质上是一种素质教育，其意义是十分深远的中学阶段的数学学习，应该为学生今后的成长和发展奠定坚实的基础，
4、编写教材也要力求遵循这一根本宗旨那种以种种名义，将一些“高级”或“时髦”的东西，不顾实际情况地下放进中学的教材，和数学的基础训练“抢跑道”的做法，是不可取的同时，数学学科是一个有机联系的整体，一定要避免知识的碎片化，从根本上改变单纯根据“知识点”来安排教学的做法人为地将知识链条打断，或将一些关键内容以“减负”的名义删去，只会造成学生思维的混乱，影响学生对有关知识的认识与理解，实际上反而会加重学生学习的负担，是不值得效法的在任何情况下，都要基于课程标准，贯彻“少而精” “简而明”的原则，精心选择与组织教材内容，抓住本质，返璞归真，尽可能给学生以明快、清新的感受，使学生能更深入地领会数学的真谛，让
5、数学成为广大学生喜闻乐见的一门课程怎么才算“学好了数学”呢？对这个问题是需要一个正确的认识的作为一门重思考与理解的学科，数学学习要强调理解深入、运作熟练和表达明晰这三个方面这儿所说的“运作”泛指运算、推理及解题等环节三者的关键是深入的理解，只有不仅知其然、而且知其所以然，才能掌握数学的精髓，更好地实现另外两方面的要求如果只满足于会解题，甚至以“刷题”多与快为荣，但不求甚解，就难以和数学真正结缘，是不值得鼓励与提倡的表达能力的培养也要引起足够的重视要使表述简明清晰并不是一件容易的事，别前言 人三言两语就说清楚了的，自己却颠三倒四、不得要领，能够说真正弄懂了数学吗？ ！为了帮助学生学好数学，也为了
6、帮助教师教好数学，本教材秉承上述理念，在编写上做了认真的探索与实践，希望能成为广大师生的良师益友，更好地发挥引路和示范的作用书中各章的章首语，虽只有不到一页的篇幅，但却是该章入门的一个宏观向导，务请认真注意各章末的内容提要，简明扼要地列出了该章的核心内容，希望对复习能起到较好的帮助各章的主体内容，包括正文、练习及复习题以及边注，更是字斟句酌、精心编写的希望广大同学养成认真阅读及钻研教材的习惯，这样就一定会发现，学习中所碰到的种种问题，原则上都可以从教材中找到答案，大家的学习方法和自学能力也一定会得到极大的提升，从而牢牢掌握住学习数学的主动权本套教材涵盖普通高中数学课程标准（ 年版） 所规定的必
7、修课程和选择性必修课程的内容，共分七册，包括必修四册、选择性必修三册，其中必修第四册和选择性必修第三册是数学建模的内容必修前三册和选择性必修前两册共同构建了高中数学的知识体系和逻辑结构；数学建模内容与数学知识的逻辑结构没有直接的关系，不依附于特定知识性内容的教学，而在于强调数学知识在解决实际问题中的应用，强调它的活动性、探索性和综合性因此，两册数学建模教材不是前三册或前两册教材的后继，而且都包含比教学课时数要求更多的内容，供各个年段灵活地、有选择地使用，以实现数学建模的教学目标 年月书 书 书目录 第章集合与逻辑 集合初步 常用逻辑用语 内容提要 复习题 第章等式与不等式 等式与不等式的性质
8、不等式的求解 基本不等式及其应用 内容提要 复习题 第章幂、指数与对数 幂与指数 对数 内容提要 复习题 第章幂函数、指数函数与对数函数 幂函数 指数函数 目录 对数函数 内容提要 复习题 第章函数的概念、性质及应用 函数 函数的基本性质 函数的应用 反函数 内容提要 复习题 书 书 书第章集合与逻辑数学语言十分精确，不容易产生歧义集合是现代数学语言的重要组成部分使用集合的语言，可以准确、简洁地表示所要研究的对象，更好地描述所研究的对象之间的关系数学作为很多其他学科的基础和工具，其内涵及语言都是按照逻辑的方式来组织的根据正确的前提，按照严格的逻辑推理，总是能够得到正确的结论在数学语言的表达方面
9、，有一些公认的特殊约定，努力学习并遵循这些约定，能够更好地在数学领域里与他人开展交流，对进一步的学习和研究都非常有益集合与逻辑 集合初步集合我们经常需要把满足一定要求或具有一定特征的对象放在一起或归为一类例如：（）申辉中学高一（）班的全体学生；（）所有不大于 的自然数；（）直线犾上的所有点；（）不等式狓的所有解；（）太阳系的所有行星概括地说，把一些确定的对象的全体叫做集合（ ） ，简称集集合通常用大写字母犃、犅、犆表示集合所含的各个对象叫做该集合的元素（ ）元素通常用小写字母犪、犫、犮表示如果犪是集合犃的元素，就记作犪犃，读作“犪属于犃” ；如果犪不是集合犃的元素，就记作犪犃，读作“犪不属于犃
10、”例如，若犃是由数、组成的集合，则犃，犃集合的元素是确定的也就是说，给定一个集合，一个对象在不在这个集合中就确定了例如，“我国的直辖市”组成一个集合，北京、上海、天津、重庆在这个集合中，而杭州、南京、深圳等城市不在这个集合中一些不确定的对象不能组成一个集合例如，“我们班里高个子的同学”不能组成一个集合因为“高个子”的标准不够明确、具体，所以“我们班里高个子的同学”是不确定的一个给定集合中的各个元素是互不相同的，即一个元素在同一个集合中是不能重复出现的如果两个集合犃与犅的组成元素完全相同，就称这两个集合相等，记作犃犅元素个数有限的集合称为有限集，否则就称为无限集例判断下列集合是有限集还是无限集，
11、并说明理由：（）的正整数倍的全体组成的集合；康托（ ， ） ，德国数学家，集合论创始人 集合初步 （） 的正约数的全体组成的集合；（） 年在上海出生的所有人组成的集合；（）给定的一条长度为的线段上的所有点组成的集合解（）的正整数倍可表示为狀，其中狀是正整数因为正整数有无限个，所以的正整数倍的全体组成的集合是一个无限集（） 的正约数一定是小于或等于 的正整数，其个数不超过 所以 的正约数的全体组成的集合是一个有限集（）虽然 年出生在上海的人比较多，但总数还是有限的所以 年在上海出生的所有人组成的集合是一个有限集（）因为该线段的二等分点、三等分点、四等分点都是该集合中的元素，所以一条给定的长度为的
12、线段上的所有点组成的集合是一个无限集数学中，常常需要用到数的集合数的集合简称数集常用的数集可用以下特定的符号来表示，见表表常用数集的符号数集符号自然数集犖整数集犣有理数集犙实数集犚例用符号“”或“”填空：（）犖；（）犣；（）槡 犙；（）槡 犚解（）犖（）犣（）槡 犙（）槡 犚不含有任何元素的集合称为空集，记作引进空集是有必要的例如，方程狓没有实数解，我们就说它的实数解组成的集合是空集又如，当两条直线平行时，它们没有公共点，就可说这两条直线的公共点组成的集合是空集在以后学习交集时，我们还将进一步体会到引入空集的必要性练习 （）判断下列各组对象能否组成集合若能组成集合，指出是有限集还是无限集；若不
13、能组成集合，请说明理由（）上海市现有各区的名称；集合与逻辑 （）末位是的自然数；（）比较大的苹果用符号“”或“”填空：（）犖；（）犣；（）犙；（）犚集合的表示方法除了用自然语言描述集合，我们还有一些其他方法用来表示集合将集合中的元素不重复地一一列举出来并写在大括号内，这种表示集合的方法叫做列举法例如，方程狓狓的所有解组成的集合可以表示为， ，也可以表示为，这是因为在讨论集合时，不考虑其元素的顺序例用列举法表示下列集合：（）所有不大于 的正整数组成的集合；（）方程（狓） （狓） （狓） （狓）的所有解组成的集合；（）集合，中任意两个不同元素之和组成的集合解（）所有不大于 的正整数组成的集合是，
14、（）该方程的所有解组成的集合是，（）该集合中任意两个不同元素之和组成的集合是，能用列举法表示的集合一般是有限集，但对于一些有规律的无限集，在不会引起歧义的前提下，也可用列举法表示例如，全体正偶数组成的集合可以表示为， ，狀， 集合还有另外一种表示方法在大括号内先写出这个集合中元素的一个记号，再画一条竖线，并在竖线的右边写上集合中所有元素具有的共同特征，即犃狓狓满足性质狆这种表示集合的方法叫做描述法例如，方程狓狓的所有解组成的集合可以表示为狓狓狓又如，函数狔狓图像上的所有点组成的集合可以表示为 （狓，狔）狔狓“集合中所有元素具有的共同特征”是指：（）在该集合中的元素都具有这个特征；（）不在该集合
15、中的元素不具有这个特征 集合初步 例选择适当的方法表示下列集合：（）大于且小于 的全体偶数组成的集合犃；（）被除余的所有自然数组成的集合犅；（）直角坐标平面上由第二象限与第四象限中的所有点组成的集合犆解（）用列举法：犃，（）用描述法：犅狀狀犽，犽犖（）因为第二象限中所有点（狓，狔）具有的特征是狓且狔，而第四象限中所有点具有的特征是狓且狔，所以第二象限与第四象限中所有点具有的特征可统一地写为狓 狔，于是可用描述法表示该集合：犆 （狓，狔）狓 狔数学中，常常需要表示满足一些不等式的全体实数所组成的集合为了方便起见，我们引入区间（ ）的概念当犪、犫犚且犪犫时，规定：满足不等式犪狓犫的全体实数狓组成的
16、集合称为一个闭区间，记作犪，犫满足不等式犪狓犫的全体实数狓组成的集合称为一个开区间，记作（犪，犫）闭区间与开区间在数轴上的表示，如图所示犪，犫（犪，犫）图满足不等式犪狓犫或犪狓犫的全体实数狓所组成的集合称为一个半开半闭区间，分别记作犪，犫）或（犪，犫半开半闭区间在数轴上的表示，如图所示犪，犫）（犪，犫图这里的实数犪、犫统称为这些区间的端点此外，满足不等式狓犪，狓犪，狓犫或狓犫的全体实数狓所组成的集合可分别用区间表示为犪，） ，（犪，） ，（，犫或（，犫）实数集犚可用区间表示为（，）符号“”读作“无穷大”集合与逻辑 例用区间表示下列集合：（）狓 狓 ；（）不等式狓的所有解组成的集合解（）该集合可
17、用区间，）表示（）因为不等式狓的解是狓，所以它的所有解组成的集合是（，练习 （）用列举法表示下列集合：（）能整除 的所有正整数组成的集合；（）绝对值小于的所有整数组成的集合用描述法表示下列集合：（）全体偶数组成的集合；（）平面直角坐标系中狓轴上所有点组成的集合用区间表示下列集合：（）狓狓 ；（）不等式狓的所有解组成的集合集合之间的关系考察以下四组集合：（）犆是申辉中学高一（）班的全体学生组成的集合，犇是申辉中学全体学生组成的集合；（）犆是一平面上所有矩形组成的集合，犇是该平面上所有平行四边形组成的集合；（）犆， ，犇狓狓狓 ；（）犆狓狓犽，犽犣 ，犇狓狓是奇数容易发现，在上述每组集合中，集合犆
18、中的每个元素都属于集合犇两个集合之间的这种关系是十分常见的定义对于两个集合犃与犅，如果集合犃的每个元素都是集合犅的元素，那么集合犃叫做集合犅的子集（ ） ，记作犃犅（或犅犃） ，读作“犃包含于犅” （或“犅包含犃” ）对任何集合犃，规定犃结合例题，试比较分别用自然语言、列举法、描述法和区间表示集合时，其各自的特点和适用对象 集合初步 我们常用文氏图（ ）来直观表示集合以及集合之间的关系图是犃犅的文氏图上述四组集合中的每组都有犆犇但是，第（） （）组与第（） （）组是有区别的在第（） （）组中，集合犇中有些元素不属于集合犆，即犇不是犆的子集；而在第（） （）组中，集合犇中的每个元素都属于集合犆，
19、即犇犆对于集合之间的包含关系，我们有下列结论：（）犃犃；（）若犃犅且犅犃，则犃犅；（）传递性：若犃犅且犅犆，则犃犆由此，对第（） （）组集合，犆犇成立；而对第（） （）组集合，犆犇不成立为此，我们引入真子集的概念定义对于两个集合犃与犅，如果犃犅，且犅中至少有一个元素不属于犃（即犅不是犃的子集） ，那么称集合犃是集合犅的真子集（ ） ，记作犃犅（或犅犃） ，读作“犃真包含于犅” （或“犅真包含犃” ）对第（） （）组集合，犆犇成立对于常用的数集，我们有如下的包含关系：犖犣犙犚例确定狓与狔，使得集合狓，狓狔，解由集合相等的定义，可知狓，狓狔烅烄烆或狓，狓狔烅烄烆分别解得狓，狔烅烄烆或狓，狔烅烄烆例
20、确定下列每组中两个集合之间的关系：（）犃狀狀是 的正约数 ，犅， ；（）犆狀狀犽，犽犖 ，犇狀狀犿，犿犖解（）因为犃， ，所以犅犃（）因为当犽犖时，犆中的元素狀犽（犽）必定属于犇，所以犆犇又因为犇，而犆，所以犆犇例写出集合犪，犫，犮的所有子集，并指出哪些是真子集解可以按照子集的元素个数分类：不含任何元素的子集个：空集；图集合关系中的“若犃犅且犅犃，则犃犅”与实数大小关系中“若犪犫且犫犪，则犪犫”类似此处为什么有两种情况？集合与逻辑 含个元素的子集个：犪 ，犫 ，犮 ；含个元素的子集个：犪，犫 ，犪，犮 ，犫，犮 ；含个元素的子集个：犪，犫，犮除集合犪，犫，犮本身外，其余个都是真子集练习 （）判
21、断下列说法是否正确，并简要说明理由：（）若犪犃且犃犅，则犪犅；（）若犃犅且犃犆，则犅犆；（）若犃犅且犅犆，则犃犆用符号“” “”或“”填空：（）犪犪，犫，犮 ；（）犪，犫，犮犪，犮 ；（），狓狓狓写出所有满足犪犕犪，犫，犮，犱的集合犕集合的运算先看一个校园生活的例子申辉中学高一年级的学生报名参加数学建模社与理学社这样，除该校高一年级的全体学生组成的集合犝外，还有参加数学建模社的学生组成的集合犃，参加理学社的学生组成的集合犅，两个社都参加的学生组成的集合犆，两个社中至少参加一个的学生组成的集合犇，还有未参加数学建模社的学生组成的集合犈，等等可以看到，集合犃、犅、犆、犇、犈等都是集合犝的子集，集合
22、犆是由集合犃与犅的公共元素组成的，集合犇是由集合犃与犅的所有元素组成的，集合犈是由集合犝中去掉犃中的元素后剩下的元素组成的本节我们要从已知的集合出发，通过“交” “并” “补”的运算得到新的集合首先，我们可以对任意两个集合取公共元素，从而得到一个新的集合定义由既属于集合犃又属于集合犅的所有元素组成的集合，叫做集合犃与犅的交集（ ） ，记作犃犅（读作“犃交犅” ） ，即犃犅狓狓犃且狓犅当集合犝、犃、犅确定时，如何确定集合犆、犇、犈呢？ 集合初步 可以用文氏图直观地反映犃犅的几种不同情况，如图所示（）（）（）图图（）表示集合犃与犅既有公共元素又都有非公共元素的情况，此时阴影部分犃犅既是犃的真子集又
23、是犅的真子集；图（）表示集合犃是犅的子集的情况，此时犃犅犃；图（）表示集合犃与犅没有公共元素的情况，此时犃犅例已知集合犃 （狓，狔） 狓狔 ，犅 （狓，狔） 狓狔求犃犅解由题意，（狓，狔）犃犅表示（狓，狔）既属于犃又属于犅，即（狓，狔）是方程组狓狔，狓狔烅烄烆的解，所以狓，狔于是，犃犅 （，） 其次，我们可以把两个已知集合的所有元素放在一起组成一个新的集合定义由所有属于集合犃或属于集合犅的元素所组成的集合，叫做集合犃与犅的并集（ ） ，记作犃犅（读作“犃并犅” ） ，即犃犅狓狓犃或狓犅可以用文氏图直观地反映犃犅的几种不同情况，如图所示，其中阴影部分表示犃犅（）（）（）图对照图的三种情况，请各举
24、一实例例中，犃犅表示二元一次方程组的所有解组成的集合它可以理解为两个一次函数狔狓与狔狓的图像的交点组成的集合对照图的三种情况，请各举一实例集合与逻辑 图（）表示集合犃与犅既有公共元素又都有非公共元素的情况，此时犃和犅都是犃犅的真子集；图（）表示集合犃是犅的子集的情况，此时犃犅犅；图（）表示集合犃与犅没有公共元素的情况例 已知集合犃（，） ，犅（，）（，）求犃犅及犃犅解在数轴上标出集合犃与犅，如图所示图于是犃犅（，）（，） ，犃犅（，）例 已知集合犃， ，求所有满足犃犅，的集合犅解因为犅犃犅， ，所以犅的元素只能在、中取为了使得犃犅中有，必须是犅的一个元素至于、是否为犅的元素，不会影响犃犅的结果
25、因此，满足条件的集合犅一共有个： ， ， ，最后，我们介绍全集与补集在数学研究中，所研究的对象往往是某个确定集合的一个子集或元素例如，求方程的实数解时，所有解组成的集合一定是实数集犚的一个子集；求三角形的内角的大小时，如果以度（）为单位，那么角的度数一定是开区间（， ）中的一个元素；等等这个确定的集合称为全集（ ） ，常用符号犝表示它含有我们所要研究问题的全部可能的元素定义设犝为全集，犃是犝的子集由犝中所有不属于犃的元素组成的集合称为集合犃在全集犝中的补集（ ） ，记作犃（读作“犃补” ） ，即犃狓狓犝且狓犃有时为了强调全集犝，集合犃在全集犝中的补集犃也可以记作瓓犝犃当全集为实数集犚时，有理数
26、集犙的补集犙就是全体无理 集合初步 数组成的集合可以用文氏图直观地反映犃，如图，其中阴影部分表示集合犃在全集犝中的补集犃例 设全集犝犪，犫，犮，犱，犲 ，集合犃犪，犫，犮 ，集合犅犮，犱分别求：犃犅，犃犅，犃犅及犃犅解由条件，可得犃犅犪，犫，犮，犱 ，犃犱，犲 ，犅犪，犫，犲所以犃犅犲 ，犃犅犲而犃犅犮 ，所以犃犅犪，犫，犱，犲 ，犃犅犪，犫，犱，犲练习 （）设犃为全集犝的任一子集，则（）犃；（犃表示犃的补集犃的补集）（）犃犃；（）犃犃已知全集为犚，集合犃狓狓求犃已知集合犃， ，犅， ，犆，求：（）（犃犅）犆，（犃犆）（犅犆） ；（）（犃犅）犆，（犃犆）（犅犆）习题 犃组用列举法表示下列集合：
27、（） 以内的所有素数组成的集合；（）狔狔狓，狓，狓犣用描述法表示下列集合：（）被除余的所有自然数组成的集合；（）比大又比 小的所有实数组成的集合；（）平面直角坐标系中坐标轴上所有点组成的集合集合 （狓，狔）狓 狔，狓、狔为实数是指（）第一象限内的所有点组成的集合；图集合与逻辑 第三象限内的所有点组成的集合；第一象限和第三象限内的所有点组成的集合；不在第二象限也不在第四象限内的所有点组成的集合用符号“” “”或“”连接集合犃与犅：（）犃狓狓狓 ，犅狓狓 ；（）犃， ，犅狓狓是的正约数已知集合犃 ，犅狓狓狓犪是否存在实数犪，使得犃犅？若存在，求犪的值；若不存在，说明理由已知集合犃狓，狔 ，犅狓，狓
28、 ，且犃犅求集合犃已知集合犃狓狓 ，犅狓狓 ，犆狓狓求：犃犅，犃犆，犃（犅犆）已知集合犃 （狓，狔）狔狓 ，犅 （狓，狔）狔狓求犃犅已知全集犝犚，集合犃狓 狓狓求犃犅组已知集合犃， （犪），犪犪 ，且犃求实数犪的值已知集合犃狓狓狀，狀犣 ，犅狓狓狀，狀犣判断集合犃与犅的包含关系，并证明你的结论设犪是实数，集合犕狓狓狓 ，犖狔犪 狔是否存在犪，使得犖犕？若存在，求这些犪的值；若不存在，说明理由已知集合犃，狓 ，犅，狓 ，且犃犅犃求狓的值及集合犃、犅 常用逻辑用语 常用逻辑用语命题在初中时已经知道，用自然语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫做命题（ ）命题通常用陈述句表述其含义判断为真的
29、命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题例如，“能被整除”是真命题，“能被整除”是假命题例下列语句哪些是命题？如果是命题，那么它们是真命题还是假命题？为什么？（）个位数字是的自然数能被整除；（）凡直角三角形都相似；（）请起立；（）若两个角互为补角，则这两个角不相等；（）若两个三角形的三组对应边相等，则这两个三角形全等；（）你是高一学生吗？（）狓解语句（） （） （）不是命题；语句（） （） （） （）是命题，其中语句（） （）是真命题，语句（） （）是假命题（）这是一个真命题因为个位数字是的自然数可写成 犽的形式（犽犖） ，而 犽（犽） ，它总能被整除，所以个位数字是的自然数能被整除（）因为三
30、个角分别为 、 、 的直角三角形与三个角分别为 、 、 的直角三角形是不相似的，所以“凡直角三角形都相似”是一个假命题（）“请起立”无法判定真假，它不是一个命题（）取一个角为 ，另一个角也为 ，它们是互补的，同时它们也是相等的，所以“若两个角互为补角，则这两个角不相等”是一个假命题集合与逻辑 （）这是一个真命题，它是两个三角形全等的一个判定定理（）因为“你是高一学生吗？”不是陈述句，无法判断其真假，所以它不是命题（）虽然“狓”是陈述句，但是它包含一个可变的对象狓，无法判断其真假，因此它不是命题当狓被赋予不同的值时，它就成为不同的命题例如，当狓时，“狓”是真命题；当狓时，“狓”是假命题例中命题（
31、）与（）具有“若，则”的形式在保持含义不变的前提下，例中命题（）与（）也可改写为这种形式：若一个自然数的个位数字是，则这个自然数能被整除；若两个三角形都是直角三角形，则它们相似在形如“若，则”的命题中，陈述句称为条件，称为结论命题“若，则”是真命题，是指所有满足条件的对象都满足结论用集合的语言描述即狓狓满足狓狓满足所以，要确定这类命题是真命题，就必须给出其证明，如例中的（）与（）命题“若，则”是假命题，是指存在满足条件的对象，它不满足结论所以，要确定这类命题是假命题，可用处理例中（）与（）的方法，举一个满足条件而不满足结论的例子就可以了定义如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）因
32、为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：若且，则它是逻辑推理的基础例将下列命题改写成“若，则”的形式，并判断“”是否成立（）等腰三角形的两底角相等；（）凡是素数都是奇数；（）对顶角相等解（）若一个三角形是等腰三角形，则它的两个底角相“若，则”形式的命题也可写为“如果，那么”的形式这种方法在数学上称为举反例 常用逻辑用语 等这是一个真命题所以，“”成立（）若狀是素数，则狀是奇数这是一个假命题，因为是素数，但它是偶数所以，“”不成立（）若两个角是对顶角，则这两个角相等这是一个真命题所以，“”成立练习 （）举几个生活中的命题的例子，并判断其真假判断下列命题的真假，并说明理由：（）所有偶数都不
33、是素数；（）是，的真子集；（）是，的真子集；（）如果集合犃是集合犅的子集，那么犅不是犃的子集用“”表示下列陈述句与之间的推出关系：（）：犃犅犆是等边三角形，：犃犅犆是轴对称图形；（）：狓，：狓充分条件与必要条件先看一个例子：我们要培养的是德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人显然，对于这样“全面发展”的学生来说，其学习成绩一定是好的；反过来，学习成绩好的学生不一定是“全面发展”的，因为可能其他方面不是很好也就是说，“学习成绩好”对于“全面发展”是不可缺少的，但只有“学习成绩好”还不够定义对于两个陈述句与，如果，就称是的充分条件（ ） ，亦称是的必要条件（ ）由例知道，“一个三角形是等腰三角
34、形”是“一个三角形有两个角相等”的充分条件，“两个角相等”是“两个角是对顶角”的必要条件，而“一个数是素数”不是“一个数是奇数”的充分条件例判断下列各组中的分别是的什么条件，并说明理由（）：四边形犃犅犆犇是正方形，：四边形犃犅犆犇的四个内角都是直角；该定义中，“充分”二字说明“成立时，一定成立” ；而“必要”二字说明“不成立时，一定不成立”集合与逻辑 （）：狓是有理数，：狓是有理数解（）因为正方形的四个内角都是直角，所以命题“若，则”是真命题，是的充分条件反之，因为四个内角都是直角的四边形也可以是长宽不相等的矩形，所以命题“若，则”是假命题，不是的必要条件（）因为有理数狉狊（狉、狊犣）的平方狉
35、狊必是一个有理数，所以“若，则”是真命题，是的必要条件反之，因为（槡 ）是有理数，但槡 是无理数，所以“若，则”是假命题，不是的充分条件定义对于两个陈述句与，如果既有，又有，就称是的充分必要条件，简称充要条件，记作，读作“与等价”或“成立当且仅当成立”例如，“三角形的两个内角相等”是“三角形的两条边相等”的充要条件；“实数狓、狔满足狓狔”是“实数狓、狔满足（狓狔） （狓狔）”的充要条件例已知犿是实数，集合犕，犿 ，犖，求证：“犿”是“犕犖 ”的充要条件证明先证充分性（即证犿犕犖 ）当犿时，犕，又因为犖， ，所以犕犖再证必要性（即证犕犖犿）当犕犖时，由犕，得犿，因此犿综上所述，“犿”是“犕犖 ”
36、的充要条件练习 （）已知：四边形犃犅犆犇的两组对边分别平行，：四边形犃犅犆犇为矩形，：四边形犃犅犆犇的两组对边分别相等用“充分非必要” “必要非充分” “充要”或“既非充分又非必要”填空：（）是的条件；（）是的条件；（）是的条件设：狓，：狓犿，是的充分条件求实数犿的取值范围下一小节将给出槡是无理数的证明 常用逻辑用语 反证法反证法是数学中常用的证明方法之一下面，我们学习如何用反证法证明一些命题在前面已经提到，要判断命题“若，则”是假命题，只要存在一个满足条件但不满足结论的对象就行了但是要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明所有满足条件的对象都满足结论有时直接验证这一点并不是一件容易的事例设狀
37、犣证明：若狀是偶数，则狀也是偶数证明假设结论“狀是偶数”不成立，即假设狀是奇数由狀是奇数，可设狀犽，犽犣因为狀（犽）犽犽（犽犽），这说明狀是奇数，与已知条件狀是偶数矛盾所以，一开始的假设不成立，即狀是偶数例的证明方法与以前的证明方法不同它首先假设结论不成立（为假） ，然后经过正确的逻辑推理得出矛盾，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的这样的证明方法叫反证法应用反证法证明命题的第一步是假设命题的结论不成立，即否定命题的结论这一步是十分关键的只有这一步表述对了，接下来的逻辑推理才有意义数学上一些常用的否定形式见表表一些常用的否定形式陈述句的否定形式狓狓狓或狔狓且狔集合犃中满足性质狆的元素
38、至少有两个集合犃中满足性质狆的元素最多有一个所有的犪犃满足性质狆至少存在一个犪犃不满足性质狆所有的犪犃不满足性质狆至少存在一个犪犃满足性质狆例设狓、狔犚证明：若狓狔，则狓或狔证明用反证法证明数学命题中的“所有”也可称为“对任意给定的一个”或“对每一个”元素个数一般指正整数集合与逻辑 假设狓且狔，则狓狔，这与已知条件狓狔矛盾所以假设不成立，即狓或狔例和例证明的都是“若，则”形式的命题对一些其他形式的命题，也可用反证法证明例证明：槡 是无理数证明用反证法证明假设槡 是有理数则可设槡 犿狀，其中犿与狀是互素的正整数于是犿槡 狀两边平方，得犿狀所以，犿是偶数由例，知犿也是偶数于是，可设犿犽，犽为正整数
39、将其代入犿狀，得狀犽，即狀犽，故狀是偶数再根据例，知狀也是偶数于是犿、狀有公因数，这与犿、狀互素的假设矛盾所以假设不成立，即槡 是无理数练习 （）设狀犣证明：若狀是奇数，则狀是奇数证明：对于三个实数犪、犫、犮，若犪犮，则犪犫或犫犮习题 犃组判断下列语句是否为命题：（）有的正方形是三角形；（）任意一个三角形的内角和都为 ；（）是自然数吗？（）；（）（，） ，且犣判断下列命题的真假，并说明理由：（）如果犪、犫都是奇数，那么犪犫是偶数；（）一组对边平行且两对角线等长的四边形是平行四边形；（）如果犃犅犃，那么犃犅犅结论“狓或狔”不成立，即“狓与狔中至少有一个大于”不成立也就是“狓与狔都不大于”例的证明
40、是历史上著名的一个反证法证明一个实数是有理数当且仅当它可以表示成两个整数的商犿狀如果犿与狀有大于的公因数，总可以进行约分，所以不妨设犿与狀是互素的 常用逻辑用语 如果犪、犫、犮为实数，设：犪犫犮；：犪、犫、犮中至少有一个为；：犪槡犫犮那么；（用符号“” “”或“”填空）下列各组中，是的什么条件？（）：四边形犃犅犆犇的四条边等长，：四边形犃犅犆犇是正方形；（）：犃犅犆与犇犈犉全等，：犃犅犆与犇犈犉的周长相等；（）：狓是的倍数，：狓是的倍数；（）：集合犃犅，犅犆，犆犃，：集合犃犅犆；（）：犃犅犃犆，：犅犆已知犾、犿都是自然数，试判断“犾犿是偶数”与“犾、犿都是偶数”是否等价，并说明理由证明：“四边
41、形犃犅犆犇是平行四边形”是“四边形犃犅犆犇的对角线互相平分”的充要条件犅组判断下列命题的真假，并说明理由：（）若犃犅，犆犅，则犃犆；（）若犪、犫犚，则关于狓的方程（犪）狓犫的解为狓犫犪已知犪为实数写出关于狓的方程犪 狓狓至少有一个实根的一个充要条件、一个充分非必要条件和一个必要非充分条件若：犅， ，：犅， ，则是的（）充分非必要条件；必要非充分条件；充要条件；既非充分又非必要条件已知：狓犿或狓犿，：狓或狓（）若是的充分条件，求实数犿的取值范围；（）若是的必要条件，求实数犿的取值范围集合与逻辑 内容提要集合的概念与表示：（）集合是一些确定对象的全体集合中的元素具有确定、无序、不重复的特征常用数集
42、有犖、犣、犙、犚等（）空集是不含任何元素的集合（）当犪、犫犚，且犪犫时，满足犪狓犫的所有实数狓组成的集合记作开区间（犪，犫） ，满足犪狓犫的所有实数狓组成的集合记作闭区间犪，犫集合的关系与运算：（）子集关系可分为两类：真子集与相等的集合（）集合犃与犅的交集是这两个集合的所有公共元素组成的集合，记作犃犅；集合犃与犅的并集是这两个集合的所有元素组成的集合，记作犃犅（）对于全集犝，其任一子集犃均有补集一个集合犃的补集是指在全集犝中而不在犃中的所有元素组成的集合，记作犃命题：（）命题是指能判断其真假的语句（）命题有真、假两类充分条件与必要条件：（）当时，是的充分条件，是的必要条件（）当时，是的充要条件
43、此时，在推理过程中与能互相替换反证法，是指通过否定结论，推出矛盾，进而证明结论成立的证明方法复习题犃组用列举法表示下列集合：（）十二生肖组成的集合；（）中国国旗上所有颜色组成的集合用描述法表示下列集合：（）平面直角坐标系中第一象限的角平分线上的所有点组成的集合；（）的所有倍数组成的集合（）若：狓狓，：狓，则是的条件；（）若：四边形犃犅犆犇是正方形，：四边形犃犅犆犇的两条对角线互相垂直平分，则是的条件复习题 已知方程狓狆 狓的所有解组成的集合为犃，方程狓狓狇的所有解组成的集合为犅，且犃犅求集合犃犅的所有子集已知集合犃（，） ，犅（，），）求：犃犅，犃犅已知全集犝（，），） ，集合犃（，），）求犃
44、已知集合犃狓狓狆狓狇 ，犅狓狓狓狉 ，且犃犅 ，犃犅，求实数狆、狇、狉的值设犪是实数若狓是狓犪的一个充分条件，则犪的取值范围为已知陈述句是的充分非必要条件若集合犕狓狓满足 ，犖狓狓满足 ，则犕与犖的关系为（）犕犖；犕犖；犕犖；犕犖 证明：若梯形的对角线不相等，则该梯形不是等腰梯形犅组若集合犕犪犪狓槡 狔，狓、狔犙 ，则下列结论正确的是（）犕犙；犕犙；犕犙；犕犙若是的必要非充分条件，是的充要条件，是的必要非充分条件，则是的条件，是的条件已知全集犝狓狓为不大于 的素数若犃犅， ，犃犅， ，犃犅， ，则犃，犅已知集合犘狓狓 ，犙狓狓犽且狓犽 ，且犙犘求实数犽的取值范围已知全集犝犚，集合犃狓狓犪 ，犅
45、狓狓犪 ，犆狓狓或狓 ，且犃犅犆求实数犪的取值范围已知集合犃狓（犪）狓狓是否存在这样的实数犪，使得集合犃有且仅有两个子集？若存在，求出实数犪的值及对应的两个子集；若不存在，说明理由证明：槡 是无理数拓展与思考设犪、犫是正整数求证：若犪 犫是的倍数，则犪与犫被除的余数相同已知非空数集犛满足：对任意给定的狓、狔犛（狓、狔可以相同） ，有狓狔犛且狓狔犛（）哪个数一定是犛中的元素？说明理由；（）若犛是有限集，求犛；（）若犛中最小的正数为，求犛书 书 书第章等式与不等式数量关系是数学重要的研究对象，相等关系与不等关系是最基本的数量关系，而等式与不等式则是表示相应数量关系的基本工具等式与不等式的知识，在日
46、常生活中也有着广泛的应用我们将通过类比方法，学习有关等式与不等式的性质，并借助集合和逻辑的语言，求解和证明一些基本的不等式求解不等式通常有两种方法，一种是代数方法，另一种是用函数观点求解在本章中，我们采用代数方法求解不等式，而用函数观点求解将在后续章节加以学习在学习过程中，要注意等式与不等式之间的共性和差异，掌握等价变形的方法，并特别注意不等式取到等号的条件等式与不等式 等式与不等式的性质等式的性质与方程的解集数量关系是数学中重要的研究对象，相等关系与不等关系是最基本的数量关系现实世界中存在着大量的相等和不等关系例如，圆的周长犆与其直径犱的比值等于一个常数，直角三角形的斜边长大于直角边长等最常
47、见的相等关系是数量之间的相等，如 与相等，并可表示为 用等号“”把两个表达式连接起来，所得的式子称为等式（ ）等式具有以下性质：（）传递性设犪、犫、犮均为实数，如果犪犫，且犫犮，那么犪犮（）加法性质设犪、犫、犮均为实数，如果犪犫，那么犪犮犫犮（）乘法性质设犪、犫、犮均为实数，如果犪犫，那么犪 犮犫 犮当一个等式成立时，由上面的性质，在等式两边减去同一个数，或除以同一个不等于零的数，该等式仍然成立例设犪、犫、犮、犱是实数，判断下列命题的真假，并说明理由：（）如果犪犫，且犮犱，那么犪犮犫犱；（）如果犪犫，且犮犱，那么犪 犮犫 犱；（）如果犪犫，那么犪犫；（）如果犪犫，那么犪狀犫狀，其中狀是正整数；
48、（）如果犪 犮犫 犮，那么犪犫；（）如果（犪犫）（犫犮），那么犪犫犮 等式与不等式的性质 解（） （） （） （） （）都是真命题；（）是假命题（） （）可由等式的加法性质、乘法性质及等式的传递性得到（）在犪犫的两端同乘犪 犫可得到（）将（）中的犮换成犪，犱换成犫，可得犪犫，并反复用乘法性质可得（）因为当犮时，即使犪犫，仍有犪 犮犫 犮（）若犪、犫、犮不都相等，不妨设犪与犫不相等，则条件等式的左边为正数，而右边为零，矛盾，因而等式成立我们知道，含有未知数的等式称为方程（ ）使得方程左右两边相等的未知数的值，称为方程的解（ ）以方程的所有解为元素组成的集合称为方程的解集（ ）方程的解和未知数的取
49、值范围有关同一方程在未知数的不同取值范围内求解，其解集不一定相同例如，方程（狓）（狓） （狓槡 ）在自然数集中的解集为，在有理数集中的解集为，烅烄烆烍烌烎，而在实数集中的解集为，槡 烅烄烆烍烌烎在本章中，都是在实数集中求解方程例设犪、犫犚，求关于狓的方程犪 狓犫的解集解当犪时，解集为犫犪烅烄烆烍烌烎；当犪，犫时，解集为犚；当犪，犫时，解集为例设犽犚，求关于狓与狔的二元一次方程组狔狓，狔犽 狓烅烄烆的解集解两式相减，得（犽）狓当犽时，将狓犽代入方程狔狓，得狔犽犽此时，原方程组的解集为（犽，犽犽）烅烄烆烍烌烎当犽时，方程（犽）狓无解，从而原方程组无解，其解集为等式与不等式 练习 （）设犪、犫、犮、
50、犱是实数，判断下列命题的真假，并说明理由：（）若犪犫，则犪犫；（）若犪（犮）犫（犮） ，则犪犫；（）若犪 犫，则犪或犫；（）若犪犮犫犱，且犮犱，则犪犫犮犱犪犮设犪犚，求关于狓的方程犪 狓犪狓的解集设犽犚，求关于狓与狔的二元一次方程组狔犽 狓，狔犽 狓烅烄烆的解集一元二次方程的解集及根与系数的关系一元二次方程的解习惯上叫做该方程的根（ ）如果一元二次方程的两个根相等，那么这两个根叫做重根（ ）重根在解集中只能出现一次在初中已经学过如何求一元二次方程犪 狓犫 狓犮（犪）的根，下面让我们来表示其相应的解集例求一元二次方程犪 狓犫 狓犮（犪）的解集解原方程解的情况由其判别式犫犪 犮的符号决定：当时，解
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