1、目录 知识点一：直线设列与韦达定理 类型一：利用韦达定理处理对称表达式 类型二：韦达定理已知一点求另一点 类型三：利用韦达定理获取切点的坐标 知识点二：点的选取与整体代入 类型一：中点弦问题 类型二：圆锥曲线的第三定义 类型三：抛物线“设一知二”技巧 类型四：圆锥曲线的极坐标与参数方程 类型五：整体代入消参 知识点三：向量条件的转化 类型一：利用向量处理线段比例 类型二：利用向量处理三点共线 类型三：利用向量内积转化条件 知识点四：距离条件的转化 类型一：弦长公式 类型二：点到线的距离 类型三：焦半径与过焦弦长 知识点五：面积条件的转化 类型一：三角形面积的计算 类型二：四边形面积的计算 类型
2、三：面积比例的计算 解析几何压轴题小册子知识点六：对称条件的转化 类型一：关于直线对称的处理 知识点七：角度条件的转化 类型一：利用正切法处理角度问题 类型二：利用向量法处理角度问题 知识点八：切线条件的转化 类型一：判别式为 0 类型二：切线与切点弦的结论 知识点九：圆的条件转化 类型一：利用圆的几何性质转化条件 类型二：内切圆问题的处理 类型三：四点共圆问题 知识点十：定值与定点问题 类型一：直接计算的定值定点问题 类型二：先猜后证的定值定点问题 知识点十一：定直线与轨迹问题 类型一：定义法与直接法求解轨迹问题 类型二：相关点法与参数法求解轨迹问题 类型三：与极点极线相关的定直线问题 第
3、1 页 解析几何知识梳理解析几何知识梳理 知识点一：直线设列与韦达定理 知识点一：直线设列与韦达定理 类型一：利用韦达定理处理对称表达式类型一：利用韦达定理处理对称表达式 【例 1】 （2008 福建卷理）椭圆22220)yxabab= （ 1的一个焦点是(1,0)F，O是坐标原点.设过点F的直线l交椭圆于,A B两点.若直线l绕点F任意转动，恒有222OAOBAB，求a的取值范围. 【解答】首先将条件222OAOBAB转化为0OA OB ，进一步转化为12120 x xy y，接下来就是计算问题了. 第一步：我们需要考虑直线的设法，因为是过x轴的直线，所以设1xmy； 反设直线为1xmy，因
4、为当直线斜率为零时原式显然成立，不用再单独讨论；则联立结果为2222222121()10mmyyabaa +， 因为焦点F始终在椭圆内部， 所以直线始终与椭圆有两焦点，0 自然成立. 第二步：我们利用韦达定理来计算12120 x xy y；（二次分式，利用, ,a b m表示） 所以可以直接写出222221212121222222212(1)(1)(1)()1111mmaax xy ymy ym yymmabab (+)(+) 第三步：利用不等式求解范围. 我们此时约去分母， 可以得到：2222222121(1)(1)0mmmaaab(+)， 简单整理后得到222111mab，此式恒成立，所以
5、左边取最小值时需成立，即221101ab，注意到221ab，即可求出23515,22aa. 类型二：韦达定理已知一点求另一点类型二：韦达定理已知一点求另一点 【例 2】已知椭圆22221)(0yxabab，点000(,)(0)A xyy为该椭圆上的定点，直线AB与直线AC的斜率互为相反数，求证：直线BC的斜率为定值. 【解答】第 2 页 第一步：设直线AB的方程为00()yk xxy，与椭圆联立，利用韦达定理求解另外一个点的坐标；（利用00,k xy表示） 设AB方程00()yyk xx，与椭圆联立得到 222000022222 ()()1()10k ykxykxkxxabbb ， 利用002
6、122222 ()1k ykxbxxkab即可得到00202222 ()1Bk ykxbxxkab从而2002100002222()()1Bkykxbyk xxyx kykab，同理00202222 ()1Ck ykxbxxkab，2002002222()1Ckykxbyx kykab第二步：计算BCBCBCyykxx. 所以2020BCBCBCyyx bkxxy a，最后这步计算由于所有项分母都统一，水到渠成. 类型三：利用韦达定理获取切点的坐标类型三：利用韦达定理获取切点的坐标 【例3】（2014浙江卷理）设椭圆2222:1(0)yxCabab动直线l与椭圆只有一个公共点P，且P在第一象限
7、. （1）已知直线l的斜率为k，用, ,a b k表示点P的坐标；（2）若过原点O的直线1l与l垂直，证明：点P到直线1l的距离最大值为ab. 【解答】（1） 第一步：设直线ykxm与椭圆联立，并令0 ，得到, k m间的等式. 设 直 线l的 方 程 为ykxm， 从22221ykxmyxab， 可 以 解 得第 3 页 222222212()(1)0kkmmxxabbb，令22222214()0kmaba b ，得到22220bma k. 利用韦达定理222221PPkmbxxkab ，得到22221Pkmbxkab ，题目要求使用, ,a b k表示，并且P在第一象限，消去m得到2222
8、2222(,)a kbPba kba k. （2） 第一步：先讨论最简单的斜率不存在的情况，本题中0k . 当0k 时， 直线1l的斜率不存在， 此时直线:l yb ，1:0lx ， 此时P就在直线1l上，距离为0. 第二步：对于一般情形，设1:0lxky，直接计算P到1l的距离.（使用k表达，可能出现关于k的高次表达式）. P到1l的距离为： 222222222222002222222222112a kb kxkyababa kba kbdabkkbababa kabk 由均值不等式取等条件22bka 时等号成立. 知识点二：点的选取与整体代入 知识点二：点的选取与整体代入 类型一：中点弦问
9、题类型一：中点弦问题 【例4】（2018全国3卷理）已知斜率为k的直线l与椭圆22:143yxC交于,A B两点，线段AB的中点为1,0Mmm. （1）证明：12k ； 【解答】设1122,A x yB xy，则22112222143143xyxy相减化简可得：1212121234yyyyxxxx ， 第 4 页 34mk ， 易知中点M在椭圆内，21143m， 代入可得12k 或12k ， 又0m ，0k，综上12k . 类型二：圆锥曲线的第三定义类型二：圆锥曲线的第三定义 【例 5】证明椭圆22221yxab的焦点三角形的内心在一个椭圆上. 【解答】为证明椭圆的内心轨迹，我们从椭圆的第三定
10、义入手，我们只需要计算出12IFIFkk. 设1221,MF FMF F，12IHF F，12MF F的 内 切 圆 半 径 为r.所 以222121212121212124tantan22()22rrrrrF FPFPFF FMFMFF HF HF FMFMF， 由三角形面积公式1 212122MF FMScyrF FMFMFac， 由焦半径公式122PMFMFex， 代入即得： 222222222221212124()4tantan22()44()MMc yacrrrbF HF HF FMFMFce xac. 所以根据椭圆的第三定义，I在椭圆222222()1acyxcb c上. 类型三：
11、抛物线“设一知二”技巧类型三：抛物线“设一知二”技巧 【例6】如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点1,2P，11,A x y，22,B xy均在抛物线上. （1）写出该抛物线的方程及其准线方程； （2） 当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时， 求12yy的值及直线ABxyIF1F2M第 5 页 的斜率. 【解答】（1）由已知条件，可设抛物线的方程为22ypx.因为点1,2P在抛物线上，得2221p，即2p ，故所求抛物线的方程是24yx，准线方程是1x . （2）设直线PA的斜率为PAk，直线PB的斜率为PBk 则1212112222441 ,11212PAPByykxkxxyxy
12、， 又PA与PB的斜率存在且倾斜角互补PAPBkk . 故1212224yyyy . 所以直线AB的斜率：21211241AByykxxyy . 类型四：圆锥曲线的极坐标与参数方程类型四：圆锥曲线的极坐标与参数方程 【例7】椭圆22221yxab上两点,A B满足OAOB，则O到AB的距离为定值，进而求解OABS的取值范围. 【解答】由OAOB令cos ,sin,sin ,cosAABBA rrBrr，代入椭圆方程有： 222222222222222222222222221cossincossin11111sincos1sincos1AAAABBBBrrrababrrabrrrabab. 由射
13、影定理O到AB的距离22222222=ABABr ra bdrrab. 22221111122AOABA BArSr rabr，令 22222,111Attrbaf ttab. 22222222221111112111111ttabtabftttabab.注意到分子部分是单调增加的，而2ta为正，2tb时为负. 第 6 页 所以当22222Aa brab，OABS取到最小为22228a bab. 当Ara或者b时，OABS取到最大为12ab. 类型五：整体代入消参类型五：整体代入消参 【例8】已知点,A B是椭圆22:143yxC上的两个动点，O为坐标原点，直线,OA OB与椭圆C的另一交点分
14、别为11,A B， 且直线,OA OB的斜率之积等于34， 问四边形11ABA B的面积S是否为定值？请说明理由. 【分析与解答】本题可以设线去处理，但是我们选择设点的话会更加简单. 第一步：设1122(,),(,)A xyB xy，由34OAOBkk ，得121234y yx x . 第二步：将四边形11ABA B分割成四个面积相等的三角形，用112Sah来表示面积，我们选择OA为底边来计算. 设1122(,),(,)A xyB xy，直线11:0OA y xx y，点B到OA的距离12122211|y xx ydyx，四边形11ABA B的面积22121211112122211|42|22
15、|y xx ySSOA dyxy xx yyx. 第三步：我们利用22112222121214314334xyxyy yx x ，去计算12122|Sy xx y的值. 将21y与22y乘 在 一 起 ， 得 到222212129(4)(4)16y yxx， 结 合121234y yx x ， 得 到2222121299(4)(4)1616xxx x，化简得到22124xx. 将12122|Sy xx y平方得到22222121122124(2)Sy xx y x yx y. 进而222222212121212123334(3)2()(3)43()48444Sxxx xx xxxxx，所以S为
16、定值4 3. 第 7 页 知识点三：向量条件的转化 知识点三：向量条件的转化 类型一：利用向量处理线段比例类型一：利用向量处理线段比例 【例9】 已知抛物线24yx的焦点为2F，2F与1F关于坐标原点对称， 直线m垂直于x轴 （垂足为T），与抛物线交于不同的两点,P Q，且125FPF Q . （1）求点T的坐标. （2）若以12,F F为焦点的椭圆C过点21,2. a.求椭圆的标准方程 b.过点2F作直线l与椭圆交于,A B两点，设22F AF B，若2, 1 ，求TATB 的取值范围. 【解答】 （1） 由抛物线方程，21,0F， 则11,0F.由对称性不妨设,2P tt，, 2Q tt，
17、则有11,2F Ptt ，21, 2F Qtt.从125FPF Q 得到2t . （2）a.易得椭圆的标准方程为2212xy 第一步：反设直线:1l xky，与椭圆联立利用韦达定理得对称表达式. 设1122,A xyB xy，设直线并代入2212xy，得方程222210kyky ， 由韦达定理，12122221,22kyyy ykk ； 第二步：将向量条件转化为坐标的比例形式，为了保持对称性考虑1. 从22F AF B得到12yy，又2121221122yyyyyyy y，得22411=2,022kk .解得2207k. 第三步：将TATB 表示为k的函数，利用第二步的结果求范围. 因 为11
18、222,2,TAxyTBxy ， 所 以22212122TATBkykyyy 2222881622kk. 第 8 页 令2171,16 22tk，2271716984,4232TATBt ， 故13 22,8TATB . 类型二：利用向量处理三点共线类型二：利用向量处理三点共线 【例10】（2012北京卷理）已知曲线22528Cm xmymR：. （1）若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围； （2）设4m ，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B上方），直线4ykx与曲线C交于不同的两点,MN，直线1y 与直线BM交于点G.求证：,A G N三点共线. 【解答】（1）原方程可化为22
19、18852yxmm，依题得8852805802mmmm故752m. （2）这里我们采用向量法来证明三点共线，要证明,A G N三点共线，只需证,AG AN 共线即 可.利 用 向 量 的 共 线 条 件 ， 将AGAN 转 化 为12213220 xyxy， 即1212460kx xxx，由式子的对称性不难想到利用韦达定理来证明. 第一步：设出点坐标，联立方程，写出韦达定理 设1122,MxyN xy 联立22284xyykx，消去y得221216240kxkx，264960k 232k ，由韦达定理12212216122412kxxkx xk 第二步：写出对应向量，根据,x y坐标成比例，列
20、出方程，代入韦达定理验证 12213, 1 ,22xAGANxyy ，AGAN 可以得到122132102xyxy ，消去12,yy得1212460kx xxx，代入韦达定理成立，于是,A G N三点共线. 第 9 页 类型三：利用向量内积转化条件类型三：利用向量内积转化条件 【例11】（2017浙江卷理）如图，已知抛物线2xy，点1 13 9,2 42 4AB，抛物线上的点13,22P x yx.过点B作直线AP的垂线，垂足为Q. （1）求直线AP斜率的取值范围； （2）求PQPA的最大值. 【解答】（1） 由于,A P两点坐标已知， 所以可用坐标表示直线斜率， 设两点坐标为1 1,2 4A
21、，213,22P x xx，所以直线AP的斜率为2114122APxkxx，因为1322x，所以11APk . 所以直线AP斜率的取值范围是1,1. （2）注意本题中如果直接计算PA与PQ都会出现根式，这里我们逆向使用向量的内积公式，用PA PB 来表示PQPA. 第一步：将向量用坐标表示出来. 依题211,24PAxx ，239,24PBxx，所以 322131913224422PQPAPA PBxxxxxx 第二步：利用x的范围进行最值求解. 注意到1322x，后面再求解最值时可以利用均值不等式： 41119312722223416xxxxf x； 取等条件为1x .或者构造函数求导解决.
22、 第 10 页 令 31322f xxx ， 21442fxxx，所以最大值在1x 处取得，最大值为2716. 知识点四：距离条件的转化 知识点四：距离条件的转化 类型一：弦长公式类型一：弦长公式 【例12】（2016四川卷文）已知椭圆2222:1(0)yxEabab的一个焦点与短轴的两个端点时正三角形的三个顶点，点1( 3,)2P在椭圆E上. （1）求椭圆E的方程； （2）设不过原点O且斜率为12的直线l与椭圆E交于不同的两点,A B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于,C D，证明：MA MBMCMD. 【解答】（1）根据条件可得3cb，所以224ab，而点1( 3,)2P在椭圆E上
23、，所以有221341ab，解得2,1ab，所以椭圆方程为2214xy. （2） 首先由中点弦的性质不难发现直线OM的方程为12yx .所以我们只需要按照弦长公式计算出四条线段长（用直线AB的截距m表示），然后验证题中的等式即可. 第一步：设AB为102yxm m，计算AB的长和M的坐标（m）. 设直线AB方程为102yxm m， 设点坐标为112200,A xyB xyMxy， 联立直 线 与 椭 圆 得 到222211410212xyxmxmyxm ， 根 据 韦 达 定 理 可 得第 11 页 212122 ,21xxm x xm ，而方程有两不等实根可得220m ，解得22m . 根 据
24、 弦 长 公 式 可 得22212121141052ABxxx xm， 所 以22110544mMA MBAB. 1202xxxm ，001122yxmm，中点坐标为1,2Mmm， 第二步：利用两点间距离公式计算MCMD（m）. 直线CD方程为12yx ，联立直线与椭圆22211410212xyxyx ，解得2x ，所以,C D两点坐标为222,2,22CD（不妨设点C在左边）. 此时2222222522222224mmMC MDmmm ，因为22m，所以21054mMCMDMA MB. 综上，等式MA MBMCMD成立. 类型二：点到线的距离类型二：点到线的距离 【例13】（2008浙江卷理
25、）已知曲线C是到点1 3,2 8P和到直线58y 距离相等的点的轨迹，l是过点1,0Q 的直线，M是C上（不在l上）的动点；,A B在l上，MAl，轴 （1）求曲线C的方程 （2）求出直线l的方程，使得2QBQA为常数 【解答】（1）设曲线上点坐标为, x y，满足到点1 3,2 8P和到直线58y 距离相等有，MBx第 12 页 22135288xyy，整理可得212yxx. 故曲线C的方程为212yxx. （2） 第一步：先讨论斜率不存在的情况. 当斜率不存在时1x ，此时B与Q重合.题目所求的比值不存在. 第二步：在一般情况下，利用距离公式计算各个线段长. 设直线l方程为1yk x，设2
26、0001,2Mxxx，则有00,1B x k x . 22200010111QBk xxkx， 2000002211112211xxkxxk xMAkk 222220000011011124QMxxxxx 0022211121xkxQAQMMAk， 第三步：计算2QBQA，寻找斜率k将表达式中的0 x消去. 2222220000011111111111221QBkkxkkQAxkxkxx， 当2k 时 ，2QBQA为定值，25 5QBQA，此时直线方程为22yx. 综上，直线方程为22yx，2QBQA为定值，这个定值为5 5. 第 13 页 类型三：焦半径与过焦弦长类型三：焦半径与过焦弦长 【
27、例14】 （2012江苏卷）如图：已知椭圆2212xy，,A B为椭圆上位于x轴上方两点，且12/ /AFBF，若1262AFBF，求1AF的斜率. 【解答】 第一步：设直线12,AF BF的方程，与椭圆联立，解出,A B的横坐标. 设 直 线12,AF BF的 方 程 分 别 为1,1myxmyx， 点 坐 标 为112212,0,0A xyB xyyy. 联立方程，22212211112112212210221xmmymymyymmyx ， 所以22111212122122m mmAFaexmym. 同理可得22122112mm mBFm. 所以2222212222121211216-22
28、22m mmmm mm mAFBFmmm，解得22m.从图形中我们可以注意到斜率为正时12AFBF为正，斜率为负时12AFBF为负，所以斜率应为正，那么m值也应为正，所以2m ，斜率为122m. 综上，直线1AF的斜率为22. 知识点五：面积条件的转化 知识点五：面积条件的转化 类型一：三角形面积的计算类型一：三角形面积的计算 【例15】（2014山东卷理）已知抛物线220Cypx p ： 的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有FAFD.当点A的横坐标为3时，ADF为正三角形. （1）求C的方程； （2）若直线1/ /ll，且1l和C有
29、且只有一个公共点E， 第 14 页 证明直线AE过定点，并求出定点坐标； ABE的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 【解答】（1）由题意知,02pF.设,0D t0t ，则FD的中点为2,04pt.因为FAFD， 由抛物线的定义知：322ppt解得3tp或3t （舍去）.由234pt，解得2p .所以抛物线C的方程为24yx. （2）要求出AE的直线方程，关键在于求出E的坐标.而题目第一问提示我们，本题采用设点的思路要好很多. 第一步：设出A的坐标，利用FAFD的条件，用A的坐标表示AD的斜率. 由（1）知1,0F.设00,A xy000 x y ，,0DD x
30、0Dx，因为FAFD，则011Dxx，由0Dx得02Dxx，故02,0D x .所以l的斜率为02y. 第二步：利用1l与抛物线相切的条件，用A的坐标表示1l的方程.和E的坐标. 由于直线1l和直线AB平行，设直线1l的方程为02yyxb ， 代入抛物线方程得：200880byyyy， 由题意20064320byy ， 得02by .设,EEE xy，则由韦达定理04Eyy ，进而204Exy. 第三步：用A的坐标表示出直线AE的方程，并找到定点. 当204y 时 ，0000220002044444EAEEyyyyykxxyyy ， 可 得 直 线AE的 方 程 为 ： 0002044yyyx
31、xy，由2004yx，整理可得：020414yyxy，直线AE恒过点1,0F. 当204y 时，直线AE的方程为1x ，过点1,0F.所以直线AE过定点1,0F. 第一步：利用AE过焦点的性质，用A的坐标计算弦长. 由 （） 知直线AE过焦点1,0F， 所以000011112AEAFFExxxx. 第二步：利用韦达定理已知一根A求另一根B，然后计算B到AE的距离. 设直线AE的方程为1xmy，因为点00,A xy在直线AE上，故001xmy.设11,B xy，直线AB的方程为0002yyyxx ，由于00y ，可得0022xxy ，代入抛物线方程得： 2008840yyxy.所以0108yyy
32、 ，可求得1008yyy ，第 15 页 10044xxx.所以点B到直线AE的距离为： 000000200484141141xm yxyxdxxxm， 第三步：用A的坐标进行面积求解. 则ABE的面积000011142162Sxxxx，当且仅当001xx，即01x 时等号成立.所以ABE的面积的最小值为16. 类型二：四边形面积的计算类型二：四边形面积的计算 【例16】 （2016全国1卷理）设圆222150 xyx的圆心为A，直线l过点1,0B 且与x轴不重合，l交圆A于,C D两点，过B作AC的平行线交AD于点E. （1）证明EAEB为定值，并写出点E的轨迹方程 （2） 设点E的轨迹为曲
33、线1C， 直线l交1C于,M N两点， 过B且与l垂直的直线与圆A交于,P Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围. 【分析与解答】（1）圆方程化为22116xy，圆心坐标为1,0A ，半径为4r . 因为/ /EBAC，所以有DEBDAC，因为ACAD，所以有EBED，所以4EAEBEAEDr， 所以EAEB为定值4.所以， 点E的轨迹为以,A B为焦点，24a的椭圆，方程为221043yxy.因为直线l与x轴不重合，所以点E纵坐标不为零. （2）因为在四边形MPNQ中，存在对角线垂直的情况，所以四边形面积可用公式1 21sin2Sl l表示，即12MPNQSMNPQ，所以只需要利用弦长公式
34、求解出,MN PQ即可.注意到PQ为圆的弦长，对于这种特殊类型，我们可以用垂径定理减少计算量. 第一步：先讨论斜率不存在或者斜率为0的情形. 第 16 页 注意到曲线C并不包含0y 的情形，所以我们不需要考虑斜率为0的情形； 当斜率不存在时，计算得到四边形面积为12. 第二步：分别就散两条弦长，用斜率表示面积. 设直线l也即直线MN方程为1xmy，则直线PQ方程为1ym x，因为直线l与x轴不重合，所以m存在且有意义.设点1122,MxyN xy，3344,P xyQ xy. 先求弦长PQ，圆心A到直线PQ的距离为22011211mmdmm ，所以弦长22224 3421mPQrdm. 再求弦
35、长MN， 联立直线MN与椭圆， 得到222213104343241yxmmyyxmy，所 以 有122634myym ，122934yym .所 以 弦 长MN可 用 弦 长 公 式 ， 可 得2222121212212111434mMNmyymyyyym. 所以四边形面积可表示为： 22222212111 4 341242234134MPNQmmmSMNPQmmm. 第三步：进行范围求解. 而2234311mm，所以表达式可进一步化简为22211242413431MPNQmSmm，四边形面积取值范围为12,8 3MPNQS. 类型三：面积比例的计算类型三：面积比例的计算 【例17】（2013
36、湖北卷理）已知椭圆1C与2C的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2()n mn，过原点且不与x轴重合的直线l与1C，2C的四个交点按纵坐标从大到小依次为,A B C D.记mn，BDM和ABN的面积分别为1S和2S. （1）当直线l与y轴重合时，若12SS，求的值； 第 17 页 （2）当变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得12SS？并说明理由. 【解答】依题意可设椭圆1C和2C的方程分别为1C：22221yxam，2C：22221yxan.其中0amn，1.mn （1） 如图， 若直线l与y轴重合， 则|BDOBODmn，|ABOAOBmn； 111| |2
37、2SBDOMa BD，211| |22SABONa AB.所以12|1|1SBDmnSABmn. 若12SS，则11，化简得2210. 由1，可解得21. 故当直线l与y轴重合时，若12SS，则21. （2）如图，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得12SS.根据对称性，不妨设直线l：(0)ykx k，点(, 0)Ma，( , 0)N a到直线l的距离分别为1d，2d. 第一步：利用面积公式将面积比转化为长度比，进而转化为坐标比. 因为122|0|11akakdkk，222|0|11akakdkk，所以12dd. 又111|2SBD d，221|2SAB d，所以12|SBDSAB，即|BDAB
38、. 进而得到11BDABBAxxxxxx. 第二步：将,ABxx用k表出，建立k与的等式关系. 将l的方程分别与12,C C的方程联立，可求得222Aamxa km，222Banxa kn. 代入得到2222221(*)(1)a kna km . 令1(1)t ，则由mn，可得1t ，于是由（*）可解得22 2222(1)(1)ntkat. 第 18 页 第三步：根据方程有解得到的范围. 因为0k ，所以20k. 于是（*）式关于k有解，当且仅当22 222(1)0(1)ntat，等价于2221(1)()0tt. 由1， 可解得11t ， 即111(1) ， 由1， 解得12 . 所以当112
39、 时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得12SS； 当12 时，存在与坐标轴不重合的直线l使得12SS. 知识点六：对称条件的转化 知识点六：对称条件的转化 类型一：关于直线对称的处理类型一：关于直线对称的处理 【例18】（2015安徽卷理）设椭圆E的方程为22221(0)yxabab，点O为坐标原点，点A的坐标为( ,0)a，点B的坐标为(0, )b，点M在线段AB上，满足2BMMA，直线OM的斜率为510. （1）求E的离心率e； （2）设点C的坐标为(0,)b，N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为72，求E的方程. 【解答】（1）M在线段AB上，满足2BMMA，则2BM
40、MA ，此时我们设( , )M x y，接下来去求M坐标就很轻松了，求得M坐标为21(,)33ab，直线OM的斜率1532103OMbka，所以离心率2 55e . （2） 第一步：求出AB的方程，设出N与关于AB的对称点连线的直线1NN并求出. 求出直线AB的方程为byxba ，设点N关于直线AB的对称点为1N，设直线1NN的方程为ayxmb，将( ,)22abN代入ayxmb可求得1NN直线方程为222aabyxbb 第 19 页 第二步：联立AB与1NN求得交点M坐标 联立222aabyxbbbyxba 可求得交点坐标为322322223(,)2() 2()aaba bbabab， 第三
41、步：由M是1NN中点得到a与b的数量关系，再结合第一问的结论得到答案. 1N的纵坐标为72，则232272()222()a bbbab ，第一问中又有5ab，所以代入计算即可求得3,3 5ba，所以E的方程为221459yx. 知识点七：角度条件的转化 知识点七：角度条件的转化 类型一：利用正切法处理角度问题类型一：利用正切法处理角度问题 【例19】已知椭圆2222:10)xyabCab（的离心率为22，点(0,1)p和点( , )(0)A m n m 都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M.设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N.问：y轴上是否存在点Q，使得OQMONQ ？若存
42、在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由. 【分析与解答】首先通过题目条件算出椭圆方程212xy 第一步：设( , )A a b，( ,)B ab，写出,PA PB直线方程 设( , )A a b，( ,)B ab，则PA：1yybxxa，PB:1yybxxa 第二步：令0y 得到,m n点的坐标 令0y 有1maxb，1+naxb 第三步：利用,A B在椭圆上: 2212ab计算mnxx 由于,A B在椭圆上，有2212ab，则2221mnaxxb，可知若(0,2)Q,则有22QmnyxxOQOM ON，即OQOMOQON tantanOQMONQ，则有：OQMONQ .综上(0,2)Q. 第
43、20 页 类型二：利用向量法处理角度问题类型二：利用向量法处理角度问题 【例20】（2015湖南卷理）已知抛物线21:4Cxy的焦点F也是椭圆22222:1yxCab的一个焦点，1C与2C的公共弦的长为2 6. （1）求2C的方程 （2）过点F的直线l与1C相交于,A B两点，与2C相交于,C D两点，且AC 与BD 同向 ACBD,求直线l的斜率； 设1C在点A处的切线与x轴的交点为M.证明：直线l绕点F旋转时，MFD总是钝角三角形. 【解答】（1）(0,1)F，弦长为2 6，故可求出1C与2C的交点坐标为3(6,)2，代入椭圆方程即可.最终求得2C的方程为22198yx. （2）首先验证斜
44、率不存在的情况不合题意，然后可以设直线l为1ykx，联立2244401xyxkxykx，韦达定理可得2212()1616xxk.同理可计算2234222(16 )256()(89)89kxxkk.令221234() =()xxxx可计算出64k . 第一步：写出A点处的切线方程，算出M坐标 A点处的切线为111()2xyyxx，则M坐标为1(,0)2x 第二步：求FA FM 并证明其恒大于0. 222211111111(,1) (, 1)1=11022244xxxxxFA FMxyy 恒成立. 第 21 页 知识点八：切线条件的转化 知识点八：切线条件的转化 类型一：判别式为类型一：判别式为
45、0 【例21】（2011浙江卷理）已知抛物线21:Cxy，圆222:(4)1Cxy的圆心为点M. （1）求点M到抛物线1C的准线的距离； （2）已知点P是抛物线1C上一点（异于原点），过点P作圆2C的两条切线，交抛物线1C于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂足于AB，求直线l的方程. 【解答】 （1）由题意可知，抛物线的准线方程为1,4y 故圆心(0,4)M到准线的距离是174. （2） 第一步：设PA、PB分别为2100ykxxx和2200ykxxx； 设200,P xx，211,A x x，222,B xx由题意得02120,1,xxxx .设PA、PB分别为2100ykxxx和2200
46、ykxxx（PA、PB的斜率显然是存在的） 第二步：联立直线与抛物线方程得到1x，2x的坐标，进而得到ABk（用012,x k k表示）；将直线代入2yx得22000,1,2iixk xk xxi， 由于0 x是此方程的根， 故110 xkx，220 xkx，所以221212120122ABxxkxxkkxxx 第三步：利用切线条件得到一个k与0 x的二次方程，并且利用韦达定理得一个12kk和12k k用0 x表达的式子，代入第二步的表达式就可以求得ABk只关于0 x的表达式（至于为什么一定能得到就是知识点了，后续我们会谈到）； 又PA、PB为切线有2002|4|11iik xxk即：2222
47、20000(1)2(4)(4)10 xkxxkx. 12,k k是上述方程的两根，所以20012202(4)1xxkkx，2201220(4)11xk kx 第 22 页 2004MPxkx，2000202(4)21ABxxkxx 第四步：利用1ABMPkk 得到一个关于0 x的方程，解出0 x. 由MPAB,得2200002002(4)4(2)()11ABMPxxxkkxxx ，解得0235x ，即点P的坐标为23 23(,)55，所以直线l的方程为3 1154115yx . 类型二：切线与切点弦的结论类型二：切线与切点弦的结论 【例22】（2013广东卷理）已知抛物线C的顶点为原点，其焦点
48、(0, )(0)Fcc 到直线:20l xy的距离为3 22， 设P为直线l上的点， 过点P作抛物线C的两条切线,PA PB，其中,A B为切点. （1）求抛物线C的方程； （2）当点00(,)P xy为直线l上的定点时，求直线AB的方程； （3）当点P在直线l上移动时，求AFBF的最小值. 【解答】 （1） 注意焦点是在y轴上， 可不是x轴.利用焦点到直线:20l xy的距离为3 22可求出1c ，所以抛物线方程为24xy. （2）本题就是在考察抛物线形式的切点弦结论，类似于椭圆的方法证明即可. 第一步：利用抛物线易于求导的特点，计算出两条切线方程； 设1122(,),(,)A xyB xy
49、， 因为2xy ， 所以过A点的切线方程为111()2xyyxx， 同理过B点的切线方程为222()2xyyxx， 第二步：利用00(,)P xy在两条切线上，得到切点弦方程； 因 为00(,)P xy是 两 条 切 线 的 交 点 ， 将 其 代 入 可 得10101()2xyyxx，20202()2xyyxx， 观察这两个等式， 发现11(,)A x y、22(,)B xy满足直线00()2xyyxx，化简可得00220 x xyy，所以过两切点A、B两点的直线方程为00220 x xyy. （3）我们只需要在第二问的基础上，联立直线即可求解. 第 23 页 由抛物线定义可知，211=11
50、4xAFy ，2214xBF ，所以有： 2221212()=1164x xxxAFBF 联立0020022202404x xyyxx xyxy，使用韦达定理化简可得： 22000192252()22AFBFyyy 即当012y 时，AFBF的最小值为92. 知识点九：圆的条件转化 知识点九：圆的条件转化 类型一：利用圆的几何性质转化条件类型一：利用圆的几何性质转化条件 【例23】（2017全国3卷理）已知抛物线2:2C yx，过点2,0的直线l交C与,A B两点，圆M是以线段AB为直径的圆. （1）证明：坐标原点O在圆M上； （2）设圆M过点4, 2P，求直线l与圆M的方程. 【解答】 （1
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