1、绝密启用前2010 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）文科数学第第卷卷 （选择题）（选择题）本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么 球的表面积公式 S=4R2( + )( )+ ( )P A BP AP B如果事件 A、B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 球的体积公式()( )( )P A BP AP B如果事件 A 在一次试验中发生的概率是，那么 p34VR3n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径P ( )(1)(0,1,2, )kkn k
2、nnkC ppknL一、选择题一、选择题（1）设全集，集合,则（）*U6xNx A1,3B3,5，U()AB U（）（）（） （） 1,4 1,5 2,4 2,5（）不等式的解集为（）302xx（）23xx （）2x x （）23x xx 或 （）3x x （3）已知2sin3，则cos(2 )(A) 53 (B) 19 (C) 19 (D) 53（4）函数的反函数是1 ln(1)(1)yxx (A) (B) 11(0)xyex11(0)xyex(C) (D) 11(R)xyex11(R)xyex(5) 若变量满足约束条件1325xyxxy ，则的最大值为, x y2zxy(A) 1 (B)
3、2 (C) 3 (D)4（6）如果等差数列 na中，3a+4a+5a=12，那么 1a+2a+7a=(A) 14 (B) 21 (C) 28 (D)35（7）若曲线在点(0, )b处的切线方程式，则2yxaxb10 xy （A）1,1ab （B）1,1ab （C）1,1ab （D）1,1ab （8）已知三棱锥中，底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形，SA 垂直于底面SABCABC，SA=3，那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为（A） （B） （C）74 （D） 345434（9）将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2 张，其
4、中标号为 1,2 的卡片放入同一信封，则不同的放法共有（A）12 种 （B）18 种 （C）36 种 （D）54 种（10）ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分ACB，若，CBaCAb1,2ab则=CD（A） （B） （C） （D）1233ab2233ab3455ab4355ab（11）与正方体的三条棱、所在直线的距离相等的点1111ABCDABC DAB1CC11A D（A）有且只有 1 个 （B）有且只有 2 个（C）有且只有 3 个 （D）有无数个（12）已知椭圆 C：+=1的离心率为，过右焦点 F 且斜率为22xa22by(0)ab23k（k0）的直线与 C 相交于 A、B
5、两点，若=3，则 k=AFFB（A）1 （B） （C） （D）223第第卷（非选择题）卷（非选择题）二二.填空题：本大题共填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。（13）已知是第二象限的角，则_.1tan2cos(14) 的展开式中的系数是_91()xx3x (15) 已知抛物线的准线为 ，过 M(1,0)且斜率为的直线与 相交2C2(0)ypx p：l3l于点 A,与 C 的一个交点为 B,若，则等于_.AMMBuuu u ruuu rp（16）已知球 O 的半径为 4，圆 M 与圆 N 为该球的两个小圆，AB 为圆与圆 N 的公共弦，AB=4，若 O
6、M=ON=3，则两圆圆心的距离 MN=_.三三 .解答题：本大题共解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分）（本小题满分 10 分）分）ABC 中，D 为边 BC 上的一点，BD=33, ,.求 AD.5sin13B 3cos5ADC（18）（本小题满分）（本小题满分 12 分）分）已知na是各项均为正数的等比例数列，且1212112()aaaa，34534511164()aaaaaa. () 求na的通项公式；（）设21()nnnbaa,求数列 nb的前n项和nT.（19）（本小
7、题满分）（本小题满分 12 分）分）如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1中，ACBC，AA1=AB，D 为 BB1的中点，E 为 AB1上的一点，AE=3EB1.（）证明：DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线；（）设异面直线 AB1与 CD 的夹角为 45o,求二面角 A1-AC1-B1的大小. （20）（本小题满分）（本小题满分 12 分）分）如图，由 M 到 N 的电路中有 4 个元件，分别标为 T1，T2，T3，T4，电流能通过T1，T2，T3的概率都是，电流能通过 T4的概率是 0.9，电流能否通过各元件相互独立.已p知 T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为 0.999
8、（）求；p（）求电流能在 M 与 N 之间通过的概率.（21）（本小题）（本小题满分满分 12 分）分）已知函数32( )331f xxaxx（）设，求的单调区间；2a ( )f x（）设在区间（2,3）中至少有一个极值点，求的取值范围.( )f xa（2222）（本小题满分）（本小题满分 1212 分）分） 已知斜率为 1 的直线 与双曲线 C：22221(0,0)xyabab相交于 B、D 两点，且 BDl的中点为.M(1,3)（）求 C 的离心率；（）设 C 的右顶点为 A，右焦点为 F，证明：过 A、B、D三点的圆与DFBF =17轴相切.x20102010 年普通高等学校招生全国统一
9、考试年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题参考答案和评分参考文科数学试题参考答案和评分参考一、选择题一、选择题1. C 2. A 3. B 4. D 5. C 6. C 7. A 8. D 9. B10. B 11. D 12. B二、填空题二、填空题 13. 14. 84 15. 2 16. 32 55三、解答题三、解答题（17）解：）解： 由3cos052ADCB知 由已知得，124cos,sin135BADC 从而 sinsin()BADADCB =sincoscossinADCBADCB 41235513513 .3365 由正弦定理得 ,ADsinsinBDBBAD 所以sinA
10、DsinBDBBAD .53313=253365（18）解：）解：（）设公比为 q，则.由已知有11nnaa q1111234111234111112,11164.aa qaa qa qa qa qa qa qa q化简得21261264.a qa q，又，故10a 12,1qa所以 12nna（）由（）知221211112424nnnnnnnbaaaa因此1111111411414.41.2244211444 1314nnnnnnnTnnn（19）解法一：）解法一：（）连结,记与的交点为 F.因为面1A B1A B1AB为正方形，故，且.又11AA BB11A BAB1AF=FB，所以，又
11、D 为的中点，故1AE=3EB1FE=EB1BB.1DEBFDEAB，作,G 为垂足，由 AC=BC 知，G 为 AB 中点.CGAB又由底面面，得.ABC 11AA B BCG 11AA B B连结 DG，则，故,由三垂线定理，得.1DGABDEDGDECD所以 DE 为异面直线与 CD 的公垂线.1AB（）因为，故为异面直线与的夹角，.1DGABCDG1ABCDCDG=45o设 AB=2，则，,.1AB2 2DG= 2CG= 2AC= 3作,H 为垂足，因为底面,故，111B HA C11111A B CAAC C 面111B HAAC C 面又作，K 为垂足，连结,由三垂线定理，得，因此
12、1HKAC1B K11B KAC为二面角的平面角1B KH111AACB22111111111122 23ABACABB HAC22111133HCBCB H2211112 32( 3)7,3 7AAHCACHKAC11tan14B HB KHHK所以二面角的大小为111AACBarctan 14解法二：解法二：（）以 B 为坐标原点，射线 BA 为轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系x.Bxyz设 AB=2，则 A（2,0,0,），D（0,1,0），1B (0,2,0)1 3E(,0)2 2又设 C（1,0,c）,则.11 1DE0B A= 2,-2,0 ,DC= 1,-1,c2 2uuu
13、 ruuuu ruuu r，于是.1DE B A=0,DE DC=0uuu r uuuu ruuu r uuu rgg故,1DEB ADEDC，所以 DE 为异面直线与 CD 的公垂线.1AB（）因为等于异面直线与 CD 的1,B A DCuuu r uuu r1AB夹角，故 ，11cos45B A DCB A DCouuu r uuu ruuu r uuu rgg即 ，222 2242c解得 ，故，2c AC(,22)uuu r-1 ，又，11AA =BB =(0,2,0)uuuu r uuu u r所以，11AC =AC+AA =( 1,22)uuuu r uuu r uuuu r，设平面
14、的法向量为，11AAC( , , )mx y z则110,0m ACm AAuuuu ruuu rgg即22020 xyzy 且令，则，故2x 1,0zy( 2,0,1)m 令平面的法向量为11ABC( , , )np q r则，即110,0n ACn B Auuuu ruuu rgg220,220pqrpq令，则，故2p 2,1qr ( 2,21)n 所以 .1cos,15m nm nm ng由于等于二面角的平面角，,m n111A -AC -B所以二面角的大小为.111A -AC -B15arccos15（2020）解：）解：记表示事件：电流能通过1AT,1,2,3,4,ii A 表示事件
15、：中至少有一个能通过电流，123TTT，B 表示事件：电流能在 M 与 N 之间通过，（）相互独立，123123AA A AAAAgg ， ,3123123P( )()() () ()(1)AP A A AP A P A P Apg g又 ，P( )1 P(A)=1 0.9990.001A 故 ，3(1)0.0010.9pp，（），44134123BA +A A A +A A A Aggggg 44134123P(B)P(A +A A A +A A A A )ggggg 44134123P(A )+P(A A A )+P(A A A A )ggggg 44134123P(A )+P(A )P(
16、A )P(A )+P(A )P(A )P(A )P(A ) =0.9+0.10.90.9+0.10.10.90.9 =0.9891（2121）解：）解：（）当 a=2 时，32( )631,( )3(23)(23)f xxxxfxxx当时在单调增加；(,23)x ( )0,( )fxf x(,23)当时在单调减少；(23,23)x( )0,( )fxf x(23,23)当时在单调增加；(23,)x( )0,( )fxf x(23,)综上所述，的单调递增区间是和，( )f x(,23)(23,)的单调递减区间是( )f x(23,23)（），22( )3()1fxxaa 当时，为增函数，故无极值
17、点；210a( )0,( )fxf x( )f x当时，有两个根210a( )0fx22121,1xaaxaa由题意知，22213,213aaaa 或式无解，式的解为，5543a因此的取值范围是.a5 54 3，（2222）解：）解：（）由题设知， 的方程为：，l2yx代入 C 的方程，并化简，得，2222222()440baxa xaa b设 ，1122B( ,)(,)x yD xy、则 22221212222244,aaa bxxx xbaba 由为 BD 的中点知，故(1,3)M1212xx2221412aba即， 223ba故222caba所以 C 的离心率2cea（）由知，C 的方程
18、为：，22233xya2121243( ,0),(2 ,0),2,02aA aFaxxx x故不妨设，12,xa xa ，2222211111BF = (2 )(2 )332xayxaxaax，2222222222FD = (2 )(2 )332xayxaxaxa.22121212BF FD(2 )(2)=42 ()548axxax xa xxaaag又 ，BF FD17g故 ，254817aa解得，或（舍去），1a 95a 故，2121212BD = 22()46xxxxx xg连结 MA，则由，知，从而A(1,0)M(1,3)MA3,且轴，因此以 M 为圆心，MA 为半MA=MB=MDMAx径的圆经过 A、B、D 三点，且在点 A 处与轴相切，所以过xA、B、D 三点的圆与轴相切. x
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